مقاله در مورد توزیع نرمال

word قابل ویرایش
23 صفحه
8700 تومان
87,000 ریال – خرید و دانلود

توزیع نرمال، که ممکن است بعضی از خوانندگان، نمودار آن را به عنوان منحنی زنگدیس بشناسند، گاهی با نامهای پیرلاپلاس و کارس گاوس، که در تاریخ پیدایش آن نقش چشمگیر داشته اند، همراه است. گاوس توزیع نرمال را با روش ریاضی به عنوان توزیع احتمال خطای اندازه گیریها به دست آورد و آن را «قانون نرمال خطاها» نامید.بعداً منجمین، فیزیکدانها، و کمی بعد از آن، کسانی که در بسیاری از رشته ها داده‌ها را گردآوری می کردند، دریافتند که بافت نگارهای این داده ها

دارای این خصوصیت مشترک هستند که ارتفاع مستطیلها ابتدا بتدریج به یک مقدار بیشینه صعود می کنند و سپس به طور متقارن کاهش می یابند. هرچه منحنی نرمال تنها منحی نیست ست می دهد. زمانی در جریان مراحل اولیه تکامل آمار، چنین احساس می‌شد که داده های مربوط به هر پدیده واقعی باید مطاق با منحنی نرمال زنگدیس باشند و در غیر این صورت می باید نسبت به فرایند جمع آوری داده ها مشکوک بود. از اینجاست که این توزیع به نام توزیع نرمال معروف شده است. لکن بررسی دقیق داده ها در اغلب موارد، نارسایی توزیع نرمال را آشکار ساخته است. لکن بررسی دقیق و در حقیقت، عمومیت توزیع نرمال افسانه ای بیش نیست، و مثالهای توزیع های غیر‌نرمال در هر یک از قلمروهای تحقیقات، فراوان اند. با وجود این، توزیع نرمال نقشی اساسی در آمار بازی می کند، و روشهای استنباطی که از آن به دست می آیند، دارای قلمرو کاربرد وسیعی هستند و ستون فقرات روشهای جاری تجزیه و تحلیل آماری را تشکیل می دهند.

هرچند در اینجا صحبت از اهمیت توزیع نرمال است، ولی بحث ما در واقع به رده وسیعی از توزیعها که دارای چگالی زنگدیس اند، مربوط می شود. هر توزیع نرمال به وسیله مقدار میانگین آن، ، و انحراف معیار آن، ، به طور کامل مشخص می شود؛ این مقادیر در فرمول تابع چگالی احتمال ظاهر می شوند.
توزیع نرمال دارای چگالی زنگدیس زیر است:

که در آن، میانگین و انحراف معیار است.
احتمال فاصله ای که به اندازه
یک انحراف معیار در هر طرف میانگین امتداد دارد برابر است با

دو انحراف معیار در هر طرف میانگین امتداد دارد برابر است با

در فرمول تابع چگالی احتمال، مساحت دایره ای است به شعاع واحد، که به طور تقریبی ۱۴۱۶ر۳ است و e تقریباً ۷۱۸۳ر۲٫ است فرمول خاص منحنی نرمال برای ما مهم نیست، اما توجه به بعضی از جزئیات آن لازم است. منحنی در اطراف میانگینش که نوک زنگ را مشخص می کند. متقارن است. فاصله ای به اندازه یک انحراف معیار در هر طرف دارای احتمال ۶۸۳ر۰، فاصله از تا دارای احتمال ۹۵۴ر۰، و فاصله از تا دارای احتمال ۹۹۷ر۰ هستند.

منحنی هرگز و به ازای هیچ مقدار x به صفر نمی رسد، ولی به خاطر اینکه مساحت سطوح انتهایی خارج از فاصله خیلی کوچک اند، معمولاً نمایش هندسی را در دو سر این فاصله پایان می دهیم.

