بخشی از مقاله
چکیده:
استفاده از روشهای عددی مرتبهی دوم در بارگذاریهای ضربهای و کم دوام منجر به خطاهای عددی میشود. لیکن، استفاده از روشهای عددی مرتبهی اول میتواند این خطاها را کاهش دهد، هرچند ممکن است در سیستم محاسبات عددی حجم محاسبات و ذخیره سازی بالاتر رود. استفاده از روشهای عددی مرتبه دوم به ویژه در مسائل دینامیکی که با المان محدود سر و کار دارند، استفاده و بررسی ابعاد شبکه در عبور فرکانس های بالاتر نیز بیشتر نمود دارد. در این مقاله عیار روشهای عددی مرتبه دوم و مرتبه اول برای یک سازه ی یک درجه آزادی میرا تحت یک بار ضربهای بررسی و نتایج با هم مقایسه شدهاند. نتایج نشان میدهد روشهای مرتبهی اول دارای خطای کمتری هستند.
واژگان کلیدی: روشهای عددی مرتبهی دوم، روشهای عددی مرتبهی اول، سازهی یک درجه آزادی میرا، بار ضربهای
مقدمه:
معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی - - 1 اساس و پایه ی مسائل حاکم بر رفتار دینامیکی سازهها میباشد؛ حل این معادلات در اغلب روشهای عددی مانند اجزای محدود - - 2 و تفاضل محدود - - 3 بر اساس حل همزمان معادلات جبری است. روشهای عددی انتگرالگیری زمان برای محاسبهی پاسخهای دینامیکی سازه ها از سال 1970 توسعه داده شدند. روشهای تحیل دینامیکی در ادبیات فنی معمولاٌ دو دسته میباشند یکی بر اساس حل مستقیم معادلات تعادل مرتبه دوم و دیگری تبدیل معادله مرتبه دوم به مرتبه اول و بردن آن به فضای حالت. در روش نخست؛ استفاده از روشهای گام به گام عددی در تحلیل دینامیکی به ویژه از نوع غیرخطی آن بسیار مرسوم میباشد.
در این میان، روشهای انتگرالگیری مستقیم زمانی از عمومیت بسیاری برخوردارند. به طوری که در آنها تعادل در زمانهای گسسته حل میگردد. در این روشها با انتگرالگیری گام به گام پاسخ سازه محاسبه میگردد. واژه "مستقیم " به این معنی است که پیش از انتگرالگیری عددی تبدیل معادلات به فرم دیگری صورت نمیگیرد.[1] اینگونه روشها خود به دو نوع صریح - - 4 و ضمنی - - 5 تقسیم بندی میگردند که هر کدام نیز میتواند در قالب تک گامی ویا چند گامی قرار گیرند. به عنوان یک ایده کلی در مسائل انتشار موج استفاده از تکنیک انتگرالگیری صریح مناسبتر است. در حالی که انتگرالگیری ضمنی برای مسائل اینرسی موثرتر می باشد.[2-3]
گاهی این روشها برای سیستم چند درجه آزادی هنگامی که مرتبه ماتریس ها زیاد باشد، میتوان بسیار پرهزینه باشد. روش انتگرالگیری مستقیم اگر چه هنوز هم دارای مشکلاتی است، لیکن در مسائل مهندسی به صورت گستردهای مورداستفاده قرار گرفتهاند و در بین آنها شمار اندکی موثر و جالب توجه میباشند. بنابراین، برای انتخاب یک روش انتگرالگیری کارا یک مقایسه ی جامع و کامل از این روشها نیاز میباشد. محققین مختلف در گذشته تحقیقات جامعی را در زمینهی تحلیل دینامیکی مستقیم زمانی انجام دادهاند. بته و ویلسون[4]، وود[5] و هوگس[6] تعدادی از روشهای عددی را معرفی نمودند . ساباراج و دوکانیش[3] بررسی دقیقی از روش های عددی قبل از زمان خود را ارائه دادند.
از آنجایی که هزینهی یک روش گام به گام عددی به طور مستقیم مربوط به تعداد گامهای زمانی است، گام زمانی باید به اندازه ای زیاد باشد که هزینه محاسباتی را کاهش دهد. در حالی که این گام نیز باید به قدر کافی کوچک باشد تا دقت مورد مطالبه را اقناع نماید. انتخاب اندازه گام زمانی که در محاسبه گام به گام پاسخ دینامیکی یک سیستم به کار میرود، به پایداری ویا دقت الگوریتم مربوطه محدود میشود. اصلیترین لازمه یک الگوریتم عددی این است که هنگامی که مقدار گام زمانی به سمت صفر میل میکند، پاسخ محاسبه شده به مقدار دقیق آن همگرا شود.[6] گام زمانی پارامتر مهمی در تعیین دقت پاسخ سیستم میباشد. به طوری که با افزایش آن هر دو خطای مربوط به کشیدگی دوره تناوب - - 1 و کاهش دامنه - - 2 افزایش مییابد.
در ضمن برای یک مقدار ثابت از گام زمانی، مقدار یک یا هر دو خطای موجود برای سیستمها ی با دوره تناوب کوچک بیش از سیستمهای با دوره تناوبهای بزرگ می باشد.[6] ارزیابی این دو نوع خطا نشان میدهد که در حالت کلی روشهای صر یح از دقت بالاتری نسبت به روشهای ضمنی برخوردارند. در این میان روشهای شتاب خطی و تفاضل مرکزی دقت خوبی را دارا می باشند. لیکن مهمترین نقص این روشها پایداری مشروط آنهاست. در این میان روشهای انتگرالگیری ضمنی، روشهای نیومارک - - 3 از دقت بالاتری نسبت به سایر برخوردارند. فرکانس بار اعمال شده به سازه نیز فاکتور دیگر در تعیین دقت روشهای عددی است.
