بخشی از مقاله
چکیده
روش تانژانت هایپربولیک یکی از روش های بسیار مفید برای حل انواع معاد لات غیرخطی می باشد .در این مقاله از این روش برای حالت های تعمیم یافته ای خاصی از معادله های غیرخطی برگر1، کلاین- گوردون2 و فیشر- برگر3 استفاده گرفته شده است.
کلمات کلیدی: روش تانژانت هایپربولیک ، معادله ی غیرخطی کد دسته بندی مقاله: ریاضی فیزیک
مقدمه
معادلات غیر خطی اهمیت فراوانی در زمینه های مهم علمی از قبیل : مکانیک سیالات ,فیزیک حالت جامد ,فیزیک پلاسما, اپتیک غیر خطی و ... دارند>1@ روش های گوناگونی برای حل این نوع معادلات بکار گرفته شده است که از جمله آنها می توان روش پراکندگی معکوس >2@، روش بکلاند 3@و>4 و روش سینوس و کسینوس >5@روش تانژانت هایپربولیک>6@ و روش هیروتا >12@ وروش موازنه همگن >13@ را نام برد . روش تانژانت هایپربولیک که یک روش جبری برای بدست آوردن حل دقیق معادلات غیرخطی می باشد توسط مالفلیت توسعه داده شد. 10@و>11 وازواز نیز ا ز این روش بطور گسترده ای برای حل دقیق اکثر معادلات دیفرانسیل جزئی غیر خطی استفاده کرده است >9@ که از جمله می توان به حل معادلات غیرخطی زیر اشاره نمود: 1@و>8
معادله ی برگر:
معادله ی کلاین گوردون:
معادله ی فیشر برگر:
روش تانژانت هایپربولیک:
در این روش ابتدا معادله دیفرانسیل جزئی را با استفاده از تغییر متغییر z=x-ct به معادله دیفرانسیل معمولی تبدیل می کنیم و با معرفی متغیر مستقلی بصورت y=tanh - ʽz - مشتق ها به صورت زیر ظاهر می شوند: در این روش از یک سری محدود استفاده می شود: که m از موازنه کردن بزرگترین جمله ی خطی با بزرگترین جمله ی غیر خطی بدست می آید و طبیعتا باید یک عدد صحیح مثبت باشد. پس از جا یگذاری سری فوق در معادله ضرایب y با توان های یکسان را برابر صفر قرار می دهیم در ادامه با استفاده از این روش به حل و بررسی جوابهای سالیتونی چند معادله غیر خطی تعمیم یافته می پردازیم.[7] معادله ی تعمیم یافته ی برگر: با افزودن یک جمله ی غیرخطی بصورت به معادله ی برگر صورت تعمیم یافته ی آن به شکل زیر حاصل میگردد: بعد از تبدیل معادله دیفرانسیل جزئی به معادله دیفرانسیل معمولی با استفاده از تغییر متغیر z=x-ct خواهیم داشت : که بعد از حل آن به شیوه ی مرسوم مقدار m= 1 و در نتیجه بدست می آید.پس از جایگذاری - 1 - و - 2 - در - 4 - دستگاه معادلات زیر حاصل می گردد: با حل دستگاه معادلات فوق مقادیر ʽ ,c ,a1' a0 بصورت زیر حاصل می شوند: بنابراین چهارجواب متفاوت خواهیم داشت:
