بخشی از مقاله
خلاصه
با وجود کارآمدی روشهای موجود در تحلیل قابلیت اطمینان کلاسیک، در عمل با وضعیتهایی مواجه میشویم که در آنها عدم اطمینان در شرایط و اطلاعات مسئله حکمفرماست. بنابراین ضروری بهنظر میرسد تا روشهایی برای تحلیل قابلیت اطمینان سیستمها در شرایط نادقیق مورد مطالعه قرار گیرد. از طرفی دیگر در برخی از موارد امکان بکارگیری اطلاعات پیشین راجع به برخی پارامترهای مورد بررسی در تحلیل قابلیت اطمینان وجود دارد که استفاده از آنها سبب خواهد شد تا تحلیل دقیقتری از قابلیت اطمینان سیستم ارائه گردد. در این مقاله به بررسی قابلیت اطمینان بیزی سیستمهایی خواهیم پرداخت که نرخ خرابی مولفههای آنها با یکدیگر متفاوت میباشند.
کلمات کلیدی: عدد فازی، نرخ خرابی، تابع قابلیت اطمینان فازی، برآوردگر بیز، برش
.1 مقدمه
تحلیل قابلیت اطمینان کلاسیک سیستم ها در حالت کلی بر دو فرض اصلی استوار است. نخست، فرض دودویی که بر اساس آن سیستم همواره در دو وضعیت کاملا فعال و کاملا غیرفعال مشغول فعالیت است. دوم فرض احتمالی است که بر اساس آن توزیع طول عمر اجزای سیستم بر اساس الگوهای احتمالی که عمدتا مبتنی بر فراوانی هستند، تعیین میشوند. بنابراین، برای برآورد دقیق قابلیت اطمینان سیستم و مفاهیم مرتبط با آن، نیازمند جمع آوری دادههای زیاد از منابع مختلف میباشیم. اما گاهی جمعآوری دادهها و یا حتی مطالعه دادههایی که از قبل گردآوری شدهاند بهطور دقیق امکانپذیر نبوده و با عدم اطمینان همراه است. در چنین وضعیتهایی استفاده از نتایج بهدست آمده که بر اساس فرضهای کلاسیک ذکر شده بهدست آمدهاند، تحلیلی نادرست از وضعیت واقعی سیستم تحت مطالعه را ارائه خواهد کرد. بنابراین در چنین شرایطی نیازمند توسعه روشهای کلاسیک جهت تجزیه و تحلیل سیستمهای تحت بررسی می باشیم.
استفاده از روشهای فازی برای تجزیه و تحلیل سیستمها را اولین بار کافمن پیشنهاد نمود. مطالعات اصلی در مورد بهکارگیری روشهای فازی در تحلیل قابلیت اعتماد از دهه ی 80 میلادی به بعد شکل گرفت و از آن زمان تاکنون محققین بسیاری توجه خود را معطوف به مطالعه قابلیت اطمینان سیستمها در محیط فازی کردهاند - برای مطالعه مهمترین رویکردهای موجود خواننده میتواند به [1] رجوع کند - . فیتل و گورکر [2] ضمن بررسی دادههای طول عمر فازی برای نخستین بار روشهایی برای برآورد تابع قابلیت اعتماد سیستم بر پایه این دادهها ارائه کردند. آنها همچنین مفهوم تابع قابلیت اعتماد تجربی و روشهای برآورد قابلیت اعتمادبیزی را برای حالتی که دادههای طول عمر فازی هستند، مورد مطالعه قرار دادند. وو، از احتمال فازی برای مطالعه قابلیت اعتماد سیستمها استفاده کرد. وی همچنین رهیافت بیزی برای قابلیت اعتماد سیستمها را در محیط فازی پیشنهاد نمود .[3] در این رهیافت، پارامترهای فازی بهعنوان متغیرهای تصادفی فازی با تابع توزیعهای پیشین در نظر گرفته شده اند.
بهعلاوه، هوانگ وهمکاران [4]، رهیافت بیزی را برای تحلیل دادههای طول عمر فازی مورد مطالعه قرار دادند با این وجود در بسیاری از مطالعات انجام شده در زمینه قابلیت اطمینان فازی سیستمها - در هر دو رویکرد کلاسیک و بیز - براساس رویکرد حساب بازهای،فرض بر این است که اعداد فازی بهکارگرفته شده همگی از یک نوع باشند. اگرچه این رویکرد در مورد برخی از سیستمها کارآمد است، اما نمونههای فراوانی میتوان یافت که درآنها احتمالهای کارکرد مولفهها متفاوت بوده و بنابراین ضروری است که از اعداد فازی متفاوت برای صورتبندی آنها استفاده کرد. علاوه بر آن، در راستای استفاده از رویکرد بیزی، نرخ خرابی فازی هر یک از مولفهها بهعنوان متغیرهای تصادفی فازی با توزیعهای پیشین فازی در نظر گرفته خواهند شد. سپس بر اساس برآوردگرهای بیز نقطهای نرخ خرابی فازی، قابلیت اطمینان سیستمها در شرایطی که از اعداد فازی مختلف برای مدل بندی عدم اطمینان نرخ خرابی مولفه های آنها استفاده شده است را مورد بحث و بررسی قرار میدهیم.
