بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله، نوسانات غیرخطی مربوط به پاندول آویزان شده بر روي یک نوسان ساز دافینگ که داراي دو درجه آزادي است بررسی شده است. معادلات حرکت مربوط به این مدل با استفاده از روش لاگرانژ حاصل شدهاند. معادلات دیفرانسیل غیرخطی حاصل از مدل دینامیکی، با استفاده از روش مقیاسهاي چندگانه حل شدهاند. به منظور اعتبارسنجی روش حل ارائه شده در این مقاله، نتایج حاصل از حل تحلیلی معادلات، با نتایج حاصل از حل عددي معادلات مورد نظر در هر دو حالت آزاد و اجباري، مقایسه شده است. در ادامه با استفاده از نتایج به دست آمده، تشدیدهاي سیستم و پارامترهاي مؤثر بر آن مورد بررسی قرار گرفته است. نتایج تحلیل نشان داده است طول پاندول تأثیر مستقیمی بر روي افزایش دامنه نوسانات در تشدید اولیه و تأثیر معکوسی بر روي افزایش دامنه نوسانات در تشدید زیر همسان دارد.
1. مقدمه
بررسی رفتار دینامیکی یک پاندول یا سیستمهاي شامل پاندول را شاید بتوان یکی از قدیمیترین موضوعات علمی در دینامیک در نظر گرفت. یک پاندول ساده تحریک شده میتواند در سیستم هاي مختلف، رفتار به شدت پیچیده اي از خود نشان دهد .[1] به معادله - 1 - که شامل ترم درجه یک و ترم درجه سه است، نوسانساز دافینگ میگویند .[2] پس می توان گفت که نوسان ساز دافینگ به صورت یک جرم و یک فنر غیرخطی که شامل ترم خطی و غیر خطی است، در نظر گرفته میشود.
معادلات دینامیکی که براي این سیستمها بدست میآیند در حقیقت داراي ترمهاي غیرخطی میباشند ولی به منظور سادهسازي و حل راحتتر مسئله، میتوان از ترمهاي غیرخطی صرفنظر کرد و یا اینکه بصورت خطی درنظر گرفت. این کار باعث افزایش خطا در محاسبات و فاصله گرفتن از نتایج واقعی در مدل میشود. به همین منظور در معادلات مربوط به مدل در نظرگرفته شده در این مقاله، ترمهاي غیرخطی مدل در شبیه سازي لحاظ شده و با بسطهاي مناسب، ترمهاي غیر خطی ساده تر و معادلات قابل حلتر شدهاند.
براي حل تقریبی معادلات غیر خطی، از روشهایی همچون بالانس هارمونیک [3]، متوسطگیري [4] و روش انحراف [5] استفاده میشود که یکی از حالتهاي انحراف، روش مقیاسهاي چند گانه است و از بهترین روشها براي حل روابط غیر خطی به حساب میآید. بیشترین تحقیقات، قبلاً بر روي دینامیک پاندول آویزان شده بر روي یک نوسان ساز خطی انجام شده [6] و جدیًدا بر روي نوسانساز غیرخطی نیز به روش بالانس هارمونیک کار شده است .[7] در این پژوهش، پاسخ حالت آزاد و اجباري و همچنین تشدید اولیه پاندول آویزان شده بر روي یک نوسانساز دافینگ بررسی میشود. همانطور که گفته شد، معادلات حرکت این سیستم، غیر خطی است که به روش مقیاس چند گانه حل میگردد.
2. مدل و روابط دینامیکی سیستم
مدل سیستم مورد بررسی، در شکل 1 آمده است که شامل نوسانگر دافینگ همراه با پاندول آویزان شده بر آن است. همچنین یک تحریک تناوبی به صورت عمودي به نوسانگر و یک تحریک به صورت گشتاور دمپري به پاندول اعمال میشود. گشتاور میرا به صورت رابطه - 2 - نوشته میشود که ضریب را ضریب میرایی میگویند و بر روي محور پاندول قرار داده میشود. این ضریب میتواند شامل دمپر ویسکوز و دمپر خشک باشد.[8] در این سیستم فرض میشود که گشتاور میرایی فقط شامل دمپر ویسکوز باشد.
