بخشی از مقاله
چکیده. این مقاله، روش جدید اویلر برشی را جهت حل عددی معادلات دیفرانسیل تصادفی غیر خطی حاکم بر بازارهای مالی، مورد بررسی قرار می دهد. از آنجایی که اکثر معادلات دیفرانسیل تصادفی غیر خطی در شرط لیپشیتز کلی صدق نمی کنند لذا روش مذکور، شرط لیپشیتز موضعی و شرط خاسمینسکی را لحاظ نموده و تقریب عددی معادلات دیفرانسیل تصادفی غیر خطی را تحت این دو شرط بدست می آورد. نهایتا به منظور سنجش میزان همگرایی روش مذکور، نتایج شبیه سازی عددی معدلات دیفرانسیل تصادفی حاکم بر بازارهای مالی با روش اویلر، مورد مقایسه قرار می گیرد.
. 1 مقدمه
حدوداً تا سال 1960 میلادی در مدلبندی سیستم های دینامکی از عامل تصادفی صرف نظر می شد. با اضافه کردن عامل تصادفی به سیستم معادلات دیفرانسیل معمولی، معادلات دیفرانسیل تصادفی به وجود می آید. B - t - فرایند حرکت برآونی است که از توزیع نرمال تبعیت می کند و نویز سفید نامیده می شود. در سال 1900 لوئیس باچیلیر با معرفی فرآیند تصادفی حرکت برآونی اولین سنگ بنای ریاضیات مالی را بنیان نهاد که از فرآیند برآونی برای فرآیند بنیادین استنتاج گزینش قیمت ها استفاده کرد.[1] در سال 1965 پل ساموئلسون ضمن معرفی حرکت برآونی هندسی، انتگرال تصادفی را وارد حوزه مالی کرد.[9] در سال 1969 رابرت مرتون، انتگرال پیوسته تصادفی و فرآیندهای تصادفی پیوسته زمانی را به حوزه مالی عرضه داشت.
[7] حل تحلیلی معادلات دیفرانسیل تصادفی عموما پیچیده است و تنها معادلات خاصی وجود دارند که دارای جواب تحلیلی می باشند، لذا روشهای عددی مختلف برای حل اینگونه معادلات ارائه شده است. در سال 1995، کلودن روشهای عددی برای حل معادلات دیفرانسیل تصادفی را مطرح نمود. تا سال 2002 اغلب نظریه های همگرایی برای روش های عددی حل معادلات دیفرانسیل تصادفی - SDE - نیاز به ضرایب لیپشیتز کلی پیوسته داشتند در حالی که بسیاری از مدل های SDE در واقعیت در شرط لیپشیتز کلی صدق نمی کنند.
این گونه بود که هیگهام ، مائو و استوارت در سال 2002 مقاله ای بسیار تاثیر گذار را منتشر کردند که فصل جدیدی را در مطالعه راه حل های عددی از SDE ها گشود که مطالعه مسئله همگرایی قوی برای تقریب های عددی تحت شرط لیپشیتز موضعی و شرط گسترش خطی بود .[3] در نهایت در سال 2016 مائو روش اویلر - مارویامای برشی را برای SDE های غیر خطی ارائه کرد.[6] ساختار این مقاله به صورت زیر می باشد. در بخش دوم حل عددی SDE ها مورد بررسی قرار می گیرد. بخش سوم به شبیه سازی مدلهای حاکم بر بازارهای مالی پرداخته و روش اویلر برشی و اویلر را مورد مقایسه قرار می دهد.
