بخشی از مقاله
چکیده
در سالهای اخیر انتقال آلودگی و نیز مدلسازی انتقال آن در آب و محیطهای متخلخل مورد توجه محققین قرار گرفته است. این امر ناشی از افزایش آلودگی محیطی حاصل از فعالیتهای گسترده شهری، کشاورزی و صنعتی میباشد که عوامل زیر سطحی به ویِژه آبهای زیرزمینی را تحت تاثیر قرار میدهد. مدلهای عددی متعددی همچون تفاضل محدود - - FDM، احجام محدود - FVM - و اجزاء محدود - - FEM برای مدلسازی انتقال آلودگی در محیطهای متخلخل ارائه شدهاند. روش Differential Quadrature - DQ - روشی نوین برای حل معادلات دیفرانسیل حاکم بر پدیدههای فیزیکی است که که با استفاده از یک شبکه درشت با تعداد گره های کمتر نسبت به دیگر مدلهای عددی می تواند به همان نتایج دست یابد. در این مقاله به حل عددی سه بعدی معادله Advection-Diffusion - A-D - در یک محیط متخلخل توسط این روش پرداخته و در نهایت نتایج بدست آمده حل های تحلیلی ارائه شده مقایسه گردیدند به طوری که نتایج نشان میدهند این روش از دقت بالایی بر خوردار است. این مقاله نشان می دهد که روش DQ می تواند با تعداد گره های کمتر و همچنین تلاش محاسباتی کمتر نتایج بسیار خوبی نسبت به دیگرمدلهای عددی ارائه دهد.
کلید واژه: انتقال انتشار، دیفرانسیل کوادراچر، محیطهای متخلخل.
-1 مقدمه
فهمیدن انتقال آلودگی در زیر سطح زمین بوسیله آب یک مسئله مهم در کاربردهای کشاورزی و حرکت آلودگی ها از میان محیط اشباع و غیر اشباع می باشد. معادله Advection-Diffusion که به ADE معروف می باشد بطور وسیع بکاربرده می شود تا بتواند انتقال آلودگی در محیط متخلخل را توصیف نماید. فونگتاناپانیچ و دیچومفای - - 2009 یک مدل ترکیبی از دو روش عددی حجم محدود و المان محدود را برای حل معادله ناپایدار Convection-diffusion-reaction در حالت دو بعدی ارائه کرده است که در مطالعاتشان قدرت و دقت روش عددی بوسیله حل های تحلیلی و عددی از مسائل Convection-diffusion بررسی شده است.
میکچل و مایر - - 1998 یک مدل انتقال جریان دو بعدی را برای شبیه سازی جریان آب و انتقال آلودگی در محیط ناهمگن غیر اشباع که حاوی آب و هوا می باشد ارائه داده اند. این مدل ترکیبی از مدلی قوی از الگوریتم عددی برای حل معادلات ریچاردز، دارسی و معادله انتقال بود. همچنین در مطالعات آنها معادله انتقال با استفاده از روش اولر- لاگرانژ و روش گالرکین عناصر محدود حل شده بود . دیو و همکارانش - - 2001 یک مدل انتقال یک بعدی را برای شبیه سازی جریان آب و انتقال آلودگی در محیط همگن- ناهمگن اشباع و غیر اشباع ارائه داده است. این مدل ترکیبی از الگوریتم عددی برای معادلات غیر خطی ریچاردز و Advection-dispersion می باشد.
در مطالعه آنها حالت ترکیبی از معادله ریچاردز و معادلات انتقال با استفاده از روش عناصر محدود حل شده بود. ساندر و برادوک - 2005 - یک رنجی از حل های تحلیلی برای معادلات انتقال در جریان افقی ارائه نموده اند. کایا - - 2010 با استفاده از روش Differential Quadrature Method - DQM - به حل عددی یک بعدی معادله ADE پرداخته است. که در مقاله اش روش DQ به دو مثال اعمال شده است و نتایج آن با قابلیت روش تفاضل محدود مقایسه شده است. ایکسکی و ونهو - 1999 - یک روش عناصر محدود برای حل معادلات ناپایدار انتقال و بصورت سه بعدی ارائه داده است. بوسکی و همکارانش - 2007 - یک حل عمومی دو بعدی پایدار را برای این معادله ارائه داده است که در روش خود از تکنیک تبدیل لاپلاس استفاده کرده است.
کاستیلو و پاور - - 2007 یک حل اساسی دو بعدی معادله انتقال را با ضرائب متغیر را برای حالت پیچیده دانسیته نامعلوم ارائه داده است. کاکور و وانکیر - 2003 - یک الگوریتم تقریبی را برای حل سیستم Coupled از جریان و انتقال آلودگی با در نظر گرفتن خاصیت Adsorption در محیط اشباع- غیر اشباع ارائه داده اند. مدل جریان در مقاله آنها بر پایه معادله ریچاردز غیر خطی و با معادله انتقال از محیط اشباع و سرعت دارسی Coupled شده بود. این تقریب برپایه Time stepping و با به کاربردن تکنیک Splitting و روش مشخصه بوده است. چین و همکارانش - - 2011 یک حل تحلیلی دقیق را برای معادله انتقال دو بعدی در دستگاه استوانه ای در محیط محدود و با شرایط مرزی ورودی خاص ارائه داده است.
