مقاله سری آمار : مقدمه ای بر آمار استنباطی ( برآورد عددی ، فاصله اطمینان و آزمون فرض )

بخشی از مقاله

سري آمار: مقدمه اي بر آمار استنباطي (برآورد عددي، فاصله اطمينان و آزمون فرض )
چکيده
مقدمه : ارائه برآوردي از پارامترهاي جامعه و آزمون هاي آماري را، تقريبا در همه مطالعات علوم پزشکي ميتوان يافت . هدف از اين مقاله ، معرفي مفاهيم و روش هاي ساده و کاربردي برآورد عددي، فاصله اطمينان و آزمون فرض در اين مطالعات بود.
روش ها: مباني و نحوه محاسبه برآورد عددي و فاصله اطمينان ، مفاهيم خطاي معيار براي داده هاي کمي و کيفي ارائه گرديد.
مفاهيم آزمون فرض ، شامل نحوه تبديل فرضيات پژوهشي به فرضيات آماري، انواع خطاها در آزمون فرض ، P-value، تصميم گيري بر اساس فاصله اطمينان ، معني داري آماري در مقابل اهميت باليني و مسئله چند آزموني بررسي شد.
يافته ها و نتيجه گيري : براي متغيرهاي کيفي و کمي، برآورد عددي و فاصله اطمينان پارامترهاي جامعه توسط نسبت نمونه اي و ميانگين به عنوان برآوردهاي نا اريب ، محاسبه و ويژگي هاي آنها ارزيابي شد. براساس مثال هاي مطالعاتي ، فرضيات پژوهشي به فرضيات آماري تبديل شدند. براي تصميم گيري براي فرضيات ، شاخص آزمون و در نتيجه ، P-value محاسبه و براي مقادير کمتر از ٠.٠٥ اين شاخص ، يا به طور معادل اگر فاصله اطمينان مقدار تحت فرض صفر را در بر نداشته باشد، اختلاف يا رابطه معنيدار حاصل ميشود. علاوه بر معني داري آماري بايد به اهميت باليني آن نيز توجه کرد. استفاده بيش از يک آزمون براي يک فرضيه ، چند آزموني ناميده ميشود و در چنين وضعيتي نرخ خطا افزايش مييابد که بايد تصحيح گردد.
واژگان کليدي: آمار استنباطي ، برآورد، فاصله اطمينان ، آزمون فرض ، P-Value، چندآزموني

آمار استنباطي
در تعريف علم آمار بيان مي شود آمار علم جمع آوري ، طبقه بندي و تلخيص داده ها، انتخاب بخشي از جامعه به عنوان نمونه ، تجزيه و تحليل داده هاي نمونه اي، تعميم نتايج به جامعه و محاسبه خطاي تعميم پذيري است . بخش دوم از تعريف ، آمار استنباطي نام دارد. در بين منابع اطلاعاتي شامل : سرشماري ، آمارهاي ثبتي و نمونه گيري ، بهترين منبع براي انجام آمار استنباطي، نمونه گيري است که با تعريف آن هم همخواني دارد ولي براي آمارهاي ثبتي (نظير داده هاي مراکز بهداشت يا ثبت سرطان [١] هم با اغماض آمار استنباطي انجام ميشود (در مورد سرشماري ها معمولا گزارش يافته ها با استفاده از روش هاي آمار توصيفي انجام ميشود).
تعاريف و مفاهيم اوليه
جامعه آماري ١ شامل همه افرادي است که هدف ، اندازه گيري ويژگي هاي مطالعه در آنهاست که معمولا منظور از آن ، جامعه هدف ٢، يعني جامعه اي است که هدف ، انجام توصيف يا استنباط آماري درباره آن است ، مثلا در مطالعه گودرزي و همکاران [٢]، همه افراد ديابتي نوع ٢ مراجعه کننده به انجمن ديابت شهر کرج جامعه هدف مطالعه را تشکيل دادند. به صفت مورد ارزيابي در جامعه اصطلاحا پارامتر٣ گفته ميشود که توصيفي از ويژگي مورد نظر در جامعه فراهم ميکنند؛ مثلا پارامتر ميانگين و انحراف معيار (به ترتيب μ و ...) متغير سن يا پارامتر نسبت مردان (P) در جامعه فوق برآورد گرديد.
در مطالعات ، جز در مواردي که جامعه آماري کوچک باشد، معمولا انتخاب همه افراد موجود در جامعه آماري امکان پذير نيست (به دليل محدوديت در هزينه ، زمان و نيروي انساني و همچنين دستيابي به دقت بيشتر). بنابراين بخشي از جامعه مورد مطالعه ٤ (يعني جامعه اي که نمونه گيري از آن انجام ميشود)، براساس ليست نمونه گيري ٥ انتخاب شده و بررسيهاي لازم در اين قسمت کوچک تر انجام ميشود. به اين بخش کوچک نمونه ٦ گفته ميشود و انتظار ميرود که اين نمونه نماينده اي از افراد موجود در جامعه باشد، يعني خصوصياتي مشابه با جامعه مورد مطالعه داشته باشد و هر نتيجه اي که از اين نمونه حاصل شود به کل جامعه تعميم داده ميشود. براي دستيابي به نماينده بودن ، نمونه نياز است که از روش هاي نمونه گيري تصادفي (با شانس برابر افراد جامعه براي شرکت در نمونه ) استفاده شود، ولي در برخي از موقعيت ها ممکن است امکان انتخاب نمونه تصادفي وجود نداشته باشد و يک نمونه آسان يا در دسترس انتخاب گردد. به هر حال ، روش هاي مختلفي براي انتخاب نمونه تصادفي (شامل نمونه گيري تصادفي ساده ، سيستماتيک ، طبقه اي و خوشه اي ) ارائه شده است که هدف از به کارگيري اين روش ها، کمتر نمودن سوگرايي در انتخاب افراد و دستيابي به نمونه اي نماينده براي جامعه است . روش هاي مختلف نمونه گيري و تعيين تعداد مناسب نمونه در سري هاي آتي ارائه خواهد شد.
به هر حال ، پارامتر جامعه توسط يک کميت نمونه اي متناظر با آن ، که اصطلاحا شاخص يا آماره ٧ ناميده ميشود، برآورد ميگردد؛ مثلا براي تخمين پارمترهاي جامعه فوق ، ميانگين نمونه اي ( ) و انحراف معيار نمونه اي (SD يا S) متغير سن ، به ترتيب برابر ٥٠.٠٦ و ١٠.٢٣، يا پارامتر نسبت مردان (P) بر اساس نمونه برابر ٢١ درصد به دست آمد [٢].
حوزه هاي استنباط آماري شامل برآورد و آزمون فرض ميباشد. در حوزه برآورد، هدف يافتن يک عدد يا يک فاصله براي صفت مورد نظر در جامعه است که به ترتيب برآورد عددي و فاصله اطمينان را فراهم ميکنند. در بحث آزمون فرض ، هدف ارزيابي يک ادعا درباره ويژگي مورد بررسي (يا ارزيابي فرضيه پژوهشي ) است .
برآورد عددي و ويژگي هاي آن
همان طور که ملاحظه شد، براي تخمين ويژگي مورد نظر در جامعه براساس نمونه يک عدد گزارش ميشود که به آن برآورد عددي (نقطه اي ) گفته ميشود. برآورد نقطه اي بهترين تخمين براي برآورد پارامتر مورد نظر در جامعه است . براي محاسبه برآورد عددي از تکنيک هاي آمار توصيفي براي محاسبه انواع شاخص ها استفاده ميشود [٣].
انتظار ميرود، عددي که براساس نمونه برآورد ميشود تا حد ممکن به پارامتر جامعه نزديک باشد. براي دستيابي به اين هدف ، نياز است تا چند ويژگي در برآوردگر مورد نظر برقرار باشد. براي بررسي اين ويژگي ها و روشن شدن موضوع ، مثال زير را ببينيد.
مثال ١: به منظور دستيابي به اهداف مورد نظر در قالب محاسبات ساده ، براي اين مثال يک جامعه آماري کوچک با اعداد ١، ٢، ٣ و ٤ در نظر بگيريد. در صورت انجام سرشماري، ميانگين و واريانس اين جامعه به ترتيب برابر ٢.٥ و ١.٢٥ به دست ميآيد (براي محاسبه ميانگين و وجود واريانس ، از فرمول هاي موجود در [٣] استفاده شد). حال فرض کنيد محققين مختلف ، نمونه هايي به تصادف و با تعداد ٢از اين جامعه انتخاب نمايند. اين امکان وجود دارد که براي محقق اول ، آزمودني اول و دوم در اين نمونه قرار گيرند که شامل اعداد ١و ٢ هستند که براي اين دو عدد ميانگين و واريانس نمونه اي (به عبارت ديگر، برآورد ميانگين و واريانس در اين جامعه آماري بر اساس نمونه انتخابي) به ترتيب برابر ١.٥ و ٠.٥ به دست ميآيد. محقق دوم از اين جامعه آماري نمونه گيري ميکند و مثلا نمونه هاي ١ و ٣ در نمونه او قرار ميگيرند که براي اين دو عدد ميانگين و واريانس نمونه اي (به عبارت ديگر، برآورد ميانگين و واريانس در اين جامعه آماري بر اساس نمونه انتخابي) به ترتيب برابر ٢ و ٢ به دست ميآيد. ممکن است براي محققين مختلف نمونه هاي مختلفي انتخاب شود. همه نمونه هاي ممکن دوتايي از اين جامعه در جدول ١ ارائه شده اند:

١.٤١ همان طور که ملاحظه ميشود، در صورتي که نمونه هاي ممکن (غير تکراري ) مد نظر باشد در انتخاب نمونه هاي ٢ تايي از جامعه ٤ تايي، ٦ نمونه ممکن غير تکراري دارد. براي هر يک از نمونه ها، ميانگين ، واريانس و انحراف معيار نيز ارائه شده است .
ميانگين هاي نمونه اي روي نمودار به صورت زير ارائه ميشود:

نمودار ١- مقادير ميانگين هاي نمونه اي در ٦ نمونه ممکن دوتايي از يک جامعه با ٤ عضو
خط وسط نمودار ١، روي نقطه ٢.٥ يعني نقطه ميانگين جامعه قرار گرفته است . همان طور که ملاحظه ميشود ميانگين نمونه هاي مختلف در اطراف ميانگين جامعه متغير هستند. اما همان طور که اشاره شد، در يک نمونه خاص ، برآورد نقطه اي بهترين تخمين براي برآورد پارامتر مورد نظر در جامعه است . بنابراين :
١) ميانگين نمونه اي يک متغير است يعني از نمونه اي به نمونه ديگر تغيير ميکند (مطالعات مختلف انجام شده در يک جامعه آماري برآوردهاي مختلفي از يک ويژگي ارائه ميکنند).
٢) متوسط ميانگين هاي نمونه اي (رديف ميانگين در جدول ٢) برابر ٢.٥ ميشود (١٥ يعني مجموع تقسيم بر ٦) که دقيقا برابر ميانگين جامعه است . به عبارت ديگر انتظار ميرود (به طور متوسط )، شاخص محاسبه شده در نمونه روي پارامتر جامعه قرار گيرد، يعني شاخص نمونه ، پارامتر جامعه را بيش و کم برآورد نمي کند. به اين خصوصيت اصطلاحا نااريبي ١ گفته ميشود. ميانگين و واريانس نمونه اي ، برآوردگرهاي نااريب ميانگين و واريانس جامعه هستند. در عمل فقط يک نمونه انتخاب ميشود و همه نمونه هاي ممکن يا سري نمونه ها در يک مطالعه وجود ندارد، بنابراين ميانگين و واريانس (انحراف معيار) بر اساس تنها يک نمونه به دست ميآيد و با توجه به اين ويژگي، برآوردهاي حاصل ، بهترين تخمين براي پارامترهاي جامعه هستند.
٣) ميانگين نمونه به عنوان يک متغير داراي توزيع نمونه گيري است . توزيع نمونه گيري تجربي آن را ميتوان به صورت زير مشاهده کرد:
مقادير ميانگين : ١.٥ ٢ ٢.٥ ٣ ٣.٥
احتمال رخداد: ١.٦ ١.٦ ٢.٦ ١.٦ ١.٦
يعني ميانگين ١.٥، ٢، ٣ و ٣.٥ هر کدام يک بار از ٦ بار و ميانگين ٢.٥ دو بار از ٦ بار رخ داده است . براي توزيع فوق ، نمودار زير را ميتوان رسم نمود (نمودار ٢):

همان طور که ملاحظه ميشود، در اين نمودار، منحني شکسته توزيع نمونه گيري ميانگين بسيار شبيه توزيع نرمال است که با قضيه حد مرکزي مطابقت دارد. قضيه حد مرکزي بيان ميکرد که توزيع اوليه داده ها هر چه که باشد، براي حجم نمونه هاي بزرگ (30...n)، توزيع نمونه گيري ميانگين نرمال ميشود [٤]. حجم نمونه ي اين مثال ، برابر ٢ بود ولي در حجم نمونه هاي بالاتر منحني شکسته نخواهد بود و منحني هموارتري حاصل ميشود. بنابراين ، ميتوان اين گونه نتيجه گرفت که در عمل ، براي تنها يک نمونه و به ازاي حجم