مقاله تحلیل فراوانی سیلاب با استفاده از توزیع ناپارامتری

بخشی از مقاله

چکیده

روش پارامتری که هماکنون برای تحلیل فراوانی سیلاب مورد استفاده قرار میگیرد، دارای موانع و محدودیتهای بسیاری است. به طور مثال زمانی که میخواهیم توزیع آماری مناسب را برای دادههای خود انتخاب کنیم از اطمینان کاملی برخوردار نیستیم. روش جایگزینی که تحت عنوان روش ناپارامتری در این مقاله آورده شده است، با استفاده از توابع هستهای تابع چگالی احتمال را تخمین میزند و دیگر نیازی به فرضیات محدودکننده که میتوانند تحلیل را نادرست کنند و آنرا را محدود به شکل توزیع انتخابی کنند، نخواهد بود.

توابع هستهای خود دارای ویژگیهای یک تابع چگالی احتمال هستند. محدودهی توسعهی هر هسته با توجه به مؤلفه پهنای باند آن که با استفاده از تمامی دادهها واسنجیده شده است، تعیین میشود. پهنای باندی که میزان همواری یک برآورد هستهای را مشخص میکند. انتخاب پهنای باند مذکور مهمترین قسمت این برآورد است، زیرا میتواند میزان همواری یک نمودار را به کلی تغییر دهد. در این مقاله تحلیل فراوانی نقطهای در مورد دادههای مربوط به 48 سال دبیهای بیشینهی سالانه ایستگاه هیدرومتری گتوند، به روش پارامتری با استفاده از توزیعهای نرمال، لوگ نرمال، گامبل، پیرسون تیپ3 و لوگ پیرسون تیپ3 انجام شده است و در قسمت ناپارامتری نیز از برآورد چگالی هستهای استفاده شده است. در آخر نتایج مربوط به هر دو روش به همراه مقایسه آن دو با یکدیگر آورده شده است.

-1 مقدمه

در تمامی پروژههای مرتبط با مدیریت منابع آب یکی از مطالعاتی که الزامیست، تحلیل فراوانی سیلاب است که بیتوجهی به آن عوارض مالی و جانی جبرانناپذیری را در پی دارد. همچنین تخمین دبی سیلاب و برآورد دوره بازگشت آن به کمک مبحث تحلیل فراوانی، در محل مورد نظر پروژه یکی از مهمترین عوامل لازم جهت طراحی کلیه سازههای آبی است. همواره تخمین تابعی که ساختار دادههای هیدرولوژیک مشاهده شده را به بهترین شکل ممکن بیان کند، پرسشی اساسی در هیدرولوژی آماری است. متأسفانه در بسیاری از موارد، اطلاعات نظری در دسترس در مورد شکل این توابع بسیار اندک میباشد.

از اینرو روشهای متداول موجود برای تخمین چنین توابعی محدود به انتخاب منحنیهای از پیش تعیین شدهاند که دارای بهترین برازش با دادههای برداشت شده باشند. این روشها پارامتری نامیده میشوند. اما در استفاده از توزیعهای پارامتری سؤالاتی به شرح زیر قابل طرح است:

در صورتی که نتوان هیچکدام از توابع پارامتری موجود را بهخوبی بر دادهها برازش داد، چه راهی را باید در نظر گرفت؟ آیا روشی وجود دارد که از گزینش تابع پیشفرض صرفنظر کرده و در عین حال تفسیر مناسبی از دادهها در اختیار قرار دهد؟ سؤالاتی از این دست را میتوان با ورود به مبحث برآورد ناپارامتری توابع پاسخ داد. به طور کلی روشهای ناپارامتری برآورد یک تابع، سعی دارند با استفاده از دادههای مشاهدهشده، تقریبی موضعی از تابع هدف ارائه نمایند، بهطوری که ایده استفاده از توزیعهای ناپارامتری، دوریکردن از فرضیات محدودکننده در مورد تابع چگالی احتمال است و اینکه دیگر نیازی نباشد تا برای تخمین تابع چگالی احتمال خود را به برآورد تعدادی پارامتر برای دادههای مورد استفاده محدود کنیم.

در اینجا روش مناسب و ساده برای تخمین تابع چگالی احتمال استفاده از هیستوگرام است. پس از رسم هیستوگرام باید توزیع مورد نظر را بر آن برازش داد. تابع هستهای1 یک تابع وزنی استاندارد شده است که دارای مؤلفهای تحت عنوان پهنای باند2 است. این مؤلفه معرف مقدار هموارسازی در تخمین تابع چگالی احتمال میباشد و انتخاب صحیح آن بسیار مهم است. تغیر این پهنای باند میتواند تغییر چشمگیری در شکل نهایی داشته باشد. با این وجود روش ناپارامتری بهدلیل اینکه تابع دادههای مشاهده شده است برای برونیابیهای طولانی محدودیت خاص خود را دارد.