نمادگذاری
توزیع نرمال با میانگین و انحراف معیار به صورت نشان داده می شود.
با تفسیر پارامترها، می توان در شکل ۷-۵ دید که تغییر میانگین از به یک مقدار بزرگتر ، صرفاً منحنی زنگدیس را در امتداد محور طولها تا استقرار مرکز جدید در ، منتقل می نماید و تغییری در شکل منحی به وجود نمی آورد.
تغییر مقدار انحراف معیار، منجر به تغییر نقطه بیشینه منحنی و تغییر مقدار مساحت در هر فاصله ثابت حول (شکل ۷-۶ را ببینید) می شود. اگر فقط تغییر کند، مکان مرکز تغییر نمی کند.
توزیع نرمال خاصی که دارای میانگین صفر و انحراف معیار یک است توزیع نرمال استاندارد نامیده می شود. میانگین و واریانس این توزیع با میانگین و واریانس متغیر استاندارد شده که در بخش ۴-۴ تعریف شد، تطبیق می کنند. مرسوم است که متغیر نرمال استاندارد را با Z نمایش دهند. منحنی نرمال استاندارد در شکل ۷-۷ نشان داده شده است.

توزیع نرمال استاندارد، دارای یک منحنی زنگدیس با:
(میانگین)
(انحراف معیار) است. توزیع نرمال استاندارد به صورت (۱،۰)N نشان داده می شود.
۷-۲-۱-استفاده از جدول نرمال (جدول ۴ پیوست)
جدول نرمال استاندارد در پیوست کتاب، مساحت واقع در سمت چپ هر مقدار مشخص Z را ارائه می دهد:
مساحت زیر زمینی در سمت چپ

برای احتمال یک فاصله [a,b]
]مساحت سمت چپ[a – ] مساحت سمت چپ [b=
خواص زیر را می توان از روی خاصیت تقارن تابع چگالی حول صفر به دست آورد.
این مطلب در شکل ۷-۸ نشان داده شده است:

الف)
ب)

ج)اگر z>0 داریم

خاصیت (ج) برای استفاده از جدولهای نرمال دیگری لازم است که فقط احتمالهای را می دهند.
مثال ۷-۱ و را پیدا کنید.
با توجه به جدول ۴ پیوست، می دانیم که احتمال یا مساحت واقع در سمت چپ ۵۲ر۱ برابر یا ۹۳۵۷ر۰ است. در نتیجه ، ۹۳۵۷ر۰ . بعلاوه، چون متمم است، همان طور که در شکل ۷-۹ می توان دید، داریم

روش دیگر این است که از خاصیت تقارن برای اثبات تساوی

استفاده کنیم، که احتمال اخیر به طور مستقیم از جدول ۴ پیوست به دست می آید.
مثال ۷-۲ را محاسبه کنید.
همان طور که در شکل ۷-۱۰ می توان دید، با استفاده از جدول ۴ پیوست داریم.
۹۴۵۲ر۰=مساحت واقع در سمت چپ
۴۴۰۴ر۰=مساحت واقع در سمت چپ ۱۵ر۰

بنابراین

مثال ۷-۳ یا را پیدا کنید.
دو پیشامد و جدا از هم هستند، بنابراین احتمالهای آنها را با هم جمع می کنیم:
یا

، همان طور که در شکل ۷-۱۱ نشان داده شده، مساحت واقع در سمت راست ۱ر۲ می باشد، که برابر است با یک منهای مساحت واقع در سمت چپ ۱ر۲، که مساوی است با ۰۱۷۹ر۰=۹۸۲۱ر۰-۱٫جدول ۴ پیوست، مقدار را بطور مستقیم می دهد. با جمع کردن این دو کمیت، داریم
یا

مثال ۷-۴ مقدار z را پیدا کنید به طوری که در صدق کند. با استفاده از این خاصیت که مساحت کل برابر با یک است، مساحت واقع در سمت چپ zباید برابر ۹۷۵۰ر۰=۰۲۵۰ر۰-۱ باشد. مقدار کناری برای درایه ۹۷۵۰ر۰ از جدول برابر یا ۹۶ر۱=z است.
مثال ۷-۵- مقدار ۰z> را به دست آورید هرگاه . با توجه به تقارن منحنی داریم:

در جدول ۴ پیوست، می بینیم که ۶۵ر۱=z منجر به و ۶۴ر۱=z به می شود. چون ۵۰ر۰ وسط دو مقدار احتمال فوق است، با درون یابی بین این دو مقدار، ۶۴۵ر۱=z را به دست می آوریم.

