بخشی از مقاله
خلاصه
در حل عددی معادله انتقال که از پرکاربردترین معادلات در شبیهسازی پدیدههای هیدرولیکی است، خطای فاز نقش مهمی در دقت روش مورد استفاده دارد. در بخش اول این تحقیق، با استفاده از روش مشخصات و روش درونیابی لاگرانژ سه الگو جهت ساخت روشهای عددی پایدار معرفی شد. در این بخش، بررسی خطای فاز روشهای عددی تولید شده با استفاده از الگوهای مذکور انجام شده است.
در ادامه آزمایش حل معادله انتقال با استفاده از دو شرط اولیه توزیع گاوسین و موج مستطیلی برای روشهای عددی پیشنهادی پایدار صورت گرفته و نتایج آن مورد بررسی قرار گرفته است. مقایسه نتایج با روش عددی لکس-وندراف درجه دقت دو نشان میدهد روشهای عددی تولید شده از خطای فاز قابلقبولی برخوردار هستند. هرچه روش عددی مورد نظر با نقاط بیشتری طبق الگوهای ارائه شده درونیابی شود، از خطای فاز کمتری برخوردار خواهد بود که البته این امر منجر به پرداخت بهای محاسباتی بیشتری است.
.1 مقدمه
یکی از معادلات مهم در رشتههای مهندسی معادله انتقالٌ است. این معادله که یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی بوده، بخشی از مدلهای ریاضی است که در حل مسائل جریان و انتقال کاربرد دارند.[4-1] همچنین این معادله کاربردهای فراوانی برای مدلسازی پدیدههای هیدرولیکی در شاخههای بسیاری از علوم شامل مکانیک سیالات، دینامک گازها، مدلسازی اتمسفر و ... دارد. از جمله کاربردهای این معادله میتوان به نشان دادن انتقال آلودگیها در اتمسفر، اقیانوسها، دریاچهها، رودخانهها و آبهای زیرزمینی اشاره کرد. که در آن c غلظت، t زمان و x فاصله طولی است.
نمود فیزیکی این معادله با حرکت به سمت جلو توصیف میشود. از آنجاییکه این معادله به طور کلی جواب تحلیلی دقیق ندارد، پیدا کردن جواب عددی تقریبی صحیح برای آن بسیار حائز اهمیت است.[6] روشهای زیادی برای حل معادله انتقال وجود دارد. از جمله آن روشها میتوان به روشهای تفاضل محدود، حجم محدود، المان محدود و روش مشخصات اشاره نمود که در بخش اول این تحقیق از روش مشخصات برای حل این معادله استفاده شد. در روش مشخصات اگر همه مقادیر غلظت در زمان حال معلوم باشند، غلظت در هر نقطهای در گام زمانی بعدی قابلمحاسبه خواهد بود و به این منظور غلظت در یک نقطه خاص، از درونیابی چندجملهای به دست میآید. در سادهترین حالت تنها با استفاده از دو نقطه درونیابی انجام میشود.
میتوان درونیابی را با نقاط بیشتری انجام داد و روشهای عددی متنوعتری استخراج نمود. برای انجام درونیابی با تعداد نقاط بیشتر در بالادست و پاییندست، میتوان از روش درونیابی چندجملهای لاگرانژ استفاده کرد. در بخش اول این پژوهش با به کارگیری روش درونیابی لاگرانژ، روشهای عددی مختلفی ارائه شد و پایداری آنها با استفاده از روش فوننیومن بررسی شد. از میان روشهای عددی تولیدی، سه الگوی ساخت که منجر به ایجاد روشهای عددی پایدار شدند، آورده شد که عبارتند از:
الگوی اول: n = m - 1
الگوی دوم: n = m الگوی سوم: n = m + 1
که در این روابط m وn به ترتیب تعداد نقاط انتخابی در بالادست و پاییندست هستند. لازم به ذکر است که الگوی اول و دوم از نوع روشهای بالادستی1 و الگوی سوم از نوع روشهای مرکزی2 میباشند. در بخش دوم این تحقیق با استفاده از یک برنامه کامپیوتری به زبان فرترن، به بررسی رفتار فاز روشهای عددی تولید شده توسط الگوهای مذکور پرداخته و سپس طی آزمایشی معادله انتقال توسط روشهای عددی مذکور حل و نتایج آن آورده میشود.
.2 مواد و روشها
.1-2 خطای فاز
آنالیز پایداری فون نیومن میتواند اطلاعاتی در مورد سرعت فازی امواج نیز ارائه دهد. هر نوع اختلافی بین سرعت عددی محاسبه شده امواج و مقدار واقعی سرعت فازی در جواب تحلیلی، خطای فازی نامیده میشود. در واقع خطای فازی باعث می شود محل تمرکز غلظت از محل اصلی خود جابهجا شود [7] که در این صورت سه حالت پیش میآید:
حالت اول : در صورتی که مقدار خطای فازی کمتر از یک باشد، حل عددی از جواب تحلیلی مساله عقب میماند.
حالت دوم: در صورتی که مقدار خطای فازی برابر یک باشد، حل عددی و تحلیلی مساله با سرعت یکسانی گسترش مییابند. حالت سوم: در صورتی که مقدار خطای فازی بزرگتر از یک باشد حل عددی نسبت به حل تحلیلی سریعتر گسترش پیدا میکند. آپادو - 2013 - در یک تحقیق روی روشهای عددی لکس-وندراف3، کرنک نیکلسون4 و معادله تفاضلی غیر استاندارد - NSFD - 5 توانست با بهبود شرایط اولیه خطای فازی را کاهش دهد.[8] آپادو - 2017 - معادله تفاضلی همواره مثبت - UPFD - 6 را ابداع و آن را تحت آزمایشهای مختلف انتقال و پخش قرار داد و پایداری و خطای فازی حاصل را بررسی کرد.
.2-2 آزمایش حل معادله انتقال
کولِلا وسِکورا - 2008 - بر روی روش عددی پی.پی.اِم1 یک محدودکننده اعمال کردند که توانست خطای فاز این روش را بهبود دهد. آنها برای آزمایش روش خود از دو توزیع گاوسین و موج مربعی2 استفاده کردند.[10]سان و ژیاوُ - 2015 - برای آزمایش روش پیشنهادی خود توزیع گاوسین و موج مستطیلی را به کار گرفتند.[11] به منظور حل معادله انتقال با روشهای عددی ساخته شده توسط الگوهای ارائه شده، آزمایشی طراحی شد. جهت بررسی عملکرد روشهای عددی در آزمایش مذکور دو شرط اولیه توزیع گاوسین3 از دسته توزیعهای نرم4 و موج مستطیلی از دسته توزیعهای تیز5 در نظر گرفته شد که در »شکل -1 تصویر شرایط اولیه«، آورده شدهاند.
