بخشی از پاورپوینت
--- پاورپوینت شامل تصاویر میباشد ----
اسلاید 1 :
طرز محاسبه ای که برای ضرایب سری فوریه به کار بردیم مستلزم این است که سری مثلثاتی موجود در سری فوریه به ازای تمام x ها در(-1,1) به f(x) همگرا باشد.
اما تابع f(x) می تواند مساوی سری سمت راست تعریف شده در سری فوریه نباشد،چون ممکن است این سری واگرا باشدو یا در صورت همگرایی به تابعی غیر از f(x) همگرا باشد.در اینجا شرایطی را ذکر می کنیم که برای همگرایی کافی است و با استفاده از آن قضیه ای را که اولین بار توسط دیریکله در 1829 بیان شده است اثبات می کنیم.
اسلاید 2 :
اثبات این قضیه برای فاصله در نظر گرفته می شود
که می توان برای فاصله ی (-1,1) هم تعمیم داد.
برای مطالعه ی بیشتر بخش 41 از مرجع [4] معرفی می شود.
فرض می کنیم که تابع f(x) در بازه ی تکه ای -پیوسته
و در هر نقطه از آن دارای مشتق چپ وراست باشد.همچنین لم زیر را بدون اثبات می پذیریم:
لم.اگر (t) Φ و
در بازه ی a<t<b تکه ای – پیوسته وΦدر t=x در فاصله ی
اسلاید 3 :
(a,b)، دارای مشتق چپ و راست باشد در این صورت
قضیه 1 (قضیه دیریکله)گیریم تابع متناوبf(x) با دوره ی تناوب Π2درفاصله ی( Π2و(0 تکه ای –هموار باشد.
آن گاه در هر نقطه از سری پیوستگی سر فوریه برای تابع f(x) همگرا به f(x) می باشد.همچنین در هر نقطه از ناپیوستگی تابع f(x) همگرا به میانگین حسابی از مقادیر
اسلاید 4 :
و است.
برهان.مجموع 2N+1 جمله اول از سری فوریه را می نامیم.بنا براین
که در آن ضرایب سری فوریه با استفاده از روابط زیر بدست می آیند
اسلاید 5 :
با جایگذاری این ضرایب در وتعویض ترتیب انتگرال گیری با مجموع خواهیم داشت
اسلاید 6 :
اما از آنجایی که
لذا خواهیم داشت
اسلاید 7 :
که در آن
چون f(t) در فاصله ی (0,2Π) تکه ای –پیوسته و در نقطه ی t=x دارای مشتقات چپ و راست است پس Φ(t) هم همانندf(t) است و بنا بر لم بالا داریم
اسلاید 8 :
بدیهی است که درنقاط پیوسته وقتی آنگاه .
بنا براین با توجه به این قضیه مشاهده می شود مقدار در مثال 5 برابر است با
حال تابع f(x) را که به صورت زیر تعریف شده است مورد بررسی دقیق تری قرار می دهیم:
اسلاید 9 :
سری فوریه مربوط به این تابع عبارت است از
اگر نمایش مجموع اولین n جمله این سری باشد آنگاه
طریقی که این مجموع جزئی به ازای n=0,1,2,3,… به f(x) همگراست در شکل 2.7 رسم شده است.
اسلاید 10 :
در شکل فوق دیده می شود برای نقاطی که f پیوسته است با افزایش مقدار n ، به f(x) نزدیک می شود. با این وجود در همسایگی نقاط ناپیوسته نظیر x=0 وx=Π مجموع جزئی به طور هماری به مقدار میانگین همگرا نیست.به عوض به بالای هر نقطه ی پایانی از جهش میل میکند.این رفتار که در نقاط ناپیوسته اتفاق می افتد پدیده گیبز نلمیده می شود.چنان چه بخواهیم ز این سری برای تقریب زدن f(x) در نقاط ناپیوسته استفاده کنیم ایجاد اشکال می شود بنابرایندراین حالات ابید دقت خاصی مبذ ول داشت.
