بخشی از مقاله
خلاصه
یکی از مهمترین مسائل مطرح در مهندسی آب بررسی روند انتقال آب هست که نقش مهمی در مطالعات مربوط به سیل، شکست سد، انتقال آلودگی و ... دارد. با توجه به پیشرفتهای موجود در سیستمهای کامپیوتری و نرمافزارهای جدید، استفاده از روشهای نوین عددی در حل معادلات حاکم روزبهروز بیشتر میشود. در مقاله حاضر معادله موج با استفاده از روش کالوکیشن موجکی با کرنل موجک هار بررسیشده و روابط موجود در محیط نرمافزاری متلب مدلسازی و تحلیل میشود.
.1 مقدمه
یکی از مهمترین مسئله موردبحث در آبهای سطحی، مطالعه روند انتقال آب میباشد. انتقال آب در شکست سد، موجهی به وجود آمده در اثر سیل و ... و همچنین انتقال آلودگی موجود در بالادست توسط موج آب ، نیاز به ارزیابی بیشتری برای پیشبینی نحوه تأثیرگذاری در پاییندست را دارد. بررسی شرایط انتقال آب یا همان انتقال موج درواقع برای تخمین ارتفاع و سرعت موج در پاییندست کانال یا رودخانه انجام میشود . ازجمله معادلات حاکم بر انتقال آب ، معادله موج است که یک معادله دیفرانسیلی جزئی مرتبه دوم خطی و یا غیرخطی میباشد.
این معادله علاوه بر مسائل مربوط به انتقال آب درزمینه های مختلف علمی ازجمله فیزیک، برق و ... بسیار کاربرد دارد. با گسترش روشهای عددی برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی روشهای مختلفی برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی بکار گرفتهشده است. ازجمله این روشها میتوان به روشهای تفاضلات محدود، حجم محدود، المان محدود، المان مرزی و... اشاره کرد. معادله موج ابتدا بهصورت تحلیلی توسط دالامبر [1] موردبررسی قرارگرفته و روش حل دقیق برای این معادله ارائهشده است.
ازجمله روشهای عددی جهت حل معادله موج ، استفاده از روش تفاضلات محدود است که در کتاب دینامیک سیالات محاسباتی هافمن [2]موردبحث قرارگرفته است. همچنین حل معادلات دیفرانسیل هذلولی که شامل معادله موج میشود به روشهای مختلفی ازجمله حجم محدود [3]، روش مش بندی تطبیقی[4]، روش المان محدود[5] انجامگرفته است. روشهای عددی متعدد دیگری برای حل معادله موج ارائهشده است که در مراجع [6,7,8 , 9,10] به آنها اشارهشده است؟
روش موجک یک روش عددی بسیار قوی است که در دهههای اخیر در زمینههای مختلف علمی ازجمله پردازش تصویر، فیزیک، میدانهای کوانتومی، پیشبینی تغییرات آب و هوایی، حل معادلات دیفرانسیل، آنالیز عددی و... مورداستفاده قرارگرفته است. در حل معادلات دیفرانسیل جزئی طبق روش موجک از کرنلهای مختلفی مثل کرنل دوبچی[11]، کرنل لژاندار [12]و...استفاده میشود. در سال 1910 موجک هار که تابع یک موج مستطیلی است ، توسط آلفرد هار ارائه گردید که تعاریف و ویژگیهای مختلفی از این تابع در [Error> Reference source not found.] بیانشده است. از مزایای موجک هار میتوان به سادهترین موجک و بدون پیچیدگی بودن، متعامد بودن و کراندار بودن آن اشاره کرد. علاوه بر مزایای فوق مهمترین مشکل موجود در استفاده از موجک هار، عدم وجود مشتقهای موجک هار در نقاط ناپیوستگی است. برای غلبه به این نقطهضعف دو روش ارائهشده است که روش اول منظم کردن تابع ثابت هار با استفاده از درونیابی اسپلاین است.
این روش توسط کاتانی - Cattani - در بسیاری از مقالات بکار گرفتهشده است .[14,15,16] روش دوم استفاده از انتگرالگیری است بدینصورت که باﻻترین مرتبه مشتق موجود در معامله دیفرانسیلی توسط سری هار بسط داده میشود. این روش توس چن و هسیااو - Chen and Hesiao - ارائهشده است 17. [17,18]ایده اصلی این روش تبدیل یک معادله دیفرانسیل به یک معادله جبری است که بدین ترتیب روند حل معادله دیفرانسیلی بسیار کوتاه و ساده میشود. از این روش در حل سیستمهای تک متغیره، دومتغیره و سیستمهای سختی استفاده گردیده است.[19,20,21]
در مقاله حاضر به حل عددی معادله موج توسط موجک هار پرداختهشده و مقادیر بهدستآمده با مقادیر دقیق و مقادیر عددی بهدستآمده از روش تفاضلات محدود مقایسه میشود. در ابتدا مختصری در مورد حل دقیق معادله موج، حل با روش تفاضلات محدود و حل توسط روش موجک هار بیان میشود. در ادامه گسسته سازی و الگوریتم حل معادله موج توسط روش موجک هار در محیط نرمافزار Matlab ذکرشده و در آخر نتایج حاصل از گسسته سازی و مدلسازی عددی معادله موج بر اساس موجک هار و مقایسه مقادیر با مقادیر دقیق و مقادیر روش تفاضلات محدود بیان میشود.
.2 مواد و روشها
1؛.2 معادله موج
معادله موج یک معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم است که هم میتواند بهصورت خطی و یا غیرخطی باشد. صورت خطی معادله بهصورت زیر است. برای حل این معادله نیاز به دو شرط اولیه و دو شرط مرزی دارد. شرایط مرزی میتواند بهصورت شرط مرزی دیریکله، نیومن، رو بین و یا شرط مرزی ترکیبی باشد.
2؛.2 روش موجک
همانطوریکه مطالبی در مورد موجک هار بیان شد روابط حاکم بر این موجک و روش حل معادلات دیفرانسیل جزئی بهصورت بسط موجک هار بیان میشود. موجک هار در بازه x [0,1] بهصورت کلی زیر هست.