روشهای ناپارامتری در سالهای اخیر در هیدرولوژی و منابع آب مورد استفاده قرار گرفته است. برای اولین بار ولفوویتز[1] روش ناپارامتری را مطرح کرد و راندل و همکاران[2] این نظریه را گسترش دادند. آداموفسکی و همکاران [3] با استفاده از برآورد ناپارامتری تابع چگالی احتمال سیلاب های سالانه، روشی ناپارامتری برای آنالیز فراوانی سیلاب ارائه کردند. آنها همچنین از رگرسیون ناپارامتری در پیشبینی سطح آب زیرزمینی استفاده کردند.[4] شارما و همکاران[5] با استفاده از برآورد ناپارامتری توابع چگالی احتمال، روشی برای شبیهسازی دبی جریان ارائه کردند.

در ایران مبحث ناپارامتریتقریباً مبحث جدیدی است. اشرفزاده و همکاران[6] در زمینهی توسعه و کاربرد یک مدل ناپارامتری برای شبیهسازی دبی جریان رودخانه، تحقیقی را انجام دادهاند. در مقاله حاضر، ابتدا توزیعهای پارامتری نرمال، لوگ نرمال، گامبل، پیرسون تیپ3 و لوگ پیرسون تیپ3 به دادههای مربوط به 48 سال دبیهای بیشینهی سالانه ایستگاه هیدرومتری گتوند برازش دادهشدهاند. سپس توزیع مناسب پارامتری بر اساس معیار خطای استاندارد تعیین شده است. با استفاده از تابع چگالی هستهای در روش ناپارامتری بر دادههای مذکور برازشی داده شده و در نهایت این دو روش با یکدیگر بهصورت محاسباتی و گرافیکی با ترسیم نمودار مقایسه شدهاند.

-2 مواد و روشها

-1-2 توزیعهای پارامتری

تعداد زیادی از توزیعهای فراوانی با احتمال متفاوت در هیدرولوژی به کار برده میشوند. توزیع فراوانی برای برونیابی پیشامدهای طرح از پیشامدهای ثبتشده بهصورت نموداری یا بهوسیله برآورد پارامتری یک توزیع فراوانی استاندارد مورد استفاده قرار میگیرد. این پارامترها عبارتند از: میانگین، انحراف معیار و ضریب چولگی. در ضمن روشهای معمول برای برآورد پارامترها عبارتند از: روش گشتاوری، روش حداکثر درست نمایی، روش کمترین مربعات و روش گرافیکی. توزیعهای پارامتری استفاده شده در این مقاله شامل پنج توزیع نرمال، لوگ نرمال، گامبل، پیرسون تیپ3 و لوگ پیرسون تیپ3 میباشند.

-2-2 توزیع ناپارامتری

استفاده از توزیعهای ناپارامتری برای برآورد بر این اصل استوار است که برآورد تابع هدف بایستی بهصورت موضعی انجام شود. این روش سعی در برآورد تابعی احتمالاتی از دادههای مشاهدهشده دارد تا بتوان بر اساس آن به پیشبینی متغیر مورد نظر در آینده پرداخت. روش مورد استفاده برای تحلیل فراوانی در این مقاله بر مبنای برآورد چگالی هستهای1 میباشد. در این برآورد در صورتی که n داده مشاهده شده از متغیر تصادفی X در دست داشته باشیم، برآورد چگالی هستهای در نقطه x به صورت نوشته می شود که در آن x1، x2 و ... دادههای مشاهده شده، K تابع هستهای وh نیز پهنای باند محاسبه شده است. بهطور کلی اگر K - z - dz 1, zK - z - dz 0 باشد، برآورد محاسبه شده توسط - 1 - شرایط تابع چگالی احتمال را دارا خواهد بود.

مقدار چگالی احتمال در نقطه x بدین ترتیب محاسبه میشود که ابتدا n تابع هستهای مستقل با پهنای باند h و مرکزیت xi روی هر یک از مشاهدات قرار می گیرند. سپس مجموع عرض های هستههای یاد شده در نقطه x محاسبه شده و با تقسیم بر nh، برآورد چگالی در x بدست میآید. این به این معنی است که تمامی مشاهدات مستقل در محاسبه تابع چگالی احتمال مشارکت خواهند داشت. در مورد انتخاب نوع هسته ثابت شده است که در تحلیل فراوانی از طریق روش ناپارامتری انتخاب نوع هسته، انتخابی بحرانی نیست و توابع مختلف هستهای در شکل نهایی برآورد تغییر چندانی نخواهند گذاشت. در جدول - 1 - انواع مختلف هسته برای برآورد ناپارامتری آورده شده است.