بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
حل معادله شرودینگر به کمک روشهای عددی برای بدست آوردن تابع موج الکترون در یک چاه پتانسیل نامحدود با پتانسیل دلخواه
چکیده
در این مقاله یک روش عددی برای حل معادله شرودینگر در یک بعد و بدست آوردن جوابهای آن برای تابع موج الکترون چاه پتانسیل نامحدود با شکل دلخواه ارائه شده است. برای حالت خاص V متحد با صفر نتایج روش عددی ارائه شده با نتایج حل تحلیلی مقایسه شده است که بر هم منطبق بوده است. برای حالتی که در داخل چاه، یک سد پتانسیل کوچک هم وجود داشته باشد، حل تحلیلی وجود ندارد و لذا انرژی سطحی را که نسبت پتانسیل داخل سطح به انرژی سطح به صورت یک اختلال است را از روش تئوری اختلال و روش عددی محاسبه و با هم مقایسه کرده ایم. برای چند پتانسیل دیگر نظیر پتانسیل درجه دوم و پتانسیل خطی (میدان الکتریکی ثابت) هم نتایج ارائه شده است.
1- مقدمه
حل معادله شرودینگر در مرکز ثقل بسیاری از مسائل مکانیک کوانتوم قرار دارد ولی حل این معادلات برای تعداد کمی از مسائل بشکل تحلیلی امکان پذیر میباشد بذم، و برای اکثر حالات حل تحلیلی وجود ندارد. البته بجز روش تحلیلی میتوان از روشهای مبتنی بر تئوری اختلال جyطپک1 غپطصهتطکصطأبض و یا روشهای عددی برای حل این مسائل استفاده کرد. در روش تئوری اختلال، باید اندازه پتانسیل کوچک باشد بطوری که بتواند به صورت یک اختلال برای حالت اصلی تلقی بشود. که در این صورت هم جوابها نه بصورت صریح بلکه بصورت یک انتگرال و یا یک سری انتگرالها داده میشود بصم. این در حالی است که روش عددی محدود به این شرایط نیست و با هر پتانسیل دلخواه میتواند جوابها را بطور دقیق بدست دهد بلم. که این جوابها ، به صورت گراف برای Ψ (تابع موج) و عددی برای انرژی خواهد بود. در این مقاله ما از روش عددی برای حل معادله شرودینگر و یافتن جوابهای آن در چاه پتانسیل نامحدود با پتانسیل دلخواه استفاده کرده ایم. در بخش دوم بعد از این مقدمه، روش عددی مورد استفاده را شرح میدهیم. در بخش سوم جوابها را برای حالت تچب از روش عددی و روش تحلیلی مقایسه کرده ایم. بخش چهارم جوابهای عددی را با جوابهای تئوری اختلال در کنار هم بررسی کرده ایم. در بخش پنجم هم جوابها را برای چند پتانسیل دیگر نظیر پتانسیل خطی و پتانسیل درجه دوم
ارائه کرده ایم و بخش ششم هم به ارائه جمع بندیها اختصاص دارد.
2- حل معادله شرودینگر به کمک روش
عددی
در روش عددی، که ما در اینجا توضیح خواهیم داد، ابتدا بازه مکانی مورد نظر (بین صفر تا ع) را به ش قسمت تقسیم میکنیم و آنها را مطابق شکل زیر شماره گذاری می کنیم به نحوی که نقطه صفرم مرز سمت چپ و نقطه شام مرز سمت راست را نشان می دهد.
مقدار تابع موج در نقطه تام و شام با شرایط مرزی که بخشی از صورت مسئله است داده میشود. هدف محاسبات بدست آوردن تابع موج در ذسش نقطه در داخل قطعه است. برای این منظور به کمک تقریب تفاضل محدود ترم مشتق دوم را به شکل زیر می نویسیم.
با قرار دادن این تقریب از مشتق مرتبه دوم در معادله شرودینگر به دسته معادلات زیر می رسیم.
با کمی دقت متوجه می شویم که ما معادله و مجهول داریم. مجهولات ما جذض هستند و جتض با شرایط مرزی معلوم هستند (برای چاه پتانسیل نامحدود برابر با صفر هستند).
روش حل این دستگاه معادلات، می تواند هر کدام از روشهای عددی باشد، ولی برای آنکه از قابلیتهای بسیار خوب نرم افزار استفاده کنیم، سعی میکنیم که این معادلات را بصورت ماتریسی بنویسیم.
معادله جلض یک معادله ماتریسی است که نشان دهنده دستگاه معادلات ذسش مجهول می باشد.
این معادله را می توان به زبان اینطور نوشت:
با این جملات معادله شرودینگر در مسئله ما، بشکل ماتریسی برابر است با:
این معادله همانطور که انتظار داریم از نوع مقدار ویژه، بردار ویژه است ، و جواب آن بسادگی با این دستور بدست می آید:
3- نتایج بدست آمده از حل معادله شرودینگر به روش عددی در پتانسیل صفر و مقایسه آن با حل تحلیلی ش
پتانسیل صفر جواب تحلیلی ساده ای دارد
در اینجا با کمک برنامه مطلب جوابهای معادله شرودینگر را در پتانسیل صفر از دو راه تحلیلی و روش عددی بدست میĤوریم. در شکلهای ذ تا ص، ذطهح تا صطهحکه از محاسبه فوق برای ب متحد با صفر بدست آمده است، در کنار حل تحلیلی (علامت(* نشان داده شده است.
همینطور در جدول جذض انرژی های مجاز که از محاسبات فوق بدست آمده است در کنار حل تحلیلی آورده شده است.
همانطور که مشاهده می شود حل بروش عددی بر روش تحلیلی منطبق است، و این مسئله دقت بالای ما در حل عددی را نشان می دهد. در نمودارهای فوق انتخاب شده است. در صورت لزوم، با افزایش می توان به نتایج دقیق تری دست یافت.
4- حل معادله شرودینگر برای چاه پتانسیل نامحدود با یک سد پتانسیل کوچک داخل آن و مقایسه نتایج با نظریه اختلال
چاه پتانسیل مورد بررسی در این قسمت به شکل زیر است.
با انتخاب فاصله بین صفر تا ع، در این چاه پتانسیل به تتذ قسمت، جتتذچشض نتایج زیر برای حالتهای مختلف انرژی بدست آمده است. در شکل جخض تابع موج اولین و دومین سطح انرژی رسم شده است. همانطور که از شکل مشخص است، در اولین سطح انرژی، در قسمتی از مسیر که سد پتانسل وجود دارد، احتمال حضور الکترون کمتر شده است. (اگر در این حالت سد پتانسیل بلندتری داشتیم، در محل سد، احتمال حضور الکترون نزدیک به صفر می شد.)
تابع موج در اولین سطح انرژی یک تابع زوج است و همانطور که در شکل جخض مشخص است، تابع موج در دومین سطح انرژی یک تابع فرد است.
سطح انرژی این دو حالت با هم دژنره هستند (حالتهایی که ψ آنها فرق دارد ولی غ آنها فرقی نمیکند را حالتهای دژنره نامند. خاصیت آنها آن است که در دمای ثابت، احتمال حضور الکترون در آنها یکسان است.)
مقدار انرژی در تعدادی از حالات در جدول جلض آورده شده است.
