بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله، با بهره گیری از ترکیب دو روش تربیع دیفرانسیل کلاسیک و تعمیم یافته برای اولین بار، ارتعاشات آزاد ورق حلقوی نازک مسلح شده با دو لایه پیزوالکتریک مدار باز به صورت عددی براساس تئوری کلاسیک ورقها مطالعه گردیده است. یک حل برای پتانسیل الکتریکی در راستای ضخامت لایه پیزوالکتریک که شرط مرزی مدار باز را ارضا می کند، گسترش یافته است. معادلات دیفرانسیل حاکم ابتدا استخراج و به معادلات جبری تبدیل شده و سپس با تشکیل معادله مقدار ویژه کل سیستم فرکانسهای طبیعی و شکل مودها بدست خواهد آمد. اعتبارسنجی حل عددی حاضر با مقایسه سه فرکانس طبیعی اول ورق حلقوی نازک مسلح شده با لایه های پیزوالکتریک با نتایج حاصل از حل تحلیلی و المان محدود ارائه شده در مراجع صورت گرفته است. نتایج این مقایسه یک تطبیق مناسب و خوب را در نتایج نشان می دهد. همچنین، چندین مطالعه پارامتری مانند تاثیر نسبت شعاع خارجی به داخلی، نسبت ضخامت ورق میزبان به شعاع داخلی و نسبت ضخامت لایه های پیزوالکتریک به ضخامت ورق میزبان بر فرکانس های طبیعی مورد مطالعه قرار گرفته است.
-1 مقدمه
استفاده از مواد پیزوالکتریک در سازه های پیشرفته به منظور تبدیل آنها به سازه های هوشمند در چند دهه گذشته پیشرفت چشمگیری نموده است. مواد پیزوالکتریک می تواند به عنوان فعال کننده که ارتعاشات ساختمانها را کنترل نماید بکار رود یا به عنوان سنسورها جهت اندازه گیری شدت کمیت های فیزیکی از قبیل کرنش در سازه ها مورد استفاده قرار گیرد. ارتعاشات آزاد ورقهای حلقوی مسلح شده با لایه های پیزوالکتریک به عنوان یکی از اجزای سازه ای موجود در بسیاری از سیستم های سازه ای شامل سازه های مهندسی مکانیک، عمران، هوافضا،کشتی سازی و همچنین اجزاء الکترونیکی، موضوع تحقیق بسیاری از محققین واقع شده است. ونگ و همکاران [1] یک حل تحلیلی برای ارتعاشات آزاد ورقهای دایروی مسلح شده با لایه های پیزوالکتریک بر پایه تئوری کلاسیک ورق ارائه دادند.
لیو و همکاران [2] مدل تحلیلی را برای آنالیز ارتعاشات آزاد ورقهای دایروی نسبتاً ضخیم مسلح شده با لایه های پیزوالکتریک و بر اساس تئوری ورق مرتبه اول پیشنهاد نمودند. آنها در مطالعه خود از یک تابع سینوسی برای توصیف توزیع پتانسیل الکتریکی در راستای ضخامت استفاده کردند. با استفاده از تئوری کلاسیک و مرتبه اول ورقها، دوان و همکاران [3] ارتعاشات آزاد ورقهای حلقوی جفت شده با لایه های پیزوالکتریک را مورد مطالعه قرار دادند. وو و همکاران [4] رفتار ارتعاشی ورقهای فولادی دایروی مسلح شده با لایه های پیزوالکتریک مدار باز را مورد بررسی قرار دادند و برای اولین بار یک حل برای پتانسیل الکتریکی در راستای ضخامت لایه های پیزوالکتریک که شرط مرزی الکتریکی مدار باز را برآورده نماید ارائه نمودند.