دقت روشهای عددی در صورت ثابت بودن متغیرهای دیگر، بستگی به محتوای فرکانسی بار دارد. به طوری که بزرگی خطا در پاسخ سازه, با افزایش فرکانس بار افزایش مییابد.[7] بنابراین برای یک بار گذاری با محتوای فرکانسی بالا، یک گام زمانی کوچک نیاز است. علاوه بر ملاحظات دقت، پایداری نیز باید در انتخاب یک گام زمانی مناسب مد نظر قرار گیرد. روشهایی مانند هوبولت - - 4 همواره پایدارند. روشهایی نیز به مانند روش ویلسون- - 5 - به ازای 1/37 بدون شرط پایدار میباشند. در حال که روش شتاب خطی - - 6 و روش تفاضل مرکزی - - 7 پایداری مشروط دارند. میتوان گفت انتخاب یک روش انتگرالگیری مناسب بستگی به مسئله مورد نظر و دقت مورد مطالبه برای پاسخهای محاسبه شده دارد.
از این میان، روش شتاب متوسط نیومارک - - 8 دارای توانی مناسب در حذف اثر نامطلوب مدهای بالا است و به دلیل ضمنی بودن با توجه به دقت مناسب این روش پرکاربرد تر از باقی روشها میباشد. لیکن به دلیل پایداری مشروط آن و پاسخ غیرمنطقی این روش در پریودهای پائین از معادلات در فضای حالت به جای معادلات مرتبه دوم اصلی استفاده میشود.[8-9] در این الگوریتمها مهمترین موضوع نحوی محاسبهی ماتریس نمایی است که مولار و لئون[10] لیستی متشکل از 19 روش برای محاسبهی ماتریس نمایی با مزایا و معایبشان را معرفی نمودند. خطای گرد کردن در روش مقیاس سازی و مربع سازی - - 9 در مقایسه با دیگر روشها کمتر بوده و این روش فاقد رشد صعودی خطا میباشد.
محققین مختلف در سالهای اخیر تحقیقات جامعی را در زمینه تحلیل دینامیکی فضای حالت انجام دادهاند. زانگ و ویلیام[11] روش" - "+LJK 3UHFLVLRQ LUHFW-L - HPD-/ را ارائه دادند. که این روش برای یک معادلهی تعادل همگن تحت بار خطی بود ودر نقاط انتگرالگیری جواب دقیقی را بدست می دهد. لیکن دقت این روش به دلیل خطای ذاتی ماتریس معکوس و معادل سازی نیرو به ویژه زمانی که سیستم غیر همگن است، محدود میشود. شن و لین[12] روش HPD-F" "را ارائه نمودند که برای معادلهی تعادل غیرهمگن - - 1 می باشد. اما دقت آن با معادل سازی بار محدود میشود و تلاش محاسباتی آن بالاست.
گوو[13] نسخه جدیدی از "PIM" را با استفاده از روش بسط ابعادی - - 2 ادامه داد که معادلهی غیرهمگن را به معادلهی همگن تبدیل میکند. این روش هنوز هم دارای خطای معادل سازی بار بوده و نیازمند فضای زیادی برای ذخیرهسازی محاسباتش میباشد. ونگ و آوو[14] مشروط بودن پایداری روش PIM و خطای مربوط به کشیدگی دوره تناوب وکاهش دامنه آن را منتشر کردند. زانگ و ونگ[15] و ونگ[16] استفاده از انتگرال مستقیم گوس "GPIM" و روش "UPIM" با پایداری نامشروط که بر اساس روش تقریبی پد - - 3 استوار بود را پیشنهاد نمودند. ونگ و آوو[17] با به کار گیری روش تجزیهی ماتریس کروت - 4 - روشهای "NICPIM-L" و "NICPIM-F" را که بی نیاز از محاسبهی ماتریس معکوس بود ارائه نمودند.
لیکن این روش نیز هنگامی که ماتریس نمایی منفرد باشد دارای خطای بالایی در محاسبات می باشد و در نهایت وو[18] روش " IPIM" را معرفی کرد.در این مقاله دقت روشهای نیومارک، PIM-L، NICPIM، IPIM با روش تحلیلی مورد مقایسه قرار میگیرد. برای این منظور یک سازه یک درجه آزادی تحت یک بارگذاری ضربهای قرار میگیرد تا عیار روش ها بهتر مشخص شود. هر چند برای مشخص شدن قوام روشهای مختلف عددی بایستی یک سازه با روش اجزای محدود مدل شود تا اثر ابعاد شبکه در به دام انداختن فرکانسهای بالا آشکار گردد.
روشهای مرتبه اول:
روش :PIM-L
با فرض اینکه بردار شتاب، بردار سرعت و بردار تغییر مکان باشد. معادلهی تعادل دینامیک سازهها را میتوان به صورت زیر بیان نمود:
که در آن M ماتریس جرم سازه، C ماتریس میرایی سازه، K ماتریس سختی سازه و F بردار نیروی خارجی است . با استفاده از تکنیکهای کاهش مرتبه و با انجام عملیات ریاضی معادلهی - 1 - به صورت روابطه - 2-1 - و - 2-2 - در میآید.
