بخشی از مقاله
چکیده:
در این مقاله، روشی عددی برای حل مسالهی کنترل بهینهی تاخیری با تابع عملکرد درجه دو، با استفاده از موجکها مورد بحث قرارگرفته و توابع موجک سینوس- کسینوس بهعنوان یک خانواده از توابع پایه متعامد انتخاب شده است. در این روش متغیرهای حالت و کنترل را برحسب توابع موجک سینوس-کسینوس با ضرایب مجهول بسط میدهیم و سپس با استفاده از ماتریس عملگر انتگرال، ضرب و تاخیر، دستگاه معادلات دیفرانسیل تاخیری به معادلات جبری و مسالهی کنترل بهینهی تاخیری به یک مسالهی برنامهریزی غیرخطی تبدیل میشود که با یکی از روشهای برنامهریزی پارامتری غیرخطی قابل حل است.
کلمات کلیدی:کنترل بهینهی تاخیری؛ موجک سینوس- کسینوس؛ توابع متعامد؛ ماتریس عملگر.
-1 مقدمه:
سیستمهای تاخیری به سیستمهایی گفته میشود که دارای تاخیر زمانی بین زمان استفاده از ورودی یا کنترل و اثر حاصل از آن میباشند. این تاخیرات یا بهطور ذاتی در بخشی از دستگاه وجود دارند و یا بهطور از قبل تعریف شدهای برای مفاهیم کنترلی و انجام مناسب عملیات به دستگاه اعمال میشوند. سیستمهای با تاخیر زمانی در بسیاری حوزهها مانند سیستمهای الکتریکی و مکانیکی، فرآیندهای صنعتی، رشد جمعیت، رشد بیماریهای همهگیر، شبکههای عصبی و . . . رخ میدهد.با توجه به اینکه تاخیر زمانی عاملی مهم در کاهش کیفیت کنترل است، لذا سیستمهای دارای تاخیر زمانی ردهای مهم از سیستمها است که کنترلپذیری و بهینهسازی آنها مورد توجه قرار گرفته است.
روشهای عددی برای حل مسائل کنترل بهینه به دو دسته کلی روشهای مستقیم و غیرمستقیم تقسیم میشوند. در روش غیرمستقیم اساس کار مبتنی بر پیداکردن جواب بر اساس یک مجموعه از شرایط لازم برای بهینگی است که از حساب تغییرات، اصل ماکزیمم پونتریاگین یا معادله همیلتون- ژاکوبی- بلمن بهدست میآیند. استفاده از اصل پونتریاگین در دستگاههای شامل تاخیر زمانی منجر به یک مسالهی مقدار مرزی دو نقطه ای مجزا میشود که حل آن دشوار است. در روشهای مستقیم مسالهی کنترل بهینه تبدیل به یک مسالهی برنامه ریزی غیرخطی میشود .[3]یکی از روشهای مستقیم، استفاده از توابع متعامد برای بهدست آوردن جواب تقریبی مسالهی کنترل بهینه است. توابع متعامد به سه دسته تقسیم میشوند.دسته اول شامل توابع پایهی قطعهای ثابت مانند توابع والش ، ضربه بلوکی ، هار و . . . میباشد .
دسته دوم شامل چندجملهایهای متعامد مانند چندجملهای لژاندر، چبیشف، لاگر و . . . و دسته سوم توابع سینوسی و کسینوسی در سری فوریه میباشند. اخیرا نیز ترکیب توابع ضربه بلوکی با چندجملهایهای چبیشف، لژاندر، تیلور، برنولی، برن اشتاین و . . . برای حل مسائل کنترل بهینهی دارای تاخیر بهکارگرفته شده است .[5] اولینبار این روش توسط مرزبان و رزاقی در سال 2004 مورد استفاده قرار-گرفت.درسال 1909 هار اولین کسی بود که به موجک هار که سادهترین نوع موجک است، اشاره کرد. در سالهای اخیر توجه بیشتری به پایههای متعامد موجک صورت گرفته است. آنالیز موجک یکی از دستاوردهای نسبتا جدید ریاضیات محض است که امروزه کاربردهایوسیعی در بسیاری از شاخههای علوم و مهندسی از جمله مسائل کنترل بهینهی تاخیری، دارد. به عنوان نمونه موجک هار [4]، موجک چبیشف [1] و موجک لژاندر [8] برای حل مسائل کنترل بهینه استفاده شدهاند.
هدف این مقاله استفاده از موجک سینوس- کسینوس برای یافتن جواب مسالهی کنترل بهینهی دارای تاخیر زمانی است. ابتدا موجک سینوس- کسینوس و خواص آن را شرح میدهیم، سپس ماتریس عملگر انتگرال، ضرب و تاخیر را برای این موجک معرفی-میکنیم. بردار حالت و بردار کنترل دستگاه دارای تاخیر زمانی را توسط موجک با ضرایب مجهول نشان داده و سپس با انتگرالگیری و استفاده از ماتریسهای عملگر انتگرال، ضرب و تاخیر معادلات دیفرانسیل تاخیری، تبدیل به معادلات جبری میشوند که حل آنها سادهتر میباشد. با بهکارگیری این روش مسالهی کنترل بهینهی تاخیری به یک مسالهی برنامهریزی غیرخطی تبدیل میشود.
-2 معرفی موجک سینوس- کسینوس
موجک تابع مشخص مفروضی با میانگین صفر است و بسط آن برحسب انتقالها و اتساعهای این تابع انجام میگیرد. برخلاف چندجملهایهای مثلثاتی، موجکها در فضا بهصورت موضعی بررسی میشوند و به این ترتیب ارتباط نزدیکتری بین بعضی توابع وضرایب آنها امکان پذیر میشود.موجک سینوس- کسینوس را بهازای عدد صحیح دلخواه l ، عدد صحیح نامنفی k و n 0,1, 2, ...,2k 1 با - n, k, m, t - n,m نشان میدهیم و بهصورت زیر تعریف میشود .[2]
-3 تقریب توابع هر تابع [0,1]
که در آن f را میتوان بهشکل زیر با استفاده از موجک سینوس- کسینوس تقریب نمود.
-1-3 ماتریس عملگر انتگرال
انتگرال برداررا بهشکل زیر بهدست میآوریم، در رابطه زیر ماتریس ، ماتریس عملگر انتگرال نامیده میشود.
-2-3 ماتریس عملگر ضرب
ماتریس عملگر ضرب که آن را با C نشان میدهیم بهشکل زیر تعریف میشود. - 9 -
باید در محاسبه C به موارد زیر توجه نمود. برای محاسبه ij ik از فرمولهای تبدیل حاصل ضرب جملات Sin و Cos به حاصل جمع استفاده میکنیم و از دو جمله بهدست آمده در حاصل جمع، صرفا جملات موجود در بردار C را نگه میداریم. با توجه به توضیحات فوق ماتریس یک ماتریس بلوکی بهدست میآید که بلوکهای روی قطر اصلی مخالف صفر است. - 10 -
-3-3 ماتریس عملگر تاخیر
تابع تاخیر حاصل از انتقال تابع به اندازه واحد در طول محور زمان است 1]، .[7
