بخشی از مقاله
خلاصه
یکی از مهمترین مسائل در مهندسی آب و سازه های هیدرولیکی ، بررسی فرایند انتقال و پخش آلاینده ها در آب های کم عمق، رودخانه ها و آب های سطحی است. در چند سال گذشته با پیشرفت سیستم های کامپیوتری روش های مختلف عددی و تحلیلی برای حل معادلات دیفرانسیل موجود در مسائل مهندسی آب مطرح شده است تا بتوانند هرچه بهتر مهندسان را به واقعیت نزدیک کنند. معادله انتقال - پخش نیز جزو همان معادلات می باشد.در این مقاله حالت غیر خطی این معادله بر اساس روش موجک هار انجام شده و روش حل در محیط نرم افزار متلب مدلسازی شده است.
کلمات کلیدی: انتقال آلودگی،معادله دیفیوژن،روش موجک هار، روش کالوکیشن
.1 مقدمه
معادله حاکم بر انتقال آلودگی، معادله انتقال- پخش است که از نوع معادلات دیفرانسیل جزئی میباشد.این معادله برای انواع مختلفی از شرایط مرزی و اولیه دارای حل تحلیلی می باشد ولی اگر شرایط هندسه و هیدرولیک جریان پیچیده شود، حل تحلیلی در مسایل عملی کاربردی نیست. این معادله کاربردهای فراوانی در شبیه سازی پدیده های مهندسی آب دارد که از جمله میتوان به شبیه سازی انتقال رسوب در رودخانه ها و انتشار آلودگی در آبهای زیر زمینی اشاره نمود. مدل سازی انتشار آلودگی در رودخانه ها به دو دسته کلی آزمایشگاهی و تئوری تقسیم میشوند. در هر دو روش نیاز به توسعه مدلی برای پیش بینی رفتار پدیده انتقال و انتشار آلودگی در رودخانه ها میباشد .در روشهای تئوریک از روشهای محاسبات عددی برای حل معادلات دیفرانسیل حاکم بر پدیده استفاده میشود که درنهایت منجر به تولید مدلهای عددی و نرم افزارهای تجاری می گردد.
معادله انتقال پخش به دلیل اینکه در علوم مختلف مهندسی سیالات،مانند مهندسی شیمی،مکانیک سیالات،مهندسی هیدرولیک کار برد دارد، توسط محققین باانواع روشهای تفاضل محدود ،حجم محدود و المان محدود حل شده است،از روشهای تفاضل محدود می توان به DuFort- Frankel,, Crank-Nicolsonو, FTCS, Laxwendrof، و غیره اشاره نمود.همانطور که ذکر شد شرایط اولیه و مرزی حاکم برمسائل طبیعی بر حل این معادله تاثیر دارد. از طرفی در نطر شرایط اولیه بصورت توابع متناوب ، تجانس بهتری با طبیعت مسئله دارد. با در نظر گرفتن این نوع شرایط اولیه و مرزی برای معادله انتفال-پخش در این مقاله سعی کردیم از موجک هار برای مدل کردن معادله استفاده بکنیم.در دهه های اخیر استفاده از موجک در حل معادلات دیفرانسیلی و انتگرالی محبوبیت زیادی پیدا کرده است.
از طرفی حل معادلات دیفرانسیل در هر زمینه علمی از جمله فیزیک ، مکانیک سیالات و... اهمیت زیادی دارد. روش عددی تحلیل موجکی اخیرا درزمینه های همچون پردازش تصویر، نظریه میدان کوانتومی ، آنالیز عددی و بسیاری از زمینه های دیگر پیشرفت زیادی کرده است. در سال 1910 آلفرد هار یک تابع که نشان دهنده یک موج مستطیلی شکل بود معرفی کرد. از ویژگی های خوب موجک هار امکان استفاده از این موج تحلیلی در زمان دلخواه، متعامد بودن و کراندار بودن آن است.از جمله مطالعات انجام شده در این زمینه بر اساس موجک هار توسط [1] Chen and Hsiao در مورد سیستم های توزیع فشرده و گسترده پارامتری انجام شده و روابطی برای تعیین ماتریس هار و انتگرال گیری از تابع موجک هار ارائه شده است . همچنین [2] Chen and Hsiao در این مقاله به تجزیه و تحلیل وضعیت سیستم تاخیر زمانی خطی از طریق موج هار پرداخته است. [3]
U. Lepik از روش موجک هار برای حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی خطی و غیر خطی استفاده کرده که در این مقاله نیز ار روش بیان شده توسط Chen and Hsiao برای تعریف انتگرال موجک هار استفاده کرده است.همچنین [5] Lepik به حل عددی معادله برگر پرداخته و این معادله را توسط موجک هار گسسته سازی نموده است.در مقاله حاضر به حل عددی معادله دیفیوژن توسط موجک هار پرداخته شده و گسسته سازی این معادله ارائه شده است. در ابتدا مختصری در مورد موجک هار بیان شده و روابط مربوط به معادله انتقال- پخش ارائه می گردد0 در ادامه گسسته سازی و الگوریتم حل معادله انتقال- پخش توسط روش موجک هار در محیط نرم افزار Matlab ذکرشده و در آخر نتایج حاصل از گسسته سازی و مدلسازی عددی معادله انتقال- پخش بر اساس موجک هار بیان میشود.
.2 مواد و روشها
روشهای متعددی در زمینه حل عددی معادلات دیفرانسیل بوجود امده است. یک روش عددی بسیار قوی تحلیل موجکی است . در سال 1910 آلفرد هار یک تابع که نشان دهنده یک موج مستطیلی شکل بود معرفی کرد. از ویژگی های خوب موجک هار امکان استفاده از این موج تحلیلی در زمان دلخواه، متعامد بودن و کراندار بودن آن است. اشکال عمده این موج ناپیوستگی آن است و چون مشتقات آن در نقاط شکست وجود ندارد ممکن است قادر به اعمال این موج به طور مستقیم برای حل PDE ها نباشیم. چن و هسیا او در تحلیل سیتم ها از روش عددی موجک هار استفاده کرده اند ، همچنین لیپک مطالعات زیادی در این زمینه انجام داده و از این روش برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئیخطی و غیر خطی بسیاری از جمله معادله ساین گوردون استفاده کرده است. در این مقاله گسسته سازی گام های مکانی توسط روش کالوکیشن و گسسته سازی گام های مکانی توسط روش تفاضلات محدود انجام میگیرد.
.3 معادله انتقال-پخش
معادله انتقال-پخش در حالت کلی بصورت زیر بیان میشود:
در این معادله u غلظت آلاینده در مسیر رودخانه طولی c سرعت متوسط رودخانه، a ضریب پخشیدگی، t مدت زمان سپری شده بعد از تزریق آلودگی و x فاصله از نقطه تزریق آلودگی می باشد معادله انتقال و پخش آلودگی از ترکیب معادله پیوستگی و قانون اول فیک بدست می آید.معادله انتقال پخش شامل دو ترم بسیار مهم می باشد.
-1ترم انتقال : - advection - دو ترم سمت چپ در معادله -2 - 1 - ترم پخش - : - diffusion ترم اول سمت راست - 1 - که انتقال جرم ناشی از تفاوت غلظت و یا پخشیدگی میباشد. در معادله حرکت ضریب پخشیدگی یکی از مهمترین پارامترها در مدل سازی کامپیوتری انتشار آلودگی در آبراهه ها می باشد.حالت غیر خطی معادله فوق بصورت زیر بیان میشود
.4موجک هار
موجک هار برای بصورت زیر بیان میشود