حسینی هاشمی و همکاران 6]،[5 حل دقیق ارتعاشات آزاد ورقهاینسبتاً ضخیم دایروی و حلقوی مسلح شده با لایه های پیزوالکتریک را بر اساس تئوری مرتبه سوم ورق و تئوری ورق لوینسون ارائه نمودند. همانطور که ملاحظه می گردد همه تحقیقات صورت گرفته حل تحلیلی از ارتعاشات آزاد ورقهای مسلح شده با لایه های پیزوالکتریک را ارائه می دهند. اگرچه روشهای تحلیلی حل دقیقی از مسائل را ارائه می دهند ولی این روشها محدود به هندسه و شرایط مرزی ساده و همچنین چند نوع بارگزاری خاص می باشند و بنابراین استفاده از روشهای عددی در حل مسائل مهندسی اجتناب ناپذیر است. روش تربیع دیفرانسیل یک روش قدرتمند در حل مسائل مهندسی است که اولین بار توسط بلمن و همکارانش [7] معرفی گردید و برای اولین بار توسط برت و همکاران [8] برای مطالعه رفتار دینامیکی سازه ها مورد استفاده قرار گرفت.
در ابتدا استفاده از این روش با محدودیت هایی مواجه بود، اگرچه تلاشهای زیادی توسط محققین در جهت رفع این محدودیت ها صورت گرفته است بطوریکه روش تربیع دیفرانسیل به یک روش قدرتمند و کارآمد در حل بسیاری از مسائل مهندسی تبدیل گشته است. محدودیتهایی از قبیل محاسبه ضرایب وزنی که توسط کوان و چانگ [9] و شو و ریچاردز [10] برطرف گردید، و همچنین اعمال شرایط مرزی چندگانه و ناپیوستگی در هندسه و بارگزاری که منجر به پیدایش روشهایی مانند -تکنیک [11]، روش ضرایب وزنی اصلاح شده [12]، روش جایگزاری معادله [13]، روش تربیع المان 15]،[14 و روش المانی تربیع دیفرانسیل 24]؛[16 شد.
در این مقاله یک حل عددی از آنالیز ارتعاشات آزاد ورقهای نازک حلقوی مسلح شده با لایه های پیزوالکتریک مدار باز برای اولین بار با ترکیب دو روش تربیع دیفرانسیل کلاسیک و تعمیم یافته ارائه می گردد. برای استخراج معادله مقادیر ویژه کل، معادله دیفرانسیل حاکم که بر اساس حل تابع پتانسیل الکتریکی براورده کننده شرط مرزی الکتریکی مدار باز، تئوری کلاسیک ورق و معادله ماکسول بدست آمده به معادلات جبری تبدیل می شوند. دقت بالا و شایستگی این روش با مقایسه نتایج بدست آمده از این روش و حل تحلیلی موجود در مراجع اثبات شده و اثر پارامترهای مختلف از جمله نسبت شعاع خارجی به داخلی، نسبت ضخامت ورق میزبان به شعاع داخلی و نسبت ضخامت لایه های پیزوالکتریک به ضخامت ورق میزبان بر فرکانس های طبیعی مورد مطالعه قرار گرفته است.
-2 استخراج معادلات حاکم
شکل 1 نمای بالا و جانبی یک ورق مسطح حلقوی نازک و مسلح شده با لایه پیزوالکتریک را نشان می دهد. مجموعه شامل ورق میزبان در وسط و دو لایه پیزوالکتریک، که به طور کامل بر روی سطوح بالا و پائین ورق میزبان قرار گرفته اند، می باشد. شعاع داخلی، شعاع خارجی، ضخامت ورق میزبان و ضخامت لایه های پیزوالکتریک به ترتیب با حروف a، b، 2h و hp مشخص شده اند. برای راحتی بالا نویس h و p به ترتیب برای ورق میزبان و لایه های پیزوالکتریک در نظر گرفته شده است.
شکل .1 هندسه ورق نازک حلقوی مسلح شده با لایه های پیزوالکتریک
1؛-2 میدان جابه جائی
با استفاده از تئوری کلاسیک ورق مولفه های جابه جایی به صورت زیر بیان می گردد که در آن u z ، u r و u به ترتیب جابه جایی در جهت عرضی، شعاعی و مماسی می باشند. با استفاده از معادلات - 1 - و براساس قانون هوک مولفه های تنش در ورق میزبان و لایه های پیزوالکتریک به صورت زیر قابل محاسبه اند: در رابطه فوق، C E11، C E12، C E13 و C E33 ضرایب مدول الاستیک ماده پیزوالکتریک در میدان الکتریکی ثابت، و ثوابت پیزوالکتریک هستند. شدت میدان الکتریکی در جهات شعاعی، مماسی و عرضی و جابه جایی های الکتریکی متناظر عبارتند از