مثالهای قبلی، سومندی نموداری را که سطح زیر منحنی نرمال استاندارد را نمایش دهد، آشکار می سازد. یک نمودار صحیح نشان می دهد که چگونه می توان مساحت سطوح واقع در سمت چپ مقادیر مشخص z در جدول نرمال را ترکیب کرد.
خوشبختانه، برای محاسبات مربوط به توزیع های نرمال جداول دیگری لازم نیست. توزیع نرمال این خاصیت را دارد که اگر X دارای توزیع باشد؛متغیر استاندارد شده

دارای توزیع نرمال استاندار خواهد بود. بنابراین، در حالت کلی می توان احتمالهای فواصل را با کم کردن میانگین و سپس تقسیم بر انحراف معیار، به توزیع نرمال استاندارد مربوط کرد.
اگر X دارای توزیع باشد، آنگاه دارای توزیع خواهد بود. بنابراین:

که در آن، احتمالهای مربوط به Z از جدول نرمال استاندارد به دست می آیند.
دلایل درستی این روابط در زیر می آید. این پیشامد که X کوچکتر از b باشد، همان پیشامد است، و این مقادیر X همان مقادیری هستند که به ازای آنها داریم حال توجه کنید که ، اشتراک و یا، به عبارت دیگر، اشتراک و است. این اشتراک عبارت است از:

پیشامد اخیر بر حسب متغیر نرمال استاندارد بیان شده است. مقادیر Z در این حالت و هستند.
مثال ۷-۶ در صورتی که X دارای توزیع باشد، و را محاسبه کنیم.
در اینجا و ، بنابراین عدد ۱ را از طرفین کم می کنیم و سپس حاصل را بر ۴ تقسیم می نماییم.

مثال ۷-۷بعد از یک دوره کارآموزی، توزیع نمره های امتحانی مربوط به این
دوره، تقریباً (۲،۱۴)N است. اگر قرار باشد آنهایی که نمره زیر ۱۱ می آورند دوباره کارآموزی ببینند، چند درصد از آنها دوره کارآموزی را دوباره خواهند دید؟
این درصد برابر با خاصلضرب ۱۰۰ در نسبت نمره های زیر ۱۱ می باشد. این نسبت برابر است با احتمال اینکه نمره ای کمتر از ۱۱ باشد، یا

بنابراین درصد کار آموزانی که دوباره دوره کارآوزی را خواهند دید، برابر است با .
توزیع نرمال برای هر کاربرد بخصوصی تنها یک مدل مجرد به شمار می رود، درست همان طور که خط مستقیم مدلی برای اضلاع یا ساختمان یا مقطعی از یک بزرگراه است. این مدل به نمره های منفی. مثل نمره های خیلی بزرگ مثبت، مقادیر مثبتی را به عنوان احتمال نسبت می دهد. این امر دقیقاً بدان دلیل است که این احتمالها اغلب خیلی کوچک هستند به طوری که توزیع می تواند حتی برای متغیرهایی که به دامنه ای از مقادیر مثبت محدودند مدل واقع بینانه ای به دست دهد.

این فقط قسمتی از متن مقاله است . جهت دریافت کل متن مقاله ، لطفا آن را خریداری نمایید
word قابل ویرایش - قیمت 8700 تومان در 23 صفحه
87,000 ریال – خرید و دانلود
سایر مقالات موجود در این موضوع
دیدگاه خود را مطرح فرمایید . وظیفه ماست که به سوالات شما پاسخ دهیم

پاسخ دیدگاه شما ایمیل خواهد شد