بخشی از مقاله
چکیده
فنر دافینگ دارای معادلهای غیر خطی هست که مبتنی بر جرم فنر و رابطه کشیدگی و فشردگی آن میباشد. با نشان دادن این رابطه به طور کلی شناختی از این قضیه بهدست میآید. سپس به حل این معادله به روش های تئوری اغتشاش1و توازن هارمونیک ها2 پرداخته می گردد. با استفاده از تئوری اغتشاش به یک معادله غیر خطی رسیده و از توازن هارمونیکها در حل بقیه مسئله استفاده میشود. با استفاده از نرم افزار Maple به جواب دلخواه رسیده و درباره منحصر به فرد بودن آن بحث می شود. در مرحله بعد با مقایسه پاسخ تحلیلی و عددی به بررسی خطای بین این دو پاسخ می پردازیم. خطای کم دو پاسخ کیفیت روش تئوری اغتشاش در حل مسئله غیر خطی - دافینگ - نشان می دهد.
واژههای کلیدی: تئوری اغتشاش، فنر دافینگ، توازن هارمونیک ها
-1 مقدمه
معادلهی فنر دافینگ - در حالت بدون ورودی - برای بیان دینامیک جرم و فنر به صورت غیر خطی بیان می شود. هنگامی که مقدار نیروی فنر به مکان جرم وابسته باشد، فرکانس تشدید آن نیز به جابجایی فنر وابسته خواهد شد . نیروی فنر برحسب کشیدگی و فشردگی آن کم و زیاد می شود که برای فنر سخت با افزایش جابه جایی - کشیدگی - این نیرو افزایش می یابد و برای فنر نرم برعکس می باشد .[1] نوعی رفتار هیسترزیس در پاسخ فرکانسی سیستم وجود دارد که تحلیل این گونه سیستم ها را با مشکل مواجه می کند. به عبارت دیگر خروجی سیستم علاوه بر فرکانس ورودی به تغییرات فرکانس نیز وابسته است.
علاوه بر رفتار هیسترزیس فرکانسی در نمودارهای بد سیستم های غیرخطی، با تحریک سینوسی آنها با فرکانس معمولا هارمونیک های فرعی در آنها دیده می شود. با افزایش ابعاد سیستم پیچیدگی در رفتار افزایش پیدا می کند. از این رو پاسخ فرکانسی برای سیستم های غیرخطی معمولا تعریف نمیشود. نظریه اغتشاش روشی ریاضی است که برای یافتن پاسخ تقریبی مسئله ای -که پاسخ دقیق آن قابل دسترسی نیست؛ استفاده میشود. یافتن این جواب تقریبی با یک پاسخ دقیق در یک مسئله مرتبط آغاز میشود.
نظریه اغتشاش را زمانی میتوان به کار برد که بتوان مسئله را با افزودن یک متغیر کوچک به توصیف ریاضی مسئلهای که قابل حل دقیق است، فرمول بندی کرد. در سال 1386 با استفاده از تبدیلات هیلبرت- هوانگ نشان دادند که هر سیگنال ناپایا را میتوان به مودهای ذاتی خود تجزیه کرد. با این روش معادلات نوسانگر دافینگ را حل کرد. >2@ در این زمینه همچنین می توان به مطالعات و استفاده از روش کنترل مد لغزشی برای حل معادلات و کنترل سیستم آشوبناک دافینگ اشاره کرد.[3] معادلات دافینگ یک روش مناسب در حل معادلات غیرخطی در علوم مهندسی و فیزیک میباشد[4] که مدل اصلی آن توسط Duffing مهندس آلمانی در سال 1918 معرفی شد و توسط مون[5] و هلمز گسترش یافت[6] که به کم کردن خطای موجود پرداختند. [7] همچنین اسیلاتورهای شبه دافینگ توسط هایاشی[8] و یودا[9] بررسی شد. در این مقاله سعی بر حل معادلات فنر دافینگ شده با استفاده از تئوری اغتشاش می باشد.
-2بیان مسئله:
معادلهی دافینگ برای بیان دینامیک جرم و فنر به صورت زیر میباشد. که جابهجایی فنر، و دو ضریب مثبت دلخواه و ترم سوم و چهارم معادله - 1 - ، نیروی فنر را بیان می کند. پارامتر ضریب کیفیت و مشتقات برحسب زمان میباشد. با انتخاب مقادیر بزرگ برای میتوان −1 را برابر با در نظر گرفت. با استفاده از تئوری اغتشاش به صورت زیر تعریف میشود: با محاسبه مقادیر مشتقات زمانی و عبارات توانی برحسب معادله - 2 - و جاگذاری آنها در معادله - 1 - و ساده سازی به دست میآید:
برای به دست آوردن مقادیر 0 و 1 و 2 معادله غیرخطی در نگاه اولیه قابل حل نمیباشد. از این رو با نرم افزار Maple و با کمک گرفتن از تئوری توازن هارمونیکها - Harmonic Balance - طبق مراحل زیر به جواب رسیده، برای سادگی حل مقدار پارامتر دلخواه و را یک فرض کرده و سپس در مراحل بعد مقدار ثابتی در نظر میگیریم. ضریب 0 را ابتدا وارد کرده و با استفاده از تئوری توازن هارمونیکها پاسخ زیر را برای 0 تعریف میشود: حال با جایگذاری این مقدار در معادله و حل معادله برای چند مقدار مختلف روند کلی شکل و معادله 0 - - مشخص شده و مقدار آن معین میشود. که مقادیر ضرایب برای معادله - 4 - به شرح زیر میباشد. جواب مشاهده شد و حال باید مقادیر و را تغییر دهیم؛ تا تغییرات مشاهده شود اما با تغییرات این دو پارامتر تغییری در ضرایب معادلات توازن هارمونیکها مشاهده نمی شود. به عبارت دیگر میتوان گفت حل یکتا برای این مسئله به دست آمد.
-3 حل عددی:
برای نشان دادن اینکه جواب به دست آمده از برنامه Maple حلی درست میباشد، با استفاده از فضای سیمولینک در متلب پاسخ زمانی معادله بهدست آمده را در بازه زمانی 100 ثانیه مشاهده کرده برای جلوگیری از تکرار فقط نمودار - - در زیر نشان داده می شود: با مقایسه این دو پاسخ - حل عددی و حل تحلیلی - مشاهده میشود در روش عددی خطا وجود دارد. چون این حل یک نوع روش تکرار شونده می باشد و جواب به دست آمده تقریبی هست. ولی در حالت کلی با صرف نظر کردن از خطای موجود میتوان بیان کرد که جواب ها برابر میباشند.
-4 بررسی خطا:
برای بررسی خطای به وجود آمده بین دو پاسخ تحلیلی و عددی به دست آمده باید مقادیر این دو حالت را از هم کم کرده، و مقدار حاصل را به عنوان خطا در نظر گرفت. برای این کار پاسخ تحلیلی به دست آمده را در سیمولینک شبیه سازی کرده و پاسخ عددی به دست آمده در مرحله قبل را از آن کم کرده مقدار خطا را میتوان در شکل زیر مشاهده کرد.
