بخشی از مقاله
چکیده:
هدف از این تحقیق ارتقاء تفکیک پذیری نتایج حاصل از وارون به روش کمترین مربعات دادههای سه بعدی مقاومت ویژه ظاهری با استفاده از یک روش هموارسازی جدید است، این روش که متعادل سازی فعال - Active Constraint - Balancingنامیده میشود تلاش میکند تا با متعادل ساختن قیود در وارون به روش کمترین مربعات با توجه به حساسیت مسئله خاص به ارتقاء توان تفکیک و پایداری نتایج حاصل از وارون بپردازد.برای اینکار الگوریتم وارون با استفاده از روش متعادلسازی فعال بر روی داده های مصنوعی مقاومت ویژه الکتریکی برای مدل ساده ای از زمین اعمال شده و نتایج حاصله با نتایج وارون معمول، مقایسه شده است.
با در نظر گرفتن خطای RMS و نبود تجانس ناچیز بین داده و مدل به دست آمده در این روش، در مقایسه با نتایج حاصل از روش وارون معمول که از ضریب لاگرانژ ثابت در کل فرایند استفاده میکند ،معلوم می شود که این روش رهیافتی مفید برای دستیابی به نتایجی با پایداری و تفکیک پذیری بیشتر است.ازدیگر پارامترهای بسیار مهم دیگری که در این مطالعه بررسی شده ،تاثیر توپوگرافی در نتایج آزمون است زیرا اگر توپوگرافی را در مطالعات خود نادیده بگیریم یک تصویر غیر واقعی از بی هنجاری های داخل زمین بدست خواهیم آورد.
واژه های کلیدی: متعادلسازی فعال، توپوگرافی ، مقاومت ویژه، وارون
مقدمه:
اکثر روشهای وارون ژئوفیزیکی با استفاده از خطی سازی مسئله وارون وسپس کمینه کردن اختلاف دادههای اندازه گیری شده و مشاهده شده به روش کمترین مربعات حل میشوند.به دلیل غیر خطی بودن مسئله و نیز به سبب کافی نبودن دادههای جمع آوری شده در طرحهای ژئوفیزیکی ، با یک مسئله بد رفتار مواجه میشویم .برای دستیابی به پایداری و نیز تسریع در سرعت همگرایی ، انواع قیدها و هموارسازی مثل قیدهای هموارکننده ویا میرایی - Sasaki,1994 - مورد استفاده قرار میگیرد .به منظور به دست آوردن تفکیکپذیری زیاد و وارون سازی هموار ، باید دقت بسیار زیادی را در کمینه کردن خطا در برازش داده و میزان هموارسازی به عمل آورد در ارتباط باهموارسازی ،جاپ و ووزوف - Jupp& Vozoff, 1975 - ، یک روش وارون کمترین مربعات به روش قیدهای میرایی را توسعه دادند در این روش ضریب لاگرانژ با هر تکرار تغییر میکند.
از دیگر مباحث مهم دیگر در مقاومت ویژه توپوگرافی است که نادیده گرفتن ان در وارون تفاسیر مارا با خطا همراه می کند . احتمالا کاگن - Coggen,1971 - اولین کسی بود که تاثیرات توپوگرافی را مورد توجه قرار داد، فاکس و همکارانش - Fox et all.1980 - یک الگوریتم تصحیح دو بعدی را با یک سری کد محدود پایه ریزی کردند، هولکوم و جیراک - Holcombe & Jirac. 1984 - روش المان محدودرابرای اعمال تصحیح توپوگرافی سه بعدی بکار بردند البته با فرض اینکه زمین همگن و یکنواخت است. چون شرای زمین واقعی در همه نقاط همگن نیست برای حل این مشکل تانگ و یانگ - - Tong &Yang.1990 روش کد وارون دو بعدی را با در نظر گرفتن توپوگرافی دو بعدی بکار بردند و تصاویر دقیقتری را از زمین واقعی بدست اوردند. محققان زیادی از جمله ساساکی، لی و الدنبرگ و... - .Sasaki.1994. Li& oldenberg, 1992 - کد وارون سه بعدی را فرمول نویسی کردهاند تفاوت عمده این روشها در الگوریتم مورد استفاده در روش مستقیم است.
