بخشی از مقاله
کلید واژهها: مسیر رشد ترك، مکانیک شکست، جملات مرتبه بالاي سري تنش، المان محدود، سنگ.
چکیده
سنگ که به عنوان ماده اصلی موجود در معادن، سدها، چاههاي نفت و گاز و بسیاري دیگر از سازههاي مهندسی مورد مطالعه محققین است، ساختاري شکننده دارد. این شکنندگی ناشی از وجود ریز تركهاي فراوان در سنگ میباشد که تحت اثر بارگذاريهاي مختلف همانند زلزله، شروع به رشد میکنند و باعث خرابی سازههاي مهندسی و تحمیل هزینههاي سنگین میشوند. لذا میتوان با پیشبینی مسیر رشد ترك از خرابیهاي احتمالی جلوگیري کرد. در این مقاله به بررسی مسیر رشد ترك در سنگ در حالت مود II خالص پرداخته شدهاست. براي تخمین مسیر رشد ترك از معیار بیشنه تنش محیطی با در نظر گرفتن جملات مرتبه بالاتر بسط سري تنش استفاده شدهاست. در انتها نیز مسیر رشد ترك با استفاده از معیارهاي متفاوت بررسی شده و میزان تاثیر جملات مرتبه بالاتر بسط سري تنش در تخمین مسیر رشد ترك نشان داده شده است.
مقدمه
زلزله به عنوان یک نوع بارگذاري میتواند باعث خرابی سازههاي سنگی شود. به دلیل وجود ترك هاي فراوان در ساختار سنگها، این ماده داراي مقاومت کمتري نسبت به بارگذاريهاي مکانیکی مختلف همچون زلزله میباشد. لذا براي جلوگیري از وارد آمدن خسارات و هزینههاي سنگین، باید همواره یکی از موارد مورد توجه مهندسین معدن و عمران باشد. در طراحی سازههاي مهندسی یکی از موارد مهم مورد بررسی در قطعات سنگی تخمین مسیر رشد ترك میباشد. براي بررسی رفتار شکست و همچنین تخمین مسیر رشد ترك در قطعات سنگی از مفاهیم علم مکانیک شکست استفاده میشود. مکانیک شکست یکی از شاخههاي تخصصی مهندسی مکانیک میباشد که به بررسی قطعات ترك دار تحت بارگذاري هاي مختلف میپردازد و به صورت متناوب توسط مهندسین معدن، مهندسین عمران و پژوهشگران مختلف براي بررسی مسیر رشد ترك مورد استفاده قرار گرفته است. پیدایش ترك در یک قطعه معمولا در جهات مختلف میباشد و ممکن است ترك نسبت به بارگذاري داراي زوایاي مختلف باشد. در صورتی که جهت بارگذاري و ترك نسبت به هم به گونهاي باشند که صفحات ترك بدون هیچ لغزشی نسبت به یکدیگر، باز شوند حالت مود I خالص اتفاق افتاده است و همچنین در صورتی که صفحات ترك نسبت به یکدیگر لغزش بدون باز شدگی داشته باشند حالت مود II خالص رخ داده است. در صورتی که مود I و II به طور هم زمان رخ دهند، اصطلاحاً به این حالت مود ترکیبی I/II گفته میشود.
