بخشی از مقاله
چکیده: به دلیل ارتباط گسترده فیزیک با ریاضیات ونرم افزارهای ریاضی در حل وانتقال مفاهیم پیچیده فیزیک لازم است پا به پای فیزیک ریاضیات نیز رشد کنددر این مقاله مساله جرم و فنر به عنوان مثال از کاربرد ماتریس در حل دستگاه معادلات فیزیکی و همچنین استفاده از نرم افزار میپل برای حل ان ارئه گردیده است.وبعد مدار جریان الکتریکی بعنوان مثال حل میشود.البته دهها مثال دیگر فیزیک مانند خازنها و .... را میتوان به طور مشابه حل کرد.
.1مقدمه
بدون تردید ارتباط تنگاتنگی بین ریاضیات وفیزیک وجود داردکه بسیاری از مواقع از هم تاثیر پذیرفته و باعث پیشرفت هم شده اند.میبینیم که در بسیاری از مواقع بدلیل نبود معادلات وابزاری ریاضی شاخه مهمی از علم فیزیک از پیشرفت باز مانده یا به تا خیر افتاده است.مثلا. وقتی برای اولین بار مایکل فارادی در سال 1845 نشان داد که میدان مغناطیسی بر باریکه نوری که از شیشه میگذرد اثر قابل ملاحظه ایی میگذارد.و این آزمایش وی را بر آن داشت که نسبت به ارتباط نور و نوسانهای خطوط میدان الکتریکی و مغناطیسی بپردازد اما بدلیل کافی نبودن دانش ریاضیش این قضیه 20 سال به تاخیر افتاد تا در سال 1865 جیمز کلارک ماکسول بتواند نظریه توانمند الکترومغناطیس موجی راباارایه معادلات چهاگانه پایه گذاری کند.
یا برعکس در بسیاری از مواقع فیزیکدانان برای بیا ن مفاهیم وقوانین فیزیک مجبور شدند شاخه ای از دانش ریاضی را گامی به پیش ببرند.مشاهیر بزرگ ریاضی در آغاز پیدایش علم جدید - قرن هفدهم تا نوزدهم - همانند نیوتن، لایب نیتس، لاگرانژ، پاسکال، گاوس و…همگی فیزیکدان های برجسته ای بودند. بنابراین در بحث پیدایش فیزیک، ریاضی دخالت داشت ازطرف دیگر فیزیکدان ها برحسب نیازهای خود در فیزیک به کشف حیطه های جدیدی در ریاضیات پرداختند. مانند مکانیک تحلیلی که منشاء پیدایش حساب متغیرها و یکی از پیش درآمد های نظریه ی معادلات دیفرانسیل شد .
همچنین معادله ی دیفرانسیل موسوم به گرما، زمینه ساز نظریه ی سری فوریه شد که به نوبه ی خود زمینه ساز نظریه ی فضای هیلبرت در مبحث مکانیک کوانتومی شد یا نظریه ی احتمال که برای تعیین راهبرد سرگرمی های قمار تعبیر شده بود، بعدها در ترمودینامیک کوانتومی مورد استفاده قرار گرفت. یا هندسه ی ریمانی که در نظریه ی نسبیت عام مورد استفاده قرار می گیرد. گاهی نیز مباحث فیزیک حوزه های جدید در ریاضی به وجود آورده اند مانند مفهوم تقارن آینه ای در نظریه ی ریسمان سبب ایجاد حوزه ای در ریاضیات به نام هندسه ی جبری گردید.
از طرف دیگر میدانیم که حل بسیاری از مسائل فیزیکی منجر به حل دستگاههای ساده دیفرانسیلی و انتگرالی میشود که در خیلی از این معادلات را بدلایلی نمیتوان دستی حل نمود یا حل آنها با مشکلاتی همراه است و باید با استفاده از تکنیکهای عددی و رایانه ونرم افزارها حل کرد.بنابراین در آموزش فیزیک در سطح دبیرستان لازم است که از مثالهای فیزیکی با سطح متناسب با دانش دانش آموزان بصورت بخشی از سرفصلهای آموزشی یا مطالعه آزاد ارائه گردد.و دانش آموزان با حل آنها به اهمیت وزیبایی کاربرد گسترده ریاضی و رایانه در آموزش فیزیک پی ببرند.و آنان را با این مقوله آشنا کند تا در آینده بعنوان دانشجو یا پژوهشگر بتوانندبین آنها رابطه منطقی برقرار کنند و استفاده بهینه ایی ازآ ن به عمل آورند.
