بخشی از مقاله
چکیده
این مقاله شامل حل معادله حرارتی بافت زنده با بکارگیري معادله Klinger است که براي حل آن از تئوري اغتشاش و روش انتگرالگیري کرنل استفاده شده است. براي حل این معادله ابتدا براي دماي بافت با کمک تئوري اغتشاش توزیع چندجملهاي نوشته و سپس دوجمله اول این توزیع با روشهاي حل ریاضی مانند superposition، جداسازي متغیرها و انتگرالگیري کرنل محاسبه شده است. در این مسئله فرض شده که یک پروب به داخل بافت فرو رفته و دماي بافت را از طریق هدایت حرارتی افزایش خواهد داد. شرایط مرزي با توجه به فیزیک مسئله در هر مرحله تعریف شدهاند و براي هر معادله با توجه به شرایط مرزي آن ضرایب ثابت معادلات به صورت پارامتري بدست آمدهاند. در نهایت نتایج حل این معادله با روش اغتشاش با روش حل تحلیلی آن مقایسه شده است.
واژههاي کلیدي:معادله حرارتی، بافت زنده، معادله Klinger، تئوري اغتشاش
مقدمه
اولین بار معادله انتقال حرارت در بافت زنده توسط پنس در سال 1948 ارائه شد. پنس با بررسی روي بافتهاي نرم به این نتیجه رسید که دو حالت براي نوشتن معادلات حرارتی در بافت زنده میتوان در نظر گرفت. ابتدا میتوان فرض کرد دو سطح براي تبادل انرژي وجود دارد، یکی بافت و دیگري رگ. اما فرض دوم که کاملتر بود بر مبناي سه سطح انرژي قرار داشت، بافت زنده، سرخرگ و سیاهرگ.[1] براي حل هر کدام از انواع معادلات نیاز داریم فیزیک مسئله را بر مبناي مدل و شرایط مرزي تعریف کنیم. براي معادلات حرارتی که دو سطح انرژي را در نظر گرفتهاند و در این مقاله مورد بحث است، بسته به نوع بافت و دماي رسیده به بافت چهار حالت تعریف میشود.
بافتها یا نرم هستند یا استخوانی و دماهاي رسیده به بافت یا بسیار بالا هستند یا پایین. معادله پنس، براي بافت نرم و در دماهاي پایین نوشته شده است - معادله . - 1در سال 1974 ولف انتقال حرارت جابجایی در اثر جریان خون را نیز در معادله وارد کرد. بعد از او کلینگر در سال 1978 معادله را براي یک محیط متخلخل به صورت زیر بازنویسی کرد - معادله .[2] - 2که در آن زیروند s مربوط به بافت و زیروند f مربوط به خوب و زیروند m مشخص کننده متابولیسم درون بافت است که در اینجا ثابت فرض میشود. معادلات دیگري نیز بر پایه معادله پنس با فرضیات دیگري تعمیم یافتهاند.براي حل معادله پنس راهحلهاي متخلفی ارائه شده است.[3, 4]
هم از روشهاي تقریبی و هم از روشهاي تحلیلی براي حل این معادله کمک گرفته شده است.[5, 6] اما براي سایر معادلاتی چون معادله کلینگر ارائه راه حلهاي مختلف مشکلتر است زیرا با اضافه شدن ترم جابجایی ترم مشتق مرتبه اول نسبت به زمان نیز به معادله اضافه خواهد شد - معادله. - 2ما در این مقاله معادله کلینگر را با استفاده از تئوري اغتشاش حل کردیم که براي معادلات مشتق شده از این تئوري از روشهاي مختلف حل معادلات دیفرانسیل کمک گرفتیم. معادله کلینگر با این فرض نوشته شده که دماي بافت در ابتدا ثابت و برابر با دماي خون باشد. حرارت رسیده به بافت از طریق یک فلاکس حرارتی متناوب و متغیر با زمان میباشد. معادله نهایی دماي بافت به صورت تابعی از مکان و زمان و برخی پارامترهاي ثابت تعریف شده در معادله به دست میآید.
روش حل و نتایج
معادله - 1 - را با شرایط مرزي زیر در اختیار داریم:
در ابتدا براي حل طرفین معادله - 1 - را بر اعداد ثابت ترم سمت چپ تساوي تقسیم کرده و با فرض ثابت بودن سرعت در داخل بافت خواهیم داشت:
که در آن ترمهاي ساده شده به صورت زیر تعریف میشود:
با استفاده از تئوري اغتشاش بسط زیر براي دما پیشنهاد میشود:
در اینجا براي ادامه حل باید دو تغییر متغیر داد، فرض میشود ترم b0 به صورت مغشوش تعریف شود، علت این فرض این است که اثر سرعت ثابت روي دماي بافت اندکی تعدیل شود و فرض دوم همگنسازي شرایط مرزي براي ساده شدن حل معادله دیفرانسیل پارهاي است.با جایگذاري فرض - 9 - در معادله - 6 - و استفاده از بسط معادله - 8 - و جداسازي درجههاي مختلف ε داریم:
با استفاده از روش superposition داریم:
که با حل معادله و استفاده از شرایط مرزي براي φ - x - داریم:
ولی براي بدست آوردن تابع دوم باید از روش جداسازي متغیرها استفاده نمود. در نهایت با جایگذاري شرایط مرزي و حل معادله به جواب زیر خواهیم رسید:
براي حل این معادله چون جمله ناهمگنی معادله تابعی از مکان و زمان میباشد و عدد ثابت نیست از قاعده جداسازي متغیرها نمیتوان استفاده کرد. ما در اینجا از قاعده انتگرالگیري کرنل استفاده کردیم. در این روش ابتدا باید تابعی متعامد بر تابع اصلی تعریف کرد. براي این منظور ابتدا باید معادله دیفرانسیل اصلی را در فرم ساده شده حل کرد تا حدودي از پاسخ مسئله بدست آید. سپس با مشخص نمودن تابع متعامد یا تابع کرنل به صورت دقیق معادله دیفرانسیل را حل نمود. البته راه دیگر مشخص نمودن تابع کرنل با در نظر گرفتن شرایط مرزي است که آن را از برخی جداول میتوان استخراج کرد اما ممکن است چند تابع کرنل براي شرایط مرزي همسان وجود داشته باشد که امتحان کردن هر یک از آنها وقتگیر و مشکل است. ما در اینجا معادله دیفرانسیل را در حالت ساده کردیم و تابع کرنل حاصل را با استفاده از شرایط مرزي حساب نمودیم. در نهایت تابع کرنل را به صورت زیر معرفی میکنیم:
کرنل بدست آمده را در معادله دیفرانسیل - 15 - ضرب کرده و از پاسخ در بازه تعریف شده براي مکان نسبت به آن انتگرال میگیریم:
درنتیجه با به دست آمدن رابطه Ψ و Φجمله اول بسط دما به دست خواهد آمد.براي حل ترم دوم این بسط ابتدا لازم است معادله و شرایط مرزي آن را معرفی کنیم. با توجه به اینکه مرتبه ε در این معادله دیفرانسیل پارهاي یک میباشد داریم:
