بخشی از مقاله
چکیده
از مهم ترین پارامترهای طراحی ستونها ضریب طول مؤثر آنها در کمانش است. برای ستونهای با مقطع متغیر، به دلیل در دست نبودن حل دقیق معادلهی دیفرانسیل تغییر شکل، ضریب طول مؤثر به صورت تقریبی و با استفاده از روشهای عددی تعیین میشود. آییننامههای مختلف روابط و گرافهایی را ارائه نمودهاند، که بیشتر برای ستونهای با مقطع منشوری مناسب میباشد. امروزه ستونها با مقطع متغیر در ساختمانهایی با سازههای پیچیده، برای بهتر توزیع شدن وزن و همچنین برای برآورده کردن الزامات معماری مورد استفاده قرار میگیرند.
بنابراین، تعیین بار کمانش برای ستونهای با مقطع متغیر اهمیت زیادی دارد. در این نوشتار برای حل معادله کمانش ستون با مقطع متغیر از روش عددی دیفرانسیل کوادرچر استفاده میشود. به کمک این روش معادله مربوط به کمانش ستونها با مقاطع مختلف و شرایط تکیهگاهی گوناگون حل شده است و کارایی این روش در تعیین بار کمانش و ضریب طول مؤثر نشان داده شده است.
همچنین، برای حالتی که بار جانبی یکنواخت به تیر- ستون اعمال میشود در شرایط تکیهگاهی مختلف، ضریب افزایش لنگر تعیین شده است که در این حالت نیز روش دیفرانسیل کوادرچر ابزاری قدرتمند برای محاسبه لنگر بیشینه و ضریب افزایش لنگر میباشد.
-1 مقدمه
در برخی از سازهها برای استفاده بهینه از مصالح، از اعضای با مقطع متغیر استفاده میشود. در اینگونه اعضا، به دلیل متغیر بودن ممان اینرسی و مدول الاستیسیته، محاسبه بار کمانش و همچنین ضریب افزایش لنگر بسیار مشکلتر از اعضای منشوری است. سالهاست که پژوهشگران به دلیل مشکلات حل تحلیلی ریاضی، ناچار به استفاده از روشهای عددی و تقریبی شدهاند. برای اولین بار گری وکارتر1 در سال 1962 یک روش برای محاسبه بار بحرانی کمانشی ستونهای مخروطی با استفاده از توابع بسل را ارائه دادند
ارومپلوس2 در سال 1977 بر اساس روش شیب افت طول مؤثر کمانش تیرهای غیر منشوری را منتشر کرد .[2] در سال 1980 ارمانگر3 به کمک روش تفاضل محدود راه حل تقریبی برای تعیین بار کمانش ارائه کرد
در سال 1983 کرابالیس و بسکوس4 راه حلی مبتنی بر روش اجزاء محدود را ارائه کردند
مسئله کمانش الاستیک با ضخامت متغیر ستون در طول توسط اربابی و لی5 در سال 1991 ارائه گردید .در سال 1992 سیگنر6 مسئله کمانش ستونها با تغییرات خطی سختی خمشی در طول را مورد بررسی قرار داد . در سال 1998 سمپایو7 با استفاده از روش انرژی توانست یک راه حل برای کمانش تیر-ستونهای مایل ارائه دهد
یکی از روشهای حل عددی که امروزه در حال گسترش است روش دیفرانسیل کوادرچر است. اساس این روش تبدیل معادله دیفرانسیل به یک دستگاه معادلات جبری میباشد. برای این منظور عملگر مشتق با توابع چند جملهای تقریب زده میشود و معادله دیفرانسیل تنها در چند نقطه برآورده میشود. درجه چند جملهای بستگی به تعداد نقاطی دارد که در آن نقاط معادله دیفرانسیل ارضا میشود.
در این روش، مزیت دستیابی به یک حل دقیق با کمترین محاسبات انجام شده نسبت به روشهای حل عددی دیگر نظیر المان محدود و یا نوار محدود باعث شده است که کارآیی و قدرت روش فوق تدریجا اشکار شود و گسترش یابد. توسعه روش دیفرانسیل کوادرچر با معرفی کاربرد این روش در مسائل مکانیک سازه توسط جانگ - 1987 - 8 صورت گرفت .
همچنین روش دیفرانسیل کوادرچر توسط استرایز و همکارن - 1988 - 9 برای صفحههای دایره نازک در خمش غیر خطی استاتیکی در معرض بار متراکم یکسان و بار متمرکز نقطهای استفاده شد .
تاها و اسام10 پایداری و ارتعاش آزاد ستونها با مقطع متغیر، در حالت الاستیک را به کمک روش دیفرانسیل کوادرچر مورد بررسی قرار دادند. آنها توانستند بار بحرانی ستون مورد نظر را در حالت استاتیکی محاسبه نمایند. همچنین فرکانس طبیعی ستون را به ازای نیروهای محوری کمتر از نیروی بحرانی به دست آوردند
با توجه به این مطالب مشخص میشود که روش دیفرانسیل کوادرچر یک روش قدرتمند در حل معادلات دیفرانسیل است که در این نوشتار در تعیین بارکمانش و ضریب افزایش لنگر ستونهای با مقطع متغیر استفاده شده است.
-2 کمانش ستونها
معادلات حاکم بر مسأله را میتوان به دو دسته تقسیم نمود. در دسته اول، مساله کمانش ستون و تعیین ضریب طول موثر مورد بررسی قرار میگیرد و در دسته دوم معادلات مربوط به تیر ستونها و ضرایب افزایش لنگر آورده شده است.
در ابتدا معادلات مربوط به محاسبه بار کمانش مورد بررسی قرار میگیرد. با توجه به شکل 1 معادله حاکم بر کمانش ستون را میتوان به صورت
الف - شکل شماتیک تیر ستون با بار محوری ب - شکل شماتیک تیر ستون با بار جانبی
شکل :1 شرایط مرزی و بارگذاری در تیر-ستونها
با توجه به اینکه برای تعیین شرایط مرزی مختلف در دو انتهای ستون از فنر پیچشی استفاده شده است میتوان لنگرهای MA و MB را مطابق رابطه زیر محاسبه کرد:
که در آن KSA و KSB به ترتیب سختی فنرهای ابتدا و انتهای ستون میباشد که میتوان آنها را به صورت ضریبی از سختی خمشی تیر نوشت.
با حل این معادله میتوان مقدار بار کمانش را محاسبه نمود. از طرف دیگر میتوان ضریب طول مؤثر ستون مورد نظر را با استفاده از رابطهی زیر محاسبه کرد
پس از محاسبه بار کمانش به معادلات مربوط به محاسبهی ضریب افزیش افزایش لنگر پرداخته میشود:
همانند قسمت اول با توجه به تغییر شکل اولیه ستون و نمودار شکل آزاد آن، میتوان معادله را برای حالتی که بار گسترده یکنواخت بر آن اعمال میشود، به دست آورد