.2الف - سیستم جرم وفنر{2}
موادی که پس از وارد شدن یک نیرو و تغییر شکل به سرعت به حالت اولیه خود باز میگردند و مولکولها و اتمهای آنها نیز به حالت اولیه و تعادل پایدار پیشین خود بازمیگردند، معمولاً از قانون هوک پیروی میکنند مطابق با قانون هوک اعمال نیرو به یک فنر ودر حالت کلی ایجاد تنش - - strees در سیستم منجربه تغییر طول ان - کرنش سیستم - strain میگردد. که اگر این نیرو خیلی بزرگ نباشد - که باعث نشود سیستم از حدکشسانی خارج نشود - رابطه ی خطی مطابق فرمول زیربین تغییر طول فنر، x ،ونیروی وارد شده F برقرار است.
وقتی چنین رابطهای برای مادهای برقرار باشد، میتوان گفت که آن ماده رفتار خطی دارد و اگر نتایج آن را بر روی یک نمودار نمایش دهیم میبینیم که نتایج به صورت یک خط راست بدست آمدهاند. علامت منفی در سمت راست رابطه بالا به این دلیل استکه نیروی بازگرداننده فنر و جابجایی فنر همواره درجهت مخالف یکدیگر عمل میکنند. مثلاً اگر فنر به سمت راست افزایش طول پیدا کند نیروی بازگرداننده آن در سوی مخالف و به سمت چپ یعنی در جهت جمع شدن فنر وارد میشود.
حال اگر تعدادی محدودی فنر ها واجسام را بهم - موازی یا سری یا مختلط - بسته ویک سیستم درست کنیم در حالتهای ساده میتوان مساله را برای یافتن اندازه تغییر طول فنرها را به آسانی بدست آورد.ولی اگر تعدادجرم وفنزر زیاد باشدحل آنها ممکن است بسیار سخت باشدکه همرا با اشتباهات زیادی خواهد بود. ودر مواردی غیر ممکن باشد بنابراین بهتر دستگاه معادلاتی را نوشته و با کمک روابط ماتریسی و زبان برنامه نویسی و یا نرم افزارهای ریاضی مسله را حل نموده وجواب را با دقت خیلی زیادی بدست آورد.
.3 ماتریس{3}
آیا یک دستگاه چهار معادله چهار مجهولی وبالاتررا میتوانید بدون کمک گرفتن از نرم افزارهای ریاضی مانندمطلب ومیپل - matlab - maple - حل کنید؟مسلما حل این دستگاههای زمان زیادی خواهد برد و احتمالا همرا با اشتباه خواهد بود.ودر بسیاری از موارد مانند مقاومتها و خازنها وغیره... فقط جوابها مهم هستند.حل چند معادله چد مجهولی به شکل ماتریسی راه حل مناسبی است.شکل عمومی نمایش دستگاه معادلات خطی با n معادله و n مجهول رابصورت زیر میتوان نمایش داد.
معادله چند مجهولی را همگن گویند.ودر غیر اینصورت معادله غیر هکمگن خواهد بود. اینگونه معادلات در بسیاری از مسایل ریاضی، فیزیک، آمارومهندسی بکار می رود. و برای حل این دسته از معادلات برای حل این دسته معادلا ت روشهای متفاوتی مانند کرامر،گاوس وغیره وجود داردواما بهترین روش محاسبه دترمینان معکوس درزبان برنامه نویسی مانند میپل دارد. جهت حل آن ابتدا باید مجهولات معادله مورد نظرتعیین کرده وراتشکیل میدهیم.وپس از تشکیل معادله وواردکردن عناصر ماتریس ضرایب مجهول و ماتریس سمت راست معلوم ووارون سازی ماتریس مجهول وضرب در طرفین معادله در نهایت مجهولات مسله بدست میاید.وقابل ذکر است که نبایددترمینان ماتریس ضرایب مجهولات صفر باشد.
