بخشی از مقاله
مقدمه
یکی از روشهاي موثر و مفید در تولید علم، موضوع بررسی نگرشهاي متفاوت در روش تحلیل یک مسئله میباشد. در این مقاله، روشهاي متفاوت از اثبات قضیه حد مرکزي ارائه شده است. سعی بر آن بوده تا با گردآوري روشهاي اثبات موجود، دانشجویان را با نحوة تحلیل متفاوت در نظریه احتمال آشنا نمود. در اینصورت آنان با روش نوین آموزش از دریچههاي متفاوت آشنا خواهند شد. گاهاً، با تلفیق چند روش اثبات متفاوت، میتوان به روش اثبات جدید و یا یک راهکار جدید جهت تحلیل مسائل دیگر دست یافت. لااقل، مزیت این نحوة نگرش - ارائهي اثباتهاي متفاوت - آن است که افراد با آموختن روشهاي مختلف، به یافتههاي خویش از چند جهت می افزایند.
ذهن خلاق و کنجکاو، روحیهي مبارزه و رقابت، احساسات بشردوستانه و کمک به همنوع، همگی انگیزههاي لازم جهت ابداع و ارائهي روشها و رهیافتهاي جدید در هر رشته از علوم مختلف میباشند. شاید بتوان اذعان نمود که ترقی و پیشرفت علوم در یک حیطه خاص، مدیون تلاش و اهتمام دانشمندان حوزههاي علمی مختلف با طرز نگرشهاي متفاوت بر آن موضوع یا حیطه علمی میباشد. همه این تلاشها صرفاً جهت تولید رفاه و آسایش بیشتر نیست. محققین روانشناخت، ادعا دارند که تلاش و کوشش دانشمندان جهت تولید علم، تا حدي زاییدهي حس ارضاء عقل و روح کنجکاو آنان است. که نتیجتاً، منجر به رفاه و آسایش بیشتر در زندگی بشریت میشود.
برخی از دانشمندان معترفند که ابداع، اختراع و یا فرمولهاي پیشنهادي آنان حقیقتاً از ابتدا با این نیت نبوده است. و تنها جهت برآورده ساختن نیاز روحی و روانی بوده است.قضیهي حد مرکزي: اولین بار، از قضیه حد مرکزي جهت تقریب احتمالی براي تعداد شیرهاي رو شده در چرخش بسیار زیاد یک سکه توسط ابراهام دي. مویور استفاده شد. او در مقالهاي که سال 1733 به چاپ رساند از توزیع نرمال جهت تقریب زدن توزیع تعداد شیرهاي رو شده استفاده کرد. و تا اوایل قرن بیستم از اهمیت این قضیه به نحو کاملی پردهبرداري نشده بود. تا اینکه یک ریاضیدان روسی با نام الکساندر لیاپانوف - دانشجوي دورة دکتري چبیشف - یک اثبات ریاضی از آن ارائه داد. نامگذاري "مرکزي" براي این قضیه به پولیو منصوب است.
زیرا این قضیه نقش مرکزي و یا بهعبارتی مهمی را در نظریه احتمال ایفا میکند. یک شرط اساسی در قضیه حد مرکزي متناهی بودن گشتاور مرتبه دوم میباشد. البته، شرط استقلال و همتوزیع بودن دنباله از فرضیات اساسی به شمار نمیرود و این قضیه حتی درحالتی که از شرط استقلال تخطّی کند نیز برقرار است. مثلاً صحت برقراري شروط لیاپانوف و لیندبرگ، همگرایی مجموع یک دنباله دلخواه مستقل از متغیرهاي تصادفی به یک متغیر تصادفی نرمال را تضمین خواهند داد در ادامه، هفت روش اثبات متفاوت براي قضیه حد مرکزي ارائه شده است.
اگرچه اثباتهاي دیگري نیز براي آن ارائه شده اما از آنجایی که روشهاي بهکار بسته شده در آن اثباتها ثقیل میباشد، از ارائهي آنها چشمپوشی میشود. قبل از معرفی اثباتها، در ادامه، یک اصل احتمالی کلی تحت عنوان قضیه حد مرکزي تعمیم یافته ارائه میشود.قضیهي حد مرکزي تعمیم یافته: یکی از شرایط بنیادي در استفاده از قضیه حد مرکزي، متناهی بودن گشتاور دوم جامعه است. درحالی که ممکن است مشاهدات از جامعهاي جمعآوري شوند که گشتاور دوم متناهی نداشته باشد.ادفی نرمال با انحراف معیار2d میباشد. اثبات دوم براي قضیه حد مرکزي با استفاده از تابع مولد گشتاور امکانپذیر است که در بیشتر کتابهاي کارشناسی یافت میشود.
اثبات سوم براي قضیه حد مرکزي به کمک تابع مشخصه توسط کریگر انجام شده است - منبع. - 4 اثبات چهارم براي قضیه حد مرکزي نیز بهنحو مستقلی به دو ریاضیدان به نامهاي آندره سی. بري و کارل گاستو اسن منصوب است طبق این قضیه، در صورت متناهی بودن گشتاور مرتبه سوم جامعه، تابع توزیع تجربی با نرخ همگرایی از مرتبه 1/ nبه تابع توزیع نرمال استاندارد میگراید. اثبات پنجم براي قضیه حد مرکزي به کالنبرگ منصوب است.
یک تبدیل بسیار معروف احتمالی که کاربرد فراوانی در علوم مهندسی دارد، تبدیل فوریه و یا تبدیل معکوس فوریه میباشد. بهکمک این تبدیل و عکس آن بهراحتی میتوان تابع چگالی و تابع مشخصه یک متغیر تصادفی را محاسبه نمود همچنین، دو اثبات متفاوت دیگر نیز براي قضیه حد مرکزي توسط کاکولوس و همکاران ارائه شده است.
نتیجهگیري
در این مقاله، سعی بر آن بوده تا با گردآوري روشهاي اثبات قضیه حد مرکزي، دانشجویان با نحوة تحلیل متفاوت در علم آمار و نظریه احتمال آشنا شوند. برخی از اتحادها و قضایاي مهم در هر علمی از جمله نظریه احتمال، با روشهاي تحلیل متفاوت اثبات میشود. مثلا میتوان 7 روش براي اثبات کارایی انحراف معیار نمونه، 4 روش براي اثبات قضیهي چبیشف، روش براي اثبات قضیهي دوجملهاي، روش براي اثبات کارایی میانهي نمونه و... ارائه نمود.
موضوع جمعآوري برهانهاي متفاوت براي قضایا و مسائل احتمالی و آماري، از جمله مباحثی است که می تواند به دانشجویان و محققین، نوع نگرش متفاوت و تولید رهیافت جدید براي اثبات را بیاموزد. به این نحو که در گام نخست، با یادگیري هر روش اثبات میآموزد که چگونه میتوان از دریچههاي مختلف به تحلیل آن پرداخت. دوم آنکه، با مقایسه آن روشها سادهترین و بهترین روش ارائه شده را جهت آموزش به سایرین انتخاب کند. به عنوان سومین مزیت، شاید بتوان با ترکیب چند روش تحلیل، رهیافتی براي حل این مسئله و یا مسئلهي دیگر ابداع نمود. پس، پیگیري دیدگاه گردآوري برهانهاي متفاوت براي قضایا و مسائل احتمالی و آماري، در تولید علم و آگاهی حقیقتاً سودمند است.