در تحقیق پیش رو یک روش جدید دروارون سه بعدی به روش کمترین مربعات معرفی می شود که به تحلیل تفکیک پذیری با استفاده از پارامترهای مدل و متعادل سازی قید ها می پردازد . با معرفی ضریب لاگرانژ درحکم یک متغیر وابسته به مکان در فرایند هموار سازی، می توانیم به متعادل سازی و هموار سازی در فرایند وارون بپردازیم . ضرایب متغیر لاگرانژ با استفاده از ماتریس تفکیک پذیری و تحلیل از راه تابع پراکندگی باکوس گیلبرت - -Buckus - Gilbert,1967 به دست می آیند .این فرایند ، متعادل سازی فعال - - Active Constraint Blancing نامیده میشود.با استفاده از این روش می توان یک تصویرارتقایافته از زمین با استفاده از متعادل سازی قیدهای به کار رفته دروارونسازی به دست آورد.
تئوری مسئله:
اکثر مسائل معکوس ژئوفیزیکی با استفاده از روش کمترین مربعات تکراری حاصل می شوند .مسئله با خطی سازی شروع می شود و سعی دارد تا به یک مدل بهینه از زمین دست یابد تا بتواند خطا و یا نبود تجانس داده و مدل را کمینه کند .می دانیم بردار خطا بین داده مشاهده شده و محاسبه شده به صورت زیر تعریف می شودکه در آن ، d دادههای محاسبه شده و F - P0 - بیانگر پاسخ مدل برای مدل اولیه p0 است. با استفاده از بس سری های تیلور فرمول بالا، می توان معادله ماتریسی زیر را به دست آورد - Jupp& Vozoff, 1975 - که در آن ∆p بردار انحراف از مدل است. که در آن ،J همانطور که قبلا گفته شد مشتق جزئی یا ماتریس ژاکوبی است و به صورت زیر تعریف میشود:
همانطور که اشاره شد معادله - 2 - معمولاً بدرفتار است و نوعی از منظم سازی مانند قید های هموارکننده و یا میرایی به منظور رسیدن به جوابی پایدارمورد نیاز است .یی و همکاران - - Yi&all,2003 برای بدست آوردن بردار انحراف از مدل بهینه ∆P ، به کمینه کردن تابع توزیع زیر پرداختند.که در آن ، بیان کننده ضریب لاگرانژ است .اولین عبارت سمت راست معادله - 4 - بیان کننده کمینه سازی خطا در روش کمترین مربعات و عبارت دوم وظیفه تلفیق قید ها و هموار سازی را برعهده دارد. - - Lines& Treitel, 1984اگر n برابر با صفر باشد معادله - 4 - متناظر با روش مارکوات- لونبرگ است و چنانچه n برابر با یک یا دو باشد معادله متناظر با وارون با قیدهای هموار است. یی و همکاران - - Yi&all,2003، با کمینه کردن معادله - 4 - با توجه به بردارانحراف از مدل به معادله نرمال زیر رسیدند.
که در این معادله c ،بیانگر عملگر n در معادله - 4 - است. بنابراین بردار انحراف از مدل را می توان با وارون ماتریس در براکت سمت چپ معادله - 5 - به صورت زیر به دست آورد:که در آن J+ ماتریس شبه وارون - - Pseudo-inverse matrixاست و با معادله زیر تعریف میشود. - - Menke,1989ماتریس حساسیت R ، - Menke,1989 - به صورت زیر تعریف میشود:توجه شود که ماتریس کیفیت ممکن است مرتب با فیلتر میانگین وزنی باشد که روی بردار انحراف از مدل واقعی ∆pgعمل میکند و به صورت زیر نشان داده میشود. که در این رابطه . ∆d=j∆p g از آنجا که ماتریس کیفیت R ، حاصلضرب ماتریس ژاکوبین و ماتریس شبه وارون R است، میتوان تشخیص داد که پارامترهای معینی قابل تفکیک هستند یا خیر .
