بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله پاسخ فرکانسی یک میکرورزوناتور1 دارای جرم گواه با در نظر گرفتن اثرات وابسته به ابعاد بررسی میشود. رزوناتور توسط روش الکترواستاتیک راهاندازی و به منظور ارتعاش در یک فرکانس خاص که عموما فرکانس طبیعی است، مورد استفاده قرار میگیرد. از این رو بررسی ناپایداری و پاسخ فرکانسی این سیستم از اهمیت خاصی برخوردار است. میدان الکترواستاتیک، که به صورت ولتاژ مستقیم و متناوب به صفحات خازنی جرم گواه وارد میشود، عامل ارتعاشات میکرورزوناتور میباشد. با توجه به مکانیزم الکترواستاتیک در راه اندازی رزوناتور، در مدلسازی اثرات غیرخطی کشیدگی لایه میانی لحاظ شده و اثرات پارامترهای طراحی نظیر میدان-های حاشیهای2 و ابعاد سیستم بر ناپایداری و فرکانسهای طبیعی سیستم بررسی میگردد.
بر مبنای مدل یاد شده، با لحاظ نمودن تئوری کوپل تنش اصلاحی، کشیدگی لایه میانی میکرورزوناتور و اثر میدانهای حاشیهای معادلات حرکت بدست آمده و این معادلات پس از کاهش مرتبه، توسط روش گالرکین حل میگردد. نتایج نشان میدهد که اثرات وابسته به ابعاد تاثیر قابل توجهی بر رفتار ارتعاشی و ناپایداری - به خصوص برای میکرورزوناتورهایی که ضخامتی در حدود کمتر از شش برابر پارامتر مقیاس مادی طول دارند - میگذارند.
مقدمه
امروزه کاربرد دستگاههای میکروالکترومکانیک3 که ترکیبی از سیستمهای برقی و مکانیکی هستند در صنایع مختلف به ویژه صنایع پزشکی، خودروسازی، ارتباطات و هوافضا کاربرد گستردهای پیدا نمودهاند. از مزایای این سیستمها وزن کم، قابلیت تولید انبوه و هزینه ساخت پایین، مصرف انرژی ناچیز، دوام بالا و قابلیت یکپارچهسازی با مدارهای مجتمع میباشد. از انواع سیستمهای میکروالکترومکانیک میتوان به راهاندازها و سنسورها اشاره نمود که در سیستمهای کنترلی، مکانیکی و برقی بسیار مورد استفاده قرار میگیرند. میکرورزوناتورها میتوانند به عنوان یک حسگر در اندازهگیری پارامترهای مختلف به کارگیری شوند. این سیستمها دارای انواع مختلفی بوده که نوع خازنی آن بیشترین کاربرد را دارا میباشد.
نمونههایی از این سنسورها شامل سنسورهای جرم برای تشخیص مواد شیمیایی و بیولوژیکی، سنسورهای نیرو و شتاب و سنسورهای درجه حرارت است. کاهش اندازه یک رزوناتور، فرکانس رزونانس آن را افزایش میدهد. به همین دلیل میکرورزوناتورها دارای فرکانسهایی در محدوده مگاهرتز هستند و برای استفاده در کاربریهای رادیوفرکانسی و ارتباطات مایکروویو مورد توجه قرار گرفتهاند. هرچه جرم رزوناتور کمتر باشد، فرکانس تشدید آن حساسیت بیشتری به تغییرات محیطی پیدا میکند. لذا میتوان از میکرورزوناتورها برای تشخیص اجرامی در مرتبه اتمها استفاده نمود.
