بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
کنترل سيستم هاي آشوبناک با فيدبک تاخيري توسعه يافته
چکيده – يکي از مهمترين مشکلات استفاده از فيدبک تاخيري توسعه يافته ، عدم وجود يک مدل حلقه بسته براي سيستم است . در اين مقاله معادله سيستم حلقه بسته تحت فيدبک تاخيري توسعه يافته بدست مي آيد و نشان داده مي شود که سيستم حلقه بسته از نوع تاخيري neutral
است . سپس براي سيستم خطي سازي شده حول نقطه تعادل ، با کمک نامساوي هاي خطي ماتريسي ، شرايط پايداري نقاط تعادل بدست مي آيد. با اعمال روش ارائه شده روي سيستم Tesi-Genessio چگونگي عملکرد مورد بررسي قرار مي گيرد و صحت نتايج بدست آمده تائيد مي گردد.
کليد واژه - کنترل آشوب ، فيدبک تاخيري توسعه يافته ، نامساوي خطي ماتريسي ، مدل Tesi-Genessio.
١- مقدمه
در دو دهه گذشته موضوع کنترل آشوب مورد توجه بسياري از مهندسان و فيزيکدانان قرار گرفته است . اگرچه موضوع کنترل سيستم هاي آشوبناک مي تواند در چارچوب کنترل سيـستم هـاي غيرخطي مـورد توجـه قـرار گيـرد و روش هـاي معمـول کنتـرل غيرخطي مانند مود لغزشي ، بازگشت به عقـب و ... بـراي کنتـرل سيستم هاي آشوبناک نيز به کـار گرفتـه شـود ولـي در سـالهاي گذشته روش هايي به منظور کنترل آشوب با توجه به ويژگي هاي
خاص سيستم هاي آشوبناک مطرح شده است . اين روش ها به دو دسته با فيـدبک و بـدون فيـدبک تقـسيم شوند [١]. دسته اول روش هايي مانند وارد کردن توابـع ضـربه مي پياپي هستند [٢]. اين روش در مورد پايدار کـردن نقطـه تعـادل [٣]. غالبا روش هاي بـدون فيـدبک ليزر پلاسما به کار رفته است براي کنترل سيستم هايي بـه کـار گرفتـه مـي شـود کـه سـرعت تغييرات در آنها زياد است يـا سيـستم هـايي کـه ابعـاد بـسياري کوچکي دارند. در دسته روش هـاي بـا فيـدبک دو روش متفـاوت OGY [٤] و روش فيدبک تـاخيري [٥]. معرفي شده است : روش
روش اول از نظر تحليل عملکرد ساده تر ولي در پياده سازي بسيار مشکل است در حاليکه روش فيدبک تاخير در پياده سازي بـسيار ساده است اما تحليل سيستم حلقه بسته به علت وجـود تـاخير و افزايش بعد بسيار مشکل است .
در ١٩٩٦ نشان داده شـد کـه فيـدبک تـاخيري نمـي توانـد سيستم هاي آشوبناک زمان گسسته بـا تعـداد فـرد نمـاي فلوکـه ناپايدار را کنترل کند [٦] و سپس اين موضوع براي سيستم هاس 026 زمان پيوسته نيز مطرح شد[٧]. از اين جهت روش هـاي متنـوعي براي رفع اين محدوديت مطرح شد که يکي از آنها توسعه قـانون فيدبک تاخيري و استفاده از تعـداد نامحـدودي تـاخير در قـانون کنترلي بود [٩ ,٨]. تحليل سيـستم حلقـه بـسته در ايـن حالـت بسيار پيچيده است و تاکنون فقط در حالـت هـاي خاصـي مـورد بررسي قرار گرفته است [١٠].
اگرچه در ٢٠٠٧ نشان داده شد کـه روش فيـدبک تـاخيري محدوديت تعداد فرد نماي فلوکه را ندارد [١١] ولـي تـلاش هـاي صورت گرفته براي حذف اين محدوديت منجر به درک بهتـري از چگونگي عملکرد ايـن روش شـد. يکـي از مهمتـرين مـسائل در استفاده از فيدبک تاخيري و روش هاي وابسته بـه آن نـاتواني در يافتن فرم بسته اي براي سيستم همراه با کنترل کننده بود. در ايـن مقالـه ، در بخـش ٢، ابتـدا قـانون کنترلـي فيـدبک تاخيري توسعه يافته را معرفي کـرده و معـادلات سيـستم حلقـه بسته با اين قانون کنترلي مشخص مي شود. سپس در بخش ٣، با معرفي يک تـابع لياپـانوف مناسـب ، يـک نامـساوي هـاي خطـي ماتريسي جهت پايداري نقـاط تعـادل مـستقل از تـاخير بدسـت مي آيد. با اعمال اين نامساوي ماتريسي بـه سيـستم حلقـه بـسته خطي سازي شده ، پارامترهاي کنترلي معين مي گردند. در بخـش ٤ با اعمال نتايج بدست آمده در بخش قبـل بـه مـدل آشـوبناک
Tessi-Genessio [١٢]، نقاط تعادل اين مدل با فيدبک تـاخيري توسعه يافته پايدار مي شوند. نتايج اين بخش با شـبيه سـازي هـم تائيد مي شود. نهايتا نتايج کلي ايـن مقالـه در بخـش آخـر بيـان مي گردد و نيز آنچه مي توان در ادامه اين مقاله انجام داد.