.2 تابع قابلیت اطمینان فازی
فرض کنید ... X n X X1 حاصلضرب دکارتی فضاهای مرجع X1,..., X n و Ai1 , ... , Ain به ترتیب مجموعه های فازی از این فضاهای مرجع باشند.برش مرتبط با توابع عضویت و را با نماد Aij نشان داده و به صورت x jL , x jU Aij تعریف میکنیم.اکنون، در راستای تعریف مسئله تحت بررسی در این مطالعه، تابع Y : X را در نظر بگیرید به طوریکه برای هر X x1,..., xn داشته
باشیم x1,..., xn . y هدف به دست آوردن تابع عضویت عدد فازی Y y ; y y, Bi Bi است که با تاثیر تابع برمجموعه X ایجادشده است. برای تعیین کمیت Bi نیازمند به دست آوردن تابع عضویت این کمیت فازی هستیم. با توجه به ماهیت Bi و براساس اصل گسترش برای مجموعه های فازی ، تابع عضویت Bi بهصورت زیر تعریف می شودبا تعریف y L , yU - x1 , ..., xn - : x j Aij Bi که در آن y L و y U به ترتیب مقادیر مینیمم و ماکسیمم کلی تابع روی تمام مجموعه های Aij می باشند، مسئله به محاسبه y L و y U تبدیل میشود. برای محاسبه این دو کمیت نیازمند حل برنامهریزی غیرخطی بهصورت زیر خواهیم بود [5]
پس از حل مسائل برنامه ریزی غیرخطی بالا با استفاده از نرم افزار LINGO، برای هر، برشهای مجموعه فازی Bi برای هر 0,1 قابل محاسبهمیباشند.رابطه تابع قابلیت اطمینان سیستم بر حسب زمان با نرخ خرابی را میتوان بهصورت زیر بیان کردکه در آن h - t - تابع نرخ خرابی در لحظه t می باشد.با فرض این که تابع نرخ خرابی مقداری ثابت مانند h باشد، در اینصورت میتوان نوشت بنابر رابطه - 1 - ، در صورتی که مقدار نرخ خرابی کمیتی دارای ابهام باشد، تابع قابلیت اطمینان سیستم نیز دارای ابهام خواهد بود. دراین مطالعه فرض میکنیم که تابع نرخ خرابی سیستم مقداری نادقیق است که آنرا بهوسیله یک مجموعه فازی - در ادامه یک عدد فازی - مدل بندی کرده و با استفاده از مبانی این نظریه آن را مورد بحث و بررسی قرار میدهیم.
فرض کنید تابع نرخ خرابی فازی را بهصورت مجموعه فازی بهصورتX ; x H i x x, H i تعریف کنیم. در اینصورت برشهایاین مجموعه فازی به صورت 0,1 , x H i x : H i میباشند. علاوه بر آن، در صورتی که H i یک عدد فازی درنظر گرفته شود، داریم .اکنون فرض کنید تابع قابلیت اطمینان نادقیق سیستم را در قالب مجموعه فازی با تعریف U : u u, r i - t - u r i - t - صورتبندی کنیم.در اینصورت برشهای تابع عضویت r i - t - بهصورت - r L - t - , rU - t r i - t - بهدست میآیندکه حال با توجه به رابطه بهدست آمده و رابطه بین تابع قابلیت اطمینان و تابع نرخ خرابی، برشهای r i - t - بهصورت e hU t , e hLt r i - t - می باشند.
.3 تحلیل قابلیت اطمینان فازی سیستم های دارای مولفه های با نرخ خرابی متفاوت
در این بخش براساس تعاریفی که برای تابع قابلیت اطمینان فازی براساس تابع نرخ خرابی دربخش2 ارائه شد، قصد داریم تا به تجزیه و تحلیل قابلیت اطمینان سیستمهایی بپردازیم که مولفه های تشکیل دهنده آنها دارای نرخ خرابیهای متفاوت و نادقیق هستند که برای مدلبندی آنها از اعداد فازی متفاوت استفاده شده است.یک سیستم سری دارای n مولفه را در نظر بگیرید. فرض کنید نرخ خرابی و قابلیت اطمینان مولفههای آن مقادیری نادقیق هستند که آنها را به ترتیب بااعداد فازی in1i ,..., و r1i ,..., rni نشان می دهیم. در اینصورت با توجه به تعریف قابلیت اطمینان سیستمهای سری میتوان نوشت از طرفی با توجه به رابطه - 1 - داریم که بنابراین قابلیت اطمینان سیستم درحالت سری بهصورت زیر بهدست میآید که در آن ij n in - - 1i ,..., si نرخ خرابی کل سیستم میباشد. در ادامه برای تعیین میزان عضویت هر عنصر در این مجموعه فازی از رویکردبرش استفاده میکنیم. برش تابع عضویت si برای هر 0,1 به صورت U L i تعریف میشود. اکنون میتوانیم برای تعیین مقادیر عضویت از رویکرد مسائل برنامهریزی غیرخطی استفاده کنیم. به این منظور با استفاده از برش های بهدست آمده مسئله را بهصورت برنامهریزی غیرخطی زیر بیان میکنیم