مکانیزم راهانداز الکترواستاتیک، از بهترین روشهای تحریک سیستمهای میکروالکترومکانیک است، که دارای مزایایی از قبیل پاسخ سریع، بازده بالا و راه اندازی ساده میباشد. از میکروتیر می توان به عنوان عضو اصلی این سیستمها نام برد. میکروتیرها به همراه یک لایه زیرین ثابت، تشکیل یک خازن با ظرفیت متغیر دارای دی-الکتریک هوا میدهند. با جابهجایی این میکروتیر ظرفیت خازن نیز تغییر میکند. هرچه ولتاژ اعمالی به میکروتیر افزایش یابد، انحراف تیر نیز افزایش مییابد. در یک ولتاژ مشخص، انحراف میکروتیر به صورت ناگهانی افزایش یافته و تیر با صفحه زیرین برخورد نموده و ناپایداری اتفاق میافتد. ولتاژ اعمالی منجر به این ناپایداری را ولتاژ ناپایداری کششی مینامند. این ناپایداری در میکروسوئیچ ها مفید، اما در میکرورزوناتورها مضر میباشد. بنابراین سیستم رزوناتور را باید طوری طراحی نمود که ولتاژ وارد بر آن، کمتر از ولتاژ ناپایداری کششی باشد.
در آزمایشهای تجربی انجام شده روی میکروسازهها نشان داده شده است که سختی سازه محاسبه شده بسته به ابعاد سازه میتواند تا چند برابر مقدار سختی محاسبه شده توسط تئوری مکانیک محیط پیوسته کلاسیک باشد. از این رو تئوریهای معرفی شده در مقیاس ماکرو علیرغم استفاده در مقیاس میکرو نمیتوانند تئوری مطمئنی برای شبیهسازی رفتار الکترومکانیکی سیستمهای میکرو باشد. مهمترین تئوری در این زمینه، تئوری کوپل تنش میباشد که به دلیل پیچیدگی از دل این تئوری، تئوریهای سادهتری بیرون آمده است که میتواند به خوبی رفتار میکروسازهها را پیشبینی کند. نظریه کوپل تنش اصلاحی از مهمترین تئوریهای وابسته به ابعاد میباشد که در عین سادگی، نظریه قدرتمندی جهت شبیهسازی سیستمهای میکروالکترومکانیک میباشد که نتایج بدست آمده از آن انطباق بسیار زیادی با نتایج آزمایشگاهی دارد.
اکثر سیستمهای میکروالکترومکانیک ذاتا غیرخطی هستند. وجود پدیدههایی مثل نرم شدن یا سخت شدن، پسماند جهش در فرکانس رزونانس، وجود بیش از یک حالت پایدار حساس به شرایط اولیه و ولتاژ ناپایداری کششی دینامیکی این موضوع را اثبات میکند که برای این موارد نمیتوان از مدل خطی استفاده کرد.[1] از طرفی جهت بررسی رفتار ارتعاشی این سیستمها نمیتوان از تئوریهای کلاسیک استفاده نمود. پس لازم است در بررسی عملکرد میکروسازهها، رفتار غیرخطی میکروسازه با در نظر گرفتن تئوریهای وابسته به ابعاد مدلسازی گردد.
شکل.1 رزوناتور الکترواستاتیکی با میکروتیر دو سرگیردار و جرم گواه در وسط.
تیلمانس و همکارانش در سال 1994 ارتعاشات یک میکروتیر پهن دو سرگیردار از جنس پلی سیلیکون را با استفاده از مدل تیر خطی مورد بررسی قرار دادند. آنها بسامدهای بدست آمده از دادههای آزمایشگاهی خود را با نتایج حل تئوری مقایسه نمودند. همچنین آنها قابلیت کاربرد این میکروارتعاش کنندهها را به عنوان کرنش-سنجهای تشدید کننده، بررسی نمودند [2] عبدالرحمان و نایفه [3] معادله استاتیکی میکروتیر دو سردرگیر غیرخطی تحت میدان الکتریکی را با استفاده از روش عددی - مبتنی بر تکرار - حل و ناپایداری کششی آن را بررسی نمودند. در مدل به کار رفته اثر کشیدگی صفحه میانی لحاظ گردیده است. آنچه در نتیجههای آنها بسیار مهم جلوه مینمود، تاثیر در نظر گرفتن جمله-های غیرخطی کننده هندسی و کشش میانی صفحه برای پیشبینی پایداری میکروتیرها بود.
در میکروسیستمهایی که از طریق روش الکترواستاتیک تحریک میگردند، رسیدن به جواب تحلیلی مناسب دشوار میباشد. روشهای متفاوتی برای یافتن جواب غیرخطی معادلات میکروسازه وجود دارد. از روشهای موجود، روشهای پرتبیشن - اغتشاشات - و روشهای هموتوپی [4] میباشند. ترنر و اندروز [5] فرکانس رزونانس غیرخطی میکروتیر را با استفاده از روش پرتبیشن تقریب زدند. سیستم به وسیله یک مدل جرم و فنر مدلسازی و کشیدگی لایه میانی نیز در نظر گرفته شده است. با استفاده از روش تعادل هارمونیک آنها معادلات توصیفی میکروتیر را برای فرکانس رزونانس برای دو مورد جداگانه یکبار نادیده گرفتن نیروی الکترواستاتیک و یکبار نادیده گرفتن اثر کشیدگی لایه میانی بررسی کردند. با استفاده از معادلات بدست آمده از هر دو مورد، آنها یک رابطه برای جبران افزایش فرکانس رزونانس - به علت اثر کشیدگی صفحه لایه میانی - و کاهش آن - ناشی از نیروی الکترواستاتیک - ارائه دادند.
لوو [6] فرکانس اساسی ارتعاش تیر دارای جرم را در موقعیتهای متفاوت جرم بدست آورد. جهت محاسبه فرکانس از توابع مثلثاتی در روش رایلی استفاده گردیده است. فرکانس طبیعی یک تشدید کننده یکی از پارامترهای مهم طراحی میباشد که به نوبه خود توابعی از اینرسی و سختی را در ساختار خود جای میدهد. جرم و مدول الاستیک ساختار جامد میتواند برای تعیین برخی از خواص از جمله طول عمر و خستگی مورد استفاده قرار گیرد. در سیستمهای میکروالکترومکانیکی که از طریق روش الکترواستاتیک خازنی تحریک میشوند، سختی ساختار تنها تابع مدول الاستیک نیست و وابسته به نیروی اعمالی نیز میباشد. پس نیروی اعمالی میتواند سختی و در نتیجه فرکانس طبیعی را تغییر دهد. در همین زمینه مجاهدی و همکاران [7] فرکانس طبیعی رزونانس اصلی میکرورزوناتور دو سردرگیر تحت میدان الکترواستاتیک را با در نظر گرفتن تنش محوری و کشیدگی لایه میانی با استفاده از روش گالرکین تعیین نمودند
در پژوهش حاضر، اثرات وابسته به ابعاد بر تحلیل فرکانسی میکرورزوناتورهای غیرخطی مورد مطالعه قرار می-گیرد. میکرورزوناتور به صورت دو سرگیردار فرض شده و دارای یک جرم گواه در وسط میباشد که با اعمال میدان الکترواستاتیک روی آن، راهاندازی و ارتعاش سیستم فراهم میگردد. در مدلسازی از تئوری کوپل تنش اصلاحی برای اعمال اثرات وابسته به ابعاد در مقیاس میکرو بهره گرفته شده و با توجه به تغییر شکلهای بزرگ، نقش کشیدگی لایه میانی تیر در حرکت لحاظ میشود. ابتدا با در نظر گرفتن اصل همیلتون توسعه یافته معادلات حاکم بدست آمده و سپس با استفاده از روش گالرکین معادلات مربوطه کاهش مییابد. با توجه به اینکه میکرورزوناتور تحت تاثیر میدان ثابت یک حالت تعادلی پیدا مینماید، ابتدا با در نظر گرفتن مدل استاتیکی، جابهجایی استاتیکی به دست آمده و ناپایداری کششی بررسی و سپس با توجه به موقعیت تعادلی بدست آمده، فرکانسهای طبیعی سیستم حول پاسخ استاتیکی محاسبه میگردد.
مدلسازی
میکرورزوناتور مورد مطالعه دارای جرم گواه، از یک میکروتیر دوسردرگیر تشکیل شده که جرم گواه در وسط آن قرار گرفته و تحت میدان الکترواستاتیک قرار دارد. میدان الکترواستاتیک از دو مولفه ولتاژ مستقیم و متناوب
