بخشی از مقاله
چکیده
در پژوهش حاضر پارامترهاي سیستم یک درجه آزادي دافینگ با سختی درجه سه و استهلاك خطی با تعیین پاسخ فرکانسی معادل خطی آن در سطوح تحریک متفاوت شناسایی شده است. پاسخ فرکانسی معادل خطی با دو روش تخمین H1 و استفاده از مدل ARMA محاسبه شدهاند. در هر سطح فرکانس طبیعی و ضریب استهلاك معادل خطی با اجراي روش متداول انطباق دایره1 تعیین شدهاند.
نتایج شناسایی با نتایج روش خطیسازي آماري2 مقایسه شده است. دیده شد استفاده از تخمین H1 به همراه روش انطباق دایره هر چند در تعیین فرکانس طبیعی معادل خطی مناسب است اما نمیتواند ضریب استهلاك معادل خطی را به درستی تعیین کند. در حالیکه استفاده از تخمین پاسخ فرکانسی با استفاده از مدل ARMA در شناسایی هر دو پارامتر با موفقیت همراه بوده است و تطابق بهتري با روش خطی سازي آماري نشان داده است.
1. مقدمه
مقاله حاضر به منظور بررسی امکان شناسایی پارامترهاي خطی شدهي یک سیستم غیرخطی تدوین شده است. پارامترهاي خطی شده پارامترهایی هستند که ضمن مقایسه سیستم غیرخطی با بهترین سیستم خطی معادل آن به دست میآیند. روشهاي متعددي براي یافتن این پارامترها وجود دارند که برخی از آنها در حوزه زمان و برخی در حوزه فرکانس اجرا میشوند. از جمله روش- هاي حوزه فرکانس استفاده از تخمین H1 است. هر چند تخمین H1 در ابتدا براي تعیین پاسخ فرکانسی سیستمهاي خطی معرفی شده است، اکنون ثابت شده اگر این تخمین براي سیستمهاي غیرخطی استفاده شود میتواند بهترین پاسخ فرکانسی خطی را براي آنها با رویکرد کمترین مربعات خطا تعیین نماید.
از این جهت تخمین H1 را با عناوینی چون پاسخ فرکانسی بهینه معادل خطی [1] یا پاسخ فرکانسی بهینه [2] و یا بهترین تقریب خطی [3] براي سیستمهاي غیرخطی معرفی کردهاند. روش دیگر شناسایی استفاده از رویکرد کمترین مربعات خطا براي تعیین بهترین مدل خطی ARMA است. در این روش ابتدا ساختار کلی یک مدل خطی با پارامترهاي مجهول به صورت یک معادله تفاضلی در حوزه زمان معین میشود و سپس پارامترهاي مجهول با اجراي الگوریتم کمترین مربعات خطا تعیین میشوند. در ادامه از پارامترهاي مدل براي تخمین پاسخ فرکانسی معادل خطی در حوزه فرکانس استفاده میشود.
هر چند در هر دو روش فوق پاسخ فرکانس خطی شده با کمینه کردن کمترین مربعات تابع خطا محاسبه میشود اما از آنجا که اولا تابع خطاي مدنظر در این دو روش متفاوت است و ثانیا در روش اول بر خلاف روش دوم مدل پیش فرض وجود ندارد، پاسخ فرکانسی- هاي خطی به دست آمده در آنها یکسان نیستند. براي تخمین پاسخ فرکانسیهاي خطی به دو روش مذکور باید سیگنالهاي ورودي و خروجی سیستم غیرخطی از طریق آزمایش واقعی و یا از طریق شبیه سازي به صورت دو رشته از اعداد در اختیار باشند.
آنچه که متداول است آن است که این دادههاي زمانی از طریق آزمایشهاي رندم - و نه آزمایشهاي دیگري چون آزمایش سینوسی یا ضربه - فراهم گردند. هر چند الگوریتمهاي کمترین مربعات خطا براي هر نوع تحریک قابلیت اجرا دارند اما تنها زمانی بهترین پاسخ فرکانسی خطی از آن حاصل میشود که از تحریک رندم در یک بازه فرکانسی به اندازه کافی وسیع استفاده شود. در مقاله حاضر دادههاي زمانی خروجی با اجراي روش رانگ-کوتا روي معادله دافینگ تحریک شده با سیگنال رندم به دست آمده است.
پس از تخمین پاسخهاي فرکانسی معادل خطی نوبت به تعیین پارامترهاي معادل خطی میرسد. از آنجا که پیش از این عملیات خطی سازي حین تخمین پاسخ فرکانسی کامل شده است کافی است در این مرحله براي شناسایی پارامترهاي معادل خطی از یکی از شیوههاي متداول آنالیز مودال سیستمهاي خطی در حوزه فرکانس استفاده شود. در این مقاله از روش انطباق دایره1 در فضاي نایکوئیست استفاده شده است. با اجراي این روش بر روي H1 و پاسخ فرکانسی حاصل از مدل ARMA فرآیند شناسایی تکمیل می- شود.
اعتبار نتایج شناسایی با مقایسه با نتایج روش خطی سازي آماري بررسی شده است. خطی سازي آماري یک روش تقریبی است که در آن میانگین مربعات خطاي نیروهاي الاستیک و استهلاك سیستم غیرخطی با یک سیستم خطی معادل در شرایط تحریک رندم و ایستا2 کمینه میگردد. در این روش پارامترهاي معادل خطی همزمان با تعیین بهینه یک معادله دیفرانسیل خطی به جاي معادله غیرخطی دافینگ تعیین میشوند.
از آنجا که این روش یک روش تحلیلی در محاسبه پارامترهاي معادل خطی است در تحقیق پیش رو به عنوان معیاري معتبر براي بررسی صحت پارامترهاي شناسایی شده در نظر گرفته شده است. در انتها دیده شده است که استفاده از مدل پیش فرض خطی ARMA در شناسایی استهلاك به روش انطباق دایره از به کار گیري تخمین H1 به مراتب بهتر بوده و بانتایج خطی سازي آماري تطابق بهتري دارد.
2. شبیه سازي آزمایش رندم
آزمایش رندم آزمایشی است که در آن سازه تحت اثر نیروي رندم مرتعش گردد. در اینجا سازه یک سیستم یک درجه آزادي با سختی درجه سه است. شکل - 1 - ساختار این سیستم را نشان میدهد. در شبیه سازي آزمایش رندم پس از تولید یک سیگنال رندم مناسب به عنوان نیروي تحریک - ورودي - ، تغییرمکان - خروجی - با حل عددي به روش رانگ-کوتا به دست میآید.
