مقاله درهمتنیدگی سه بخشی میدان بوزونی فراتر از تقریب تک مد در چارچوب شتابدار

بخشی از مقاله

چکیده
در این کار رفتار نگاتیویته به عنوان معیاري از درهمتنیدگی نسبت به شتاب ناظر شتاب دار در حالت سه بخشی GHZ ، بررسی شده است. نشان داده شده است که با کنار گذاشتن تقریب تک مد، در بعضی موارد در شتابهاي پایین درهمتنیدگی با افزایش شتاب افزایش می یابد؛ چیزي که در تقریب تک مد مشاهده نشده است.

مقدمه

یکی از مهمترین موضوعاتی که در حوزه اطلاع رسانی کوانتومی نسبیتی مورد مطالعه قرار می گیرد، درهمتنیدگی است.مطالعه درهمتنیدگی سیستمهاي دوبخشی بین دو مد از میدان آزادبوزونی نشان میدهد که با شتاب گرفتن یکی از ناظرهادرهمتنیدگی کاهش یافته و در حد شتاب بینهایت به سمت صفرمیل می کند .[1] درهمتنیدگی میدان فرمیونی نیز همانند میدانبوزونی است، یعنی با افزایش شتاب یکی از ناظرها، درهمتنیدگیکاهش می یابد، اما برخلاف میدان بوزونی، در حد شتاب بینهایت درهمتنیدگی به یک مقدار کمینه غیر صفر میل می کند .[2] اگر سه ناظر در ابتدا حالت GHZ را اشتراك گذاري کنندوسپس یکی از آنها شتاب بگیرد، درهمتنیدگی به طور پیوسته ازیک مقدار بیشینه در شتاب صفر کاهش یافته و به یک مقدار کمینه در شتاب بینهایت می رسد .[3]همهي مطالعات بالا با این فرض انجام شده است که آشکارسازناظرها تنها قادر به آشکار کردن تک مد فرکانسی مینکوفسکی می باشند، این فرض را تقریب تک مد می گویند.

در مرجع [4] نشان داده شده است که این تقریب فقط براي گروهنوع از حالتها باخاصی از بسته موجهاي مینکوفسکی مناسب است، از این رو درحالت کلی این تقریب مناسب نیست و باید کنار گذاشته شود.در این مقاله ما بدون استفاده از تقریب تک مد به بررسیدرهمتنیدگی سیستمهاي سه بخشی بوزونی پرداخته ایم. Alice و Bob ناظرهاي لخت هستند، Steven ناظري است که شتابدار می شود. در این مقاله نشان داده شده است که اگر نگاتیویته نسبت به ناظرهاي لخت محاسبه شود، - ماتریسهاي چگالی نسبت بههاآن ترانهاده جزئی شده باشند - ، با میل کردن شتاب به سمت بینهایت،نگاتیویته به مقدار ثابتی میل می کند؛ اما اگر نسبت به ناظر شتابدار محاسبه شود این مقدار ثابت برابر صفر است. در تقریب تک مدتنها یک منحنی براي بیان رفتار درهمتنیدگی برحسب شتاب ناظروجود دارد و حال آنکه با کنار گذاشتن این تقریب با دسته اي ازاین نوع منحنیها مواجهیم که تنها رفتار مشترك آنها، همان است که بیان شد.

فرمول بندي کلی

چون ما از درهمتنیدگی بین ناظرهاي لخت و غیر لخت صحبت می کنیم، پاسخهاي معادله کلاین-گوردون از منظر هر دو ناظرلازم است. مختصات لازم براي توصیف مشاهدات ناظرهاي لخت
و غیر لخت، به ترتیب مختصات مینکوفسکی و ریندرلی هستند.این پاسخها پایه کاملی را براي بسط میدان دلخواه فراهم می کنند. براي آنکه بتوانیم همهي فضا-زمان مینکوفسکی را به کمک مختصات ریندرلی توصیف کنیم به هر دو ناحیه ریندرلی نیازمندیم. چون این دو ناحیه از لحاظعلّی از یکدیگر منقطع هستند، ناظر شتابدار تنها به یکی از این دوناحیه دسترسی دارد.هنگامی که از ناحیه I ریندرلی به ناحیه II ریندرلی حرکت می کنیم پایههاي ریندرلی در این گذار روتحلیلی نیستند [6]، از این پایههاي سومی به نام پایههاي آنرو تعریف می شود که در کل فضا تحلیلی هستند و بسامد آنها با بسامد پایههاي ریندرلی یکی است شتابدار می باشد. مانند پایههاي قبل می توان یک میدان دلخواه را برحسب پایههاي آنرو بسط داد، اگر رابطه - 1 - را در این بسط قراردهیم، و با بسط میدان بر حسب پایههاي ریندرلی مقایسه کنیم خواهیم داشت:

در رابطه فوق به ترتیب aI  و aII  عملگرهاي نابودي مربوط به نواحی I و II ریندرلی، AR  و AL  عملگرهاي نابودي آنرو راست وچپ می باشند. در نظریه میدانها ضرایب بسط عملگراند.حالت خلا مینکوفسکی با حالت خلا آنرو برابر است 4]و،[6در حالی که از رابطه - 2 - پیداست که این دو حالت خلا با حالت خلا ریندرلی برابر نیستند. از این رو می توان حالت خلا آنرو رابرحسب حالتهاي    برانگیخته ریندرلی، باتوجه به آنکه بایدهمان طور که قبلا گفته شد هر عملگر نابودي راست و چپ آنرو به تنهایی برابر با یک ترکیب خطی از عملگرهاي نابودي مینکوفسکی است، از این رو تبدیل فوریه بیان فوق را می توان این گونه بیان کرد: یک برهم نهی از عملگرهاي خلق مینکوفسکی با تابع توزیع h برابر با یک برهم نهی خطی از عملگرهاي خلقراست و چپ آنرو با توابع توزیع WRو    WL است،مسئله را با این فرض ادامه می دهیم که آشکار ساز ناظر شتابدار تنها به یک تک مد آنرو حساس باشد، از این رو مناسب است که توابع توزیع عملگرهاي خلق راست وچپ آنرو را به کمک تابع دلتاي دیراك بیان کنیم:

qL اعداد مختلط اند. با جایگذاري این توابع توزیع در رابطه - 4 - خواهیم داشت:aU † را عملگر خلق عمومی آنرو تحت شرط تک فرکانس آنرومینامیم. از شرط بهنجارش خواهیم داشت . qR 2  qL 2 1 اکنون می توان با اثر دادن عملگر خلق آنرو بر روي حالت خلاآنرو، اولین حالت برانگیخته آنرو را محاسبه کرد:فرض می کنیم آشکارسازهاي Alice و Bob به ترتیب به تک مد فرکانسی مینکوفسکی     و '  و آشکارساز Steven به تک مد فرکانسی آنرو ، حساس باشند؛ از این رو می توان حالتGHZ را به صورت زیر نوشت: که در آن اندیسهاي M و U اشاره به مینکوفسکی و آنرو بودن حالتها دارد. وقتی Steven شتاب بگیرد به جاي حالت خلا و تک ذره آنرو در رابطه فوق از روابط - 3 - و - 6 - استفاده می شود.

اگرفرض کنیم Steven به ناحیه I ریندرلی دسترسیاین دارد - در صورت antiSteven به ناحیه II ریندرلی دسترسیاز دارد - ، بایدعملگر چگالی  GHZ  ABI ,II GHZ  نسبت به حالت II n ،عمل ردگیري انجام شود؛ در این صورت عملگر چگالی متناظر باAlice، Bobو Steven برابر است با اگر نسبت به حالت I n ، عمل ردگیري انجام شود، عملگر چگالی متناظر با Alice، Bob و antiSteven بدستیعنیABSمیبیانگرآید - antiSteven S است - .معیار نگاتیویته به صورت جمع ویژه مقادیر منفی ماتریس چگالی که به طور جزئی ترانهاده شده تعریف می شود. بیشینه مقدار نگاتیویته برابر 12 است که در اینجا ما مقدار نگاتیویته را در2 ضرب می کنیم تا بیشینه این معیار 1 شود.براي آنکه عملگر چگالی که به طور جزئی نسبت به Alice ترانهاده شده را بدست آوریم کافی است عدد اشغال مربوط بهحالت Alice را در هر جمله از عملگر چگالی رابطه - 7 - با هم عوض کنیم، یعنی از این رو خواهیم داشت: