بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله، ابتدا به مطالعه تحلیل پایداری دستگاه معادلات دیفرانسیل کسری از مرتبه توزیعی می پردازیم، سپس برای نشان دادن کارایی و تصدیق نتایج مطرح شده در مورد تحلیل پایداری، معادله دیفرانسیل نوسانگر وندر پول و دستگاه معادلات راسلر کسری از مرتبه توزیعی را با استفاده از روش تقریب گرنولد-لتنیکو مورد بررسی قرار می دهیم.
.1 مقدمه
مدل ریاضی بسیاری از پدیدههای طبیعی، فیزیکی و مهندسی در ریاضیات منجر به پیدایش دستگاه معادلات دیفرانسیل میشوند لذا تحلیل پایداری این نوع معادلات بدون حل صریح آن از اهمیت ویژه ای برخودار است. تعاریف فراوانی در رابطه پایداری یک دستگاه دیفرانسیل وجود دارد که ما در این مقاله از تعریف پایداری به مفهوم لیاپانوف بهره خواهیم برد، یعنی شرط لازم و کافی برا اینکه دستگاه خطی پایدار باشد این است که همه مقادیر ویژه ماتریس ضرایب، قسمتهای حقیقی غیرمثبت داشته باشند.
حساب کسری که به آن لقب حساب قرن 21 نیز دادهاند نامی است برای مشتقگیری و انتگرالگیری از مرتبه دلخواه که تعمیمی برای مشتق و انتگرال از مرتبه صحیح است. از آنجایکه این مفاهیم کسری قدمتی به اندازه حساب دیفرانسیل و انتگرال دارند لذا بر شمردن این شاخه از ریاضیات به عنوان یک علم جدیدکاملاً اشتباه است. اگرچه این موضوع دارای سابقهای بیش از 300 سال می باشد، اما حدود 40 سال پیش پس از نخستین کنفرانس بینالملی حسابان کسری که در دانشگاه نیوهاون به همت پروفسور برترام راس برگزار گردید >1@، نوع نگاهها به این موضوع که حسابان کسری در حوزه ریاضیات محض قرار دارد تغییر کرد و از آن زمان تاکنون بهعنوان یک ابزار قدرتمند برای مدلسازی مسائل مهندسی مورد توجه جوامع مهندسی و علوم کاربردی قرار گرفت.
چون تحلیل پایداری اینگونه مسائل همانند دستگاه هایی با مشتقات معمولی از اهمیت ویژهای برخودار است از اینرو تحقیقات متعددی در سالهای اخیر در این زمینه ارائه گردید. به عنوان مثال، ماتیگنون* در سال 1996 شرایط لازم و کافی برای پایداری چنین دستگاه هایی را بیان نمود [2]، هم چنین دنگ پایداری دستگاه معادلات دیفرانسیل مرتبه کسری با تأخیر چندگانه را مطالعه کرد .[3] ایده اولیه مشتقات کسری از مرتبه توزیعی توسط کپوتو مطرح شد [4] و در ادامه توسط خود کپوتو [5]، باگلی و تورویک توسعه یافت .[6-7] سپس محققین دیگر اقدام به ارائه مدلهای ریاضی که در ساختار آنها مشتقات کسری از مرتبه توزیعی استفاده میشد، نمودند.
برای مثال دیتلم** با بیان یک روش عددی مبتنی بر دستگاه معادلات کسری، بسیاری از پدیدههای فیزیکی و مسائل مهندسی را مورد تحلیل و بررسی قرار داد .[8] از آنجایی که پایداری چنین دستگاه هایی از اهمیت بالایی برخودار است، برای اولین بار صابری نجفی و همکارانش در سال 2010 به تحلیل پایداری دستگاه های خطی کسری از مرتبه توزیعی با تابع چگالی نامنفی پرداختند .[9] در ادامه رضازاده و همکارانش دستگاه معادلات دیفرانسیل غیرخطی کسری از مرتبه توزیعی و همچنین دستگاه معادلات دیفرانسیل کسری از مرتبه توزیعی با تأخیر چندگانه را معرفی و در مورد پایداری این معادلات نتایجی را ارائه نمودند .[10]
در این مقاله میخواهیم روش نوینی را برای پایداری دستگاه کسری از مرتبه توزیعی بیان کنیم. این روش شامل دو مرحله زیر است. مرحله اول. با بهکارگیری یک روش انتگرالگیری مناسب معادله کسری از مرتبه توزیعی، تبدیل به معادله دیفرانسیل چندجملهای کسری میشود. مرحله دوم. معادله دیفرانسیل چندجملهای کسری حاصل از مرحله اول را هم ارز با دستگاه معادلات کسری - N بعدی مینماییم، سپس به تحلیل پایداری دستگاه حاصل می پردازیم.
در ادامه این مقاله، در بخش دوم ابتدا به ارائه معروفترین مشتقات کسری مطرحشده در حساب کسری یعنی، ریمان-لیوویل ، گرنولد-لتنیکو و کپوتو میپردازیم، سپس مشتق کسری از مرتبه توزیعی را تعریف مینماییم. در بخش سوم با استفاده از انتگرال گیری عددی ذوزنقه ای به تحلیل پایداری دستگاه کسری از مرتبه توزیعی خواهیم پرداخت. سرانجام دربخش چهارم به تحلیل پایداری نوسانگر وندر پول و دستگاه معادلات راسلر*** کسری از مرتبه توزیعی بر اساس روش مطرح شده در بخش سوم برای کارایی روش مذکور مطرح میکنیم.