کومار و همکارانش - 2010 - اقدام به حل معادله انتقال یک بعدی با ضرائب متغیر برای سه نوع مسئله dispersion کرده است که شامل : - 1 پخش آلودگی در امتداد جریان پایدار از یک محیط ناهمگن - 2 پخش آلودگی تابع زمان در امتداد جریان یکنواخت از محیط همگن. - 3 پخش آلودگی در امتداد جریان تابع زمان از میان محیط ناهمگن. جانگ و وو - 2011 - یک نوع نرخ انتقال زمانی جدید را به منظور شبیه سازی فرآیند انتقال و پخش شدن ارائه داده اند. آنها تشخیص داده اند که این روش جدید توابع ساده تری را برای نرخ انتقال ارائه می دهد که معادله انتقال به راحتی حل شود.
سان و همکارانش - 2010 - به بررسی پایداری و دقت روش Adaptive از عناصر محدود برای مسائل انتقال دو بعدی پرداخته است. واسیلوسکی و کاکاپرین - - 2008 یک طرح Splitting برای حل عددی سه بعدی مسئله انتقال در روی مش Unstructured در یک حالتی که بطور کامل پخش انجام شود ارائه داده اند. در مقاله شان آنها یک مقایسه را بین طرح های Splitting و روش های عناصر محدود و ترکیبی عناصر محدود ارائه کرده اند. سارا - 2012 - روشی برپایه توابع شعاعی را برای تقریب عددی معادلات انتقال روی شکل های پیچیده را ارائه کرده است. آشتیانی و حسینی - 2005 - خطاهای عددی همراه با حل تفاضل محدود را برای حالت دو بعدی معادله انتقال از یک آنالیز تیلر و برداشتن آنها از حل عددی ارائه داده اند.
یونیس و آکیریر - 2005 - یک روش اولر- لاگرانژ را به منظور حل معادلهانتقال ارائه داده اند. آنها یک الگوریتم جدید ارائه داده اند که از حل عددی زمان بر در حل معادله انتقال جلوگیری می کند. همچنین ژن . اف. تاین - - 2011 روش ADI مرتبه بالا را برای حل دوبعدی معادله A-D مورد بررسی قرار داد و نتایج حاصل از مطالعات خود را با حالتهای تحلیلی این معادله مورد مقایسه قرار داد. دهگان - 2004 - در مقاله ای به حل عددی سه بعدی معادلات A-D با استفادل از مدل عددی تفاضل محدود پرداخت و نتایج حاصل از کار خود را با حالت تحلیلی این معادله مقایسه کرد.معادله - A-D - در حالت کلی به شکل زیر می باشد:که C غلظت آلاینده - ML-3 - ، t زمان - T - ،باشد. همچنین v سرعت جریانآلاینده - LT-1 - و D ضریب پخشیدگیاست.بوده در حالی که - l - عمق خاک میدر این تحقیق به بررسی حالت سه بعدی معادله A-D توسط روش DQ پرداخته شده و نتایج حاصله با حالت تحلیلی این معادله مورد مقایسه قرار گرفته شده اند.
-2 روش :DQ
روش DQ یک روش عددی برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی است. این روش توسط بلمان و همکارانش - - 1972معرفی شد. آنها پیشنهاد کردند که مشتق تابع f - x - در یک نقطه نسبت به x به صورت تقریبی خطی از مجموع مقادیر تابع در تمام بازه مشتقگیری نوشته میشود. آنها این رابطه را به صورت زیر تعریف کردند.که در رابطهی فوق F تابع مورد نظر، n تعداد نقاط دقت. xi نقطه iام از دامنهی تابع و aij ضرایب وزنی برای بدستآوردن مشتق تابع در نقطه iام میباشد. همانطور که در رابطهی - 2 - مشاهده میشود مقدار مشتق تنها برحسب مقادیر تابع در گرهها بسط داده شده است. همچنین برای مشتقات مرتبهی دوم مشتق تابع به صورت زیر تعریف میشود.bij ضریب وزنی برای محاسبه مشتقات مرتبه دوم می باشد.
-1-2 محاسبه ی ظریب وزنی روش : DQ
برای محاسبهی ضریب وزنی در روش DQ از توابع پایهای استفاده میشود این توابع پایه معمولاً توابع چندجملهای هستند. توابع پایه میتواند xp یا توابع و پیچدهتری باشند. که p از n-1..........,2,1,0 - که n تعداد نقاط گره است - متغیر است که به این روش DQ بر مبنای چند جملهای - PDQ - 1 گفته میشود. دانشمندان روشهای زیادی برای تعیین ضرایب وزنی ارائه داده اند. شاو - 2000 - ضرایب وزنی برای مشتق مرتبه اول - aij - و مشتق مرتبه دوم - bij - را به شکل زیر پیشنهاد کرد: برای محاسبهی