اگر یک پارامتر به طور کامل تفکیک شود، بردار سطری متناظر ماتریس تفکیک میباید مقدار واحد را برای آن پارامتر اختیار کند و مقدار صفر در بقیه سطرهای ماتریس تفکیک تولید خواهد شد. از سوی دیگر اگر پارامتری به هیچ وجه تفکیک نشود، بردار سطری شامل اعداد تصادفی خواهد بود.برای مشخص کردن تفکیک پذیری از تابع توزیع باکوس-گیلبرت - - Menke1989 که به منظور ارزیابی توزیع مکانی بردارهای سطری ماتریس کیفیت به کار می رود، استفاده میشود.یک مقدار بزرگ تابع توزیع برای یک پارامترمشخص بیانگر از بین رفتن تفکیکپذیری آن پارامتر و یا برعکس است .این تابع توزیع برای-i امین پارامتر به صورت زیر نوشته میشود :
که در آن N تعداد پارامترها و WIJ ضریب وزنی قابل محاسبه از فاصله مکانی بین دو پارامترi و j است. در اینجا sij ماتریس مورد استفاده برای هموارسازی در فرایند وارون است. - برای مثال تاثیر قیدهای هموارکننده ویا میرایی - sij برابر واحد است هنگامی که Cij در معادله - 5 - غیر صفر باشد و در غیر این صورت برابر صفرخواهد بود.
متعادلسازی فعال
در مدل سازی معکوس سعی می شود برآورد خوبی ازضریب لاگرانژ داشته باشیم .اما پیدا کردن بهترین ضریب کار ساده ای نیست .به لحاظ نظری ، مقادیر بزرگ برای ضریب لاگرانژ، قیدهای بیشتری را به جواب اعمال میکند و تفکیک پذیری ضعیف تری از پارامترها را به دست میدهد.از سوی دیگر مقایر کم ضریب لاگرانژ بر پایداری وارون اثر منفی دارد . یک مقدار بینابینی برای ضریب لاگرانژ به منظور دستیابی به تفکیک پذیری و پایداری لازم است . این رهیافت این حقیقت را نادیده میگیرد که همه پارامترها، تفکیکپذیری یکسانی ندارند. برای یک پارامتر غیرقابل تفکیک، در صورتی که ضریب لاگرانژ داده شده خیلی کوچک باشد، باعث تولید جوابهای پایدار پر خطا خواهد شد .
برای پارامترهای با تفکیک پذیری زیاد، تفکیک پذیری کاهش یافته و اطلاعات زمین قابل بازیابی نخواهد بود .بنابراین تغییر ضریب لاگرانژ در حین همگرایی معکوسسازی برای دستیابی به تفکیکپذیری بیشتر و پایداری ترجیح داده میشود. - Nemeth& Qin, 1997 - لذا این روش در مقایسه با حالتی که یک مقدار ثابت برای ضریب لاگرانژ دروارون به کار میرود دقیقتر است.یک رهیافت به منظور استفاده از ضریب لاگرانژ متغیر با تکرار در فرایند وارون، استفاده از ضریب لاگرانژ متغیربا مکان است - Sasaki,1989 - که این روش با آزمون و خطا قابل حصول است . برای مثال در روش ژئوفیزیکی مقاومت ویژه، پارامترهای واقع در نقاط دور از محل اندازهگیری باید درحکم مکانهایی با تفکیکپذیری کم در نظر گرفته شوند و برعکس .
مقادیر بزرگ ضریب لاگرانژ برای نقاط با تفکیکپذیری کم تخصیص داده میشود ومقادیر پایین تر ضریب لاگرانژ برای نقاط با تفکیک پذیری زیاد ، این نظر با تعریف ضریب لاگرانژ در معادله - 5 - به منزله تغییر مکانی - - x,y,zقابل تعمیم خواهد بود.متعادل سازی فعال روشی برای مشخص کردن ضرایب لاگرانژ متغیر با مکان است .در متعادل سازی فعال، ابتدا تابع توزیع ماتریس تفکیک را از راه معادلات - 8 - و - 7 - با یک مقدار کوچک برای ضریب لاگرانژ - برای مثال - 0 005 در معادله - 10 - پیدا میکنیم. سپس تابع توزیع را به ضرایب لاگرانژ متغیر با مکان محدود شده با مقادیر از پیش تعیین شده تبدیل می کنیم .اگر تابع توزیع پارامتر بزرگ باشد - که نشان دهنده تفکیک پذیری کم است - ،متعادل سازی فعال مقدار بزرگی را برای ضریب لاگرانژ به آن پارامتر اختصاص می دهد و برعکس.بر طبق توابع توزیع، ضرایب