تاکنون پژوهشگران بسیاري به بررسی مواد سنگی از منظر مکانیک شکست پرداختهاند. براي پیش بینی مسیر رشد ترك در مواد شبهترد همچون سنگها در حالت الاستیک خطی روش هاي مختلفی وجود دارد که یکی از آن روش ها روش تحلیلی میباشد. روشهاي تحلیلی همچون معیار بیشترین تنش محیطی - Erdogan and Sih 1963 - 1، معیار کمترین چگالی انرژي کرنشی - Sih 1974 - 2، معیار بیشترین نرخ آزاد سازي انرژي - Hussain and Underwood 1974 - 3 و همچنین مدل ناحیه چسبناك - Elices, et al. 2002 - 4 به صورت متناوب توسط محققان براي پیش بینی مقاومت ترك و همچنین آغاز رشد ترك در بارگذاري مرکب استفاده شدهاند. این معیارها معمولا بر اساس تنش، کرنش و انرژي در نوك ترك عمل میکنند و اغلب از ضریب شدت تنشها KI - ، - KII براي پیش بینی مسیر رشد ترك استفاده میکنند. همچنین، محققین مختلفی از روشهاي عددي براي تخمین مسیر رشد ترك استفاده کردهاند. این روشهاعموماً بر پایه مکانیزمهاي تخریب همانند مدل چسبناك میباشد زیداکیس و همکارانش - Xeidakis, et al. 1997 - ، لین و همکارانش - Lin, et al. 2009 - ،
جیان و سایجینگ - Jian-An and Sijing 1985 - و سانگ و همکارانش - Song, et al. 2004 - از جمله محققینی هستند که مسیر رشد ترك مواد شبه ترد همانند سنگ و بتن را با استفاده روشهاي عددي و نیمه عددي بررسی نمودهاند. در این راستا، دوروش المان محدود توسعه یافته و استفاده از المان چسبناك کاردبرد بیشتري نسبت به سایر روشها دارند - Xu Y - and Yuan H, 2011، . - Lens NL et al., 2009 - همچنین، براي بررسی آزمایشگاهی رشد ترك در مواد شبه ترد، از قطعات مختلفی همچون قطعه خمش سه نقطهاي5، خمش چهار نقطهاي6، قطعهي دیسکی شکل با ترك مرکزي7 و قطعهي نیم دیسک با ترك لبهاي8 استفاده شده است. البته، با توجه به خواص ریز ساختاريِ مواد شبه ترد، بیشترین تحقیقاتانجام شده در زمینه رشد ترك در مواد شبه ترد، توسط قطعات دیسکی شکل صورت گرفته است. به عبارت دیگر، متداولترین قطعه مورد استفاده براي انجام تستهاي شکست براي بررسی مسیر رشد ترك قطعه دیسکی شکل با ترك مرکزي و نیم دیسک با ترك لبهاي است. این دو قطعه علیرغم هندسه و شرایط بارگذاري ساده، میتوانند رنج وسیعی از بارگذاري کشش- برش را پوشش دهند.
چن و همکارانش - Chen, et al. 1998 - با استفاده از قطعه دیسک برزیلی تستهاي مختلف شکست را انجام داده و با استفاده از روش عددي المان مرزي به شبیه سازي مسیر رشد ترك پرداختهاست. لیو و همکارانش - Liu, et al. 2007 - نیز از روش عددي براي مدل کردن بارگذاري مرکب در سنگ ناهمگن با استفاده از قطعه دیسک برزیلی استفاده کرده اند. جیا و همکارانش - Jia, et al. 1996 - یک سري تستهاي بارگذاري مرکب با استفاده از قطعه دیسک با ترك مرکزي براي به بدست آوردن مسیر رشد ترك انجام داده اند. اخیرا علیها و همکارانش - Aliha, et al. 2010 - تستهاي مختلفی روي مواد سنگی با استفاده از قطعه دیسک با ترك مرکزي و قطعه نیمه دیسک با ترك لبهاي انجام دادهاند. در این مقاله به بررسی مسیر رشد ترك در نمونه سنگی با استفاده از روش گام به گام و همچنین با توجه به مبانی معیار MTS پرداخته میشود.
در روش گام به گام زاویه شروع شکست توسط مبانی معیار MTS تحمین زده شده و سپس با ازدیاد طول ترك در راستاي پیشبینی شده، ترك به اندازهي کوچکی رشد داده میشود. در مرحلهي بعدي زاویهي شروع شکست براي قطعه ترکدار با طول و هندسهي ترك جدید محاسبه شده و دوباره ترکی در راستاي پیشبینی شده به نوك ترك اضافه میگردد. این روند تا شکست نهایی قطعه ادامه مییابد. به منظور بررسی افزایش دقت در این روش، از جملات مرتبه بالاتر بسط سري تنش ویلیامز - Williams 1956 - براي محاسبه تنش محیطی اطراف ترك استفاده میشود - Ayatollahi and Aliha 2008 - ، . - Akbardoost and Ayatollahi 2014 - در انتها نیز اختلاف بین مسیرهاي رشد ترك تخمین زده شده و تاثیر جملات مرتبه بالاتر بسط سري تنش در تخمین مسیر رشد ترك نشان داده خواهد شد.
معیارهاي شکست
یکی از معیار هاي بررسی شکست در قطعات ترك دار، معیار بیشینه تنش محیطی - Erdogan and Sih 1963 - - MTS - میباشد. براساس این معیار ترك در راستاي بیشینه مقدار تنش محیطی رشد میکند. همچنین رشد ترك زمانی آغاز میشود که مقدار تنش محیطی در راستاي بیشینهي خود و در فاصله مشخصی از نوك ترك - rc - به حد بحرانی خود - σθθc - برسد. براي محاسبه تنش محیطی میتوان از حل ویلیامز استفاده نمود - Williams . - 1956 ویلیامز با حل معادله بايهارمونیک حوزهي تنش اطراف ترك در راستاي محیطی - σθθ - را به صورت یک بسط سري محاسبه نمود: که در این رابطه، r و θ مختصات قطبی نوك ترك میباشند. همچنین An و Bn ضرایب مربوط به جملهياُمn میباشند که توسط تحلیل اجزا محدود قابل محاسبه هستند. بر اساس معیار MTS رشد ترك در زاویهاي که مقدار تنش محیطی بیشترین مقدار را داشته باشد رخ میدهد که از منظر ریاضی زاویهاي که در آن σθθ بیشینه مقدار را داشته باشد. بنابراین با مشتق گیري از رابطه - 1 - و برابر صفر قرار دادن آن میتوان زاویهي رشد ترك را محاسبه نمود - حل رابطه . - - 2 -
همانطور که در رابطهي - 1 - ملاحظه میشود در جملهياولِ رابطهي مربوط به تنش محیطی، ترم r -0.5 ظاهر شده است. لذا در نزدیکی نوك ترك، که مقدار r به سمت صفر میل میکند، براي به دست آوردن تنش محیطی تنها به جمله اول که داراي ترم غالب r -0.5 میباشد بسنده میشود. اما در اکثر موارد در انتهاي ترك براثر بارگذاري یک ناحیهي تخریب به وجود میآید که اندازهياین ناحیه در مواد شبه ترد همچون سنگ نسبتاً بزرگ است. بنابر این فاصله بحرانی که به ناحیهي تخریب وابسته است، در مواد سنگی نسبتا بزرگ میباشد و براي تخمین دقیقتر رفتار شکست مواد سنگی بهتر است تا جملات مرتبه بالاتر از بسط تنش در نظر قرار گیرد. آیتالهی و علیها - Ayatollahi and Aliha 2008 - با در نظر گرفتن همین نکته براي بهبود تخمین زاویهي رشد ترك، معیار بیشنه مقدار تنش محیطی عمومی - GMTS - 9 را ارائه کردهاند. معیار GMTS علاوه بر در نظر گرفتن جملهي اول از بسط سري تنش، جملهي دوم را نیز در نظر میگیرد. در نتیجه تنش محیطی در انتهاي ترك به فرم رابطهي - 6 - میشود.
در حالت کلی هرچه در محاسبهي تنش اطراف ترك تعداد جملات بیشتري از بسط سري ویلیامز در نظرگرفته شود، دقت معیار MTS در تخمین زاویهي شروع شکست ترك بهتر و دقیقتر میشوداخیراً. اکبردوست و آیتالهی - Akbardoost and Ayatollahi 2014 - معیار بیشینه تنش محیطی اصلاح شده - MMTS - 10 را ارائه کردهاند. در معیار MMTS همانند معیار MTS براي به دست آوردن رابطه نهایی عمل کرده تنها با این تفاوت که در محاسبه تنش محیطی علاوه بر جملات اول و دوم، جمله سوم سري ویلیامز هم در نظر گرفته میشود. در انتها رابطه مربوط به معیار MMTS براي محاسبهي زاویهي شکست به فرم رابطهي - 8 - به دست میآید.
