بخشی از مقاله
خلاصه
روش تفاضل محدود از قدیمیترین و معروفترین روشها در دینامیک سیالات محاسباتی میباشد. یکی از مهمترین مشکلات این روش عدم کارایی در هندسههای پیچیده و مسالههای با تغییر شکل میباشد. برای استفاده از روش اختلاف محدود در هندسههای پیچیده، روشهایی پیشنهاد شده است که از مهمترین مشکلات این روشها تکینگی ماتریس ضرایب میباشد. در این تحقیق یکی از منابع بوجود آمدن این مشکل مطرح و برای آن راه حلی پیشنهاد داده شده است. بطور کلی منشأهای تکینگی به چیدمان نقاط و فاصلهی آنها از یکدیگر مربوط میشوند. یکی از پرکاربردترین مدلهای نیوتنی تعمیم یافته، مدل کارو یاشودا میباشد.
در این تحقیق به بررسی جریان توسعه یافتهی مدل کارو یاشودا درون کانال با استفاده از روش تفاضل محدود بدون شبکه پرداخته شده است و قابلیت حل این مسأله با استفاده از این روش بررسی شده است. محاسبات برای سیال پلیمری پلی استایرن و در شش اختلاف فشار متفاوت جریان شبیهسازی شد و با نتایج حاصل از نرم افزار فلوئنت مورد ارزیابی قرار گرفت. مقایسه نتایج حاصل از روش تفاضل محدود بدون شبکه با نرم افزار فلوئنت نشان میدهد که تطابق خوبی بین نتایج برقرار شده است. لازم به ذکر است که در این تحقیق برای حل همزمان معادلات تکانه و بقای جرم از فرم تراکم پذیر جزئی استفاده شده است.
کلمات کلیدی: مدل کارو، تفاضل محدود بدون شبکه، تراکم ناپذیر جزئی
.1 مقدمه
سیالات به دو دسته نیوتنی و غیر نیوتنی تقسیم میشوند. بطور ساده سیالاتی که از معادله ساختاری نیوتنی τ = μ[γ͘] پیروی میکنند نیوتنی هستند. سیالاتی که از قانون خطی نیوتن پیروی نمیکنند غیر نیوتنی خوانده میشوند. این سیالات عمدتا دارای لزجت سبالا هستند و خواص الاستیک آنها نیز قابل اهمیت است. تئوری سیالات غیر نیوتنی جزئی از رئولوژی است که برای شرح خواص اینگونه سیالات و محاسبه لزجت آنها از مدلهای مختلف مانند کارو-یاشودا استفاده میشود,1] .[2 روش تفاضل محدود 1 - FDM - یکی از قدیمیترین روشها در دینامیک سیالات محاسباتی - 2 - CFD میباشد که در پیاده سازی روش و درک مفاهیم بسیار آسان است. روش تفاضل محدود کلاسیک دارای محدودیتهایی از جمله کاربرد در هندسههای ساده و مشهای منظم میباشد.
در طی سالهای اخیر پژوهشهایی انجام شده که مبتنی بر حل مشکلات این روش میباشد. در سال 1974 جنسن3 مقالهای منتشر کرد که اساس کار روش تفاضل محدود بدون شبکه است. جنسن از شش نقطه و بسط سری تیلور دو بعدی برای محاسبه مشتقات جزئی مرتبه دوم استفاده کرده است.[3] مشکل اصلی روش جنسن تکینگی مکرر سیستم ضرایب تفاضل محدود بود. برای غلبه بر این مشکل پرون و کائو4 تعدادی نقطه به نقاط اضافه کردند و با استفاده از یک فرآیند متوسطگیری به محاسبه مشتقات جزئی پرداختند.[4] کوراسکی و اسزملتر5 از استنسیلهایی استفاده کردند که نقاط محاسباتی رئوس یک مثلث بودند.[5] یک ایده مشابه توسط سندروویچ و تریبلو[6] 6 کچکاوسکی و تریبلو [7] 7 و تریبلو8 [8] که با برخی از تکنیکهای اجرایی کامپیوتری و برنامههای کاربردی عملی به این مشکل رسیدگی کردند.
برای تحقیقات بیشتر در این زمینه میتوان به پژوهشهای لیسکا[9]، لیسکا و اورکیس[10] 9 چو10 و همکاران [11] و اورکیس[12] 11 اشاره کرد. در تحقیق حاضر یک روش تفاضل محدود بدون شبکهی جدید استفاده شده است. روش استفاده شده قابل اجرا برای نقاط نامنظم است که باعث میشود این روش برای حل مسائل PDE12 در هندسههای پیچیده قابل استفاده باشد. با استفاده از این روش جریان توسعه یافته سیال کارو درون کانال مورد بررسی قرار گرفته است. مقایسه نتایج حاصله با نتایج بدست آمده از نرم افزار فلوئنت نشان دهندهی تطابق خوبی بین روش بدون شبکه و روش حجم محدود میباشد.
.2 معادلات حاکم و روابط
برای بررسی رفتار سیال از معادلات بقای جرم ، ناویر استوکس تراکم پذیر و معادله حالت استفاده شده است که در معادلات از نیروهای خارجی مانند جاذبه صرفه نظر شده است: [13] سیال مورد بررسی در این تحقیق متعلق به دسته سیالات نیوتنی تعمیم یافته میباشد. برای بررسی رفتار سیال از مدل کارو-یاشودا استفاده شده است. لزجت سیال طبق این مدل با رابطه زیر محاسبه شده است:[1] -
.3 روش عددی - گسسته سازی -
.1-3 روش کار برای پیدا کردن مشتقات
اساس روش استفاده شده بسط تیلور میباشد که با استفاده از نقاط محاسباتی، متغیرهای وابسته محاسبه شدهاند. این نقاط میتوانند بصورت منظم یا نامنظم باشند. برای مشتقات درجه اول و دوم در ادامه این روند شرح داده شده است.
.1-1-3 مشتقات مرتبه دوم
برای محاسبه مشتق در نقطه مانند صفر ابتدا پنج نقطه از سایر نقاط که به نقطه صفر نزدیکتر است را انتخاب میکنیم - مانند شکل . - 1