٢- شرح مسئله
فرض کنيد معادله سيستم به صورت
همراه با شرط اوليه
باشد. همچنين سيستم زمان رهايي محدود نداشـته و در حالـت بدون ورودي و بـراي شـرط اوليـه فـوق آشـوبناک باشـد. هـدف پايدارسازي نقطـه تعـادل *x اسـت کـه در معادلـه صدق مي کند.
قانون کنترلي فيدبک تاخيري به صورت
است که K بهره فيدبک و تاخير است . در صورتي که هـدف پايدارسازي يک چرخه حدي ناپايدار با دوره تناوب T باشد، بايد
T . اما اين محدوديت براي پايدارسازي نقـاط تعـادل وجـود ندارد. شکل زير توسعه يافته فيدبک تاخيري است
در صورتي که ١ = n قانون کنترلي (٤) و (٣) يکي خواهند بـود.
اگر قانون کنترلي (٤) به شکل زيـر قابـل
قابل و بازنويسي است :
براي يافتن معادله سيستم حلقه بسته ، در معادله سيستم تبديل مي کنيم . با توجه به اينکه سيستم (١) به ناخودگردان است ، معادله سيستم چندان تغيير نمي کند:
از تفاضل معادله (١) و r برابر معادله (٦) داريم :
با توجه به قانون کنترلي (٥)، معادله سيستم حلقه بـسته چنـين است :
سيستم (٨) يک سيستم تاخيري از نوع neutral است .
براي يافتن پاسخ اين سيستم نياز به تابع اوليـه ( در بازه زماني است . اين تابع اوليه در واقع پاسخ سيـستم (١) به شرط اوليه (٢) است و از معادله ديفرانـسيل زيـر بدسـت مي آيد
توجه کنيد که اگر يک نقطـه تعـادل سيـستم بـدون ورودي (١) باشد، نقطه تعادل سيستم حلقه بسته (٨) نيز خواهـد بـود و فيـدبک تـاخيري توسـعه يافتـه نقـاط تعـادل سيـستم را تغييـر نمي دهد.
٣- طراحي فيدبک تاخيري
معادلات نهايي سيستم حلقه بسته بـه صـورت (٨) بـا تـابع اوليه (٩) براي بازه زماني است . اين معـادلات اگرچـه براي تعريف شده است اما به سادگي مي تـوان آنهـا را بـا يک شيفت زماني به با تابع اوليه روي تبـديل کرد. بنابراين از اين پس از اين بازه هاي زماني استفاده مي شود.
سيستم خطي زير را در نظر بگيريد
براي بررسي پايداري مبدا در آن تابعي لياپـانوف بـه صـورت زيـر تعريف مي گردد:
که در آن ماتريس هاي P و Q مثبت معـين و متقـارن هـستند. مشتق اين تابعي
است که در طول مسيرهاي حالت سيستم (١٠) چنين است :
آنگاه (١٢) قابل بازنويسي به صورت زير است :
که نتيجه مي دهد
و میتوان ان را به صورت نامساوی ماتریس زیر نوشت:
که در آن ماتريس است .
بنابراين است اگر
با استفاده از متمم شور اگر
مي توان نامساوي (١٧) و (١٨) را به صورت زير نوشت :
و * ماتريس هايي هستند که عبارت فوق را متقارن مي کنند.
اين نتايج را مي توان در قضيه زير خلاصه کرد.
قــضيه ١. مبــدا در سيــستم (١٠) پايــدار مجــانبي اســت اگــر ماتريس هاي مثبت معين و متقـارن Q,P يافـت شـوند کـه در نامساوي خطي ماتريسي (١٩) صدق کنند.
حال اين قضيه را در مورد معادل خطي سيستم (٨) بکار مي بريم .
اين سيستم پس از خطي سازي به صورت زير در مي آيد:
