مقاله تأثیر برهم کنش بین همسایه های دوم بر روی رفتار دینامیکی درهمتنیدگی در یک سیستم کوانتومی

بخشی از مقاله

چکیده

کار حاضر به بررسی رفتار وابسته به زمان درهمتنیدگی در یک سیستم کوانتومی چهار کیوبیتی میپردازد. در این سیستم، برهم کنش بین همسایههاي دوم به عنوان پارامتر کنترل، رفتار وابسته به زمان درهمتنیدگی را تعیین میکند. شرایط انتقال درهمتنیدگی در این سیستم مطالعه شده و مشاهده شده است که براي دو مقدار خاص از پارامتر کنترل و در زمانهاي ویژهاي، انتقال درهمتنیدگی از کیوبیتهاي درهمتنیده اول و دوم به کیوبیتهاي غیردرهمتنیده سوم و چهارم رخ می دهد.

مقدمه

درهمتنیدگی بعنوان یک همبستگی غیر موضعی خاص، از سالهاي ابتدایی تولد کوانتوم مکانیک کوانتومی مطرح شد. در سالهاي اخیر نیز، درهمتنیدگی، بعنوان نقطه کلیدي نظریه اطلاعات کوانتومی شناخته شده است. براي یک سیستم درهمتنیده، بردار حالت کل سیستم نمیتواند به صورت حاصلضرب بردارهاي حالت زیرسیستمها نوشته شود. بنابراین زیرسیستمها دیگر، مستقل از یکدیگر نیستند و اندازهگیري بر روي یک زیرسیستم میتواند اطلاعاتی راجع به زیر سیستمهاي دیگر را نیز در اختیار قرار دهد. اگر یک سیستم را که داراي چهار کیوبیت است در نظر بگیریم بنابراین کیوبیتهاي یک و دو در حالت کوانتومی زیر - که یکی از حالتهاي بل است - املاًک درهمتنیده هستند.                              

اگر در این سیستم، ذرات سوم و چهارم در همتنیده نباشند - در یک حالت جداپذیر 3 4   oo باشند - بنابراین حالت کل سیستم چهارکیوبیتی مورد نظر را می توان به صورت زیر نوشت:                                                                 

سیستم چهارکیوبیتی میتواند یک زنجیره اسپینی بوده که بین کیوبیتهاي آن برهم کنش هایزنبرگ وجود داشتهباشد. زنجیرههاي اسپینی با برهمکنش هایزنبرگ در ساخت و پیکربندي کامپیوترهاي کوانتومی نقش مهمی را ایفا میکنند.

در کار حاضر، علاوه بر در نظر گرفتن برهمکنشهاي هایزنبرگ بین همسایههاي اول که داراي قدرت برهم کنشی J1 هستند، بین همسایههاي دوم نیز برهمکنش هایزنبرگ با قدرت برهمکنشی J2 در نظر گرفته شدهاست. بدین طریق به مدل تعمیم یافته J1  J 2 [1] خواهیم رسید. همچنین براي قیاس بهتر بین برهم کنشهاي J1و J 2    ضریب فرستریشن     را به صورت   J2 / J1  تعریف    نموده و ضریب J1  را با    J نمایش میدهیم. که هامیلتونی این    سیستم کوانتومی را میتوان به صورت زیر نوشت:    
در هامیلتونی بالا شرایط دورهاي پیوسته فقط براي برهمکنشهاي نزدیکترین همسایه ها در نظر گرفته شدهاست و جهت جلوگیري از دوبار تکرار شدن برهم کنشهاي ناشی از دومین همسایهها، شرایط دورهاي پیوسته براي آنها در نظر گرفته نشدهاست.

سوالی که در اینجا بدنبال جواب آن هستیم این است: که اگر یک سیستم شامل چهارکیوبیتی با هامیلتونی معادله - 3 - تعریف گردد و حالت اولیه آن در لحظه t  0 به صورت معادله - 2 - باشد، آیا ذرات سوم و چهارم شانس درهم تنیده شدن را در زمانهاي سپري شده دارند یا خیر؟! و اگر جواب مثبت باشد این زمانها به چه عواملی بستگی دارند؟!

تابع کانکیورنس : - concurrence - معیار درهمتنیدگی

کانکیورنس و متناظر آن درهمتنیدگی تشکیل، ابزاري هستند به منظور تعیین میزان درهمتنیدگی بین دو کیوبیت در یک سیستم کوانتومی که توسط ووتر و همکارانش پیشنهاد گردید.[2, 3] اگر یک سیستم کوانتومی را در نظر بگیریم، حالت کوانتومی این سیستم را می توان با ماتریس چگالی  نمایش داد. اگر تریس یا رد ماتریس را که بعنوان مجموع عناصر روي قطر یک ماتریس است در نظر بگیریم می توان با رد گرفتن از ماتریس چگالی سیستم کوانتومی نسبت به حالتهاي کوانتومی همه اجزا به جز کیوبیتهاي j و k ، به ماتریس کاهش یافته مربوط به کیوبیتهاي j و k دست پیدا کرد که به صورت معادله - 4 - نشان داده میشود.

ووتر و همکارانش، تابع کانکیورنس را با رابطه پیشنهاد دادند که در این رابطه    r ها برابر با ریشه دوم ویژه مقادیر  ماتریس    R در رابطه زیر هستند. - 1 ریشه دوم بزرگترین ویژه    مقدار ماتریس R است. -             
در این    رابطه   -  * - k , j  مزدوج مختلط    ماتریس کاهش یافته     - k , j - بوده و  y ماتریس پائولی مربوط به جهت y است. بنا به تعریف، 0<C - k , j - <1 بدین معنی است که کیوبیتهاي j و k به صورت جزئی درهمتنیده هستند. C - k , j -  1، مطابق با حالت کوانتومی با بیشترین درهمتنیدگی بین کیوبیتهاي j و k بوده و C - k , j -  0 یک حالت کوانتومی با عدم درهمتنیدگی کیوبیتهاي j و k است. اگر ماتریس چگالی ناشی از بردار حالت تحول یافته در زمان t باشد، آنگاه تابع کانکیورنس به دست آمده از رابطه - 5 - بر حسب زمان به دست خواهد آمد.

براي سیستم در نظر گرفته شده در کار حاضر، اگر نمایش حالت سیستم در لحظه t  0 با معادله - 2 - بیان گردد بردار حالت تحولیافته این سیستم کوانتومی در زمان t به صورت زیر است:                                                          

با استفاده از این معادله، ماتریس چگالی سیستم که وابسته به زمان است به دست آمده و سپس ماتریس چگالی کاهش یافته قابل محاسبه خواهد بود. سپس میتوان تابع کانکیورنس را از رابطه - 5 - بهدست آورد. نتایج به دست آمده از محاسبات در نمودارهاي - - 1 - - a - تا - c - - - 1 - براي تایع کانکیورنس بین جفتهاي مختلف زنجیره آورده شدهاست. همچنانکه در شکل - a - - - 1 - دیده میشود، در زمان اولیه، جفتهاي اول و دوم کاملا درهمتنیده هستند - کانکیورنس در t  0 برابر یک است - که از معادله - 2 - چنین انتظاري هم داریم. همچنین نمودارهاي - b - - - 1 - و - c - - - 1 - نشان میدهند که کانکیورنس بین جفت اول و سوم و جفت سوم و چهارم در لحظه اولیه برابر صفر است که گویاي عدم وجود درهمتنیدگی بین این جفتها در t  0 است.با سپري شدن زمان، بسته به مقدار  ، تابع کانکیورنس در طول زمان مقادیر متفاوتی را تجربه می کند. اما آیا شرایطی وجود دارد که در آن، درهمتنیدگی کیوبیتهاي اول و دوم، به کیوبیتهاي سوم و چهارم منتقل گردد [4] ؟! این بدین معناست که کانکیورنس بین جفت سوم و چهارم مقدار یک را به خود بگیرد و بین جفتهاي دیگه صفر گردد. در این صورت گفته میشود که درهمتنیدگی منتقل شده است. مقایسه بین شکلهاي - a - - - 1 - ، - b - و - c - ، نشان میدهد که چنین شرایطی براي مقادیر   0.5 و   1.5، رخ میدهد. به منظور روشن شدن جزئیات، نمودارهاي شکل - 2 - رسم شدهاند.
شکل - 1 - درهمتنیدگی بین جفتهاي مختلف. - a - مربوط به جفتهاي اول و دوم، - b - مربوط به جفتهاي سوم و چهارم، - c - مربوط به جفت اول و سوم.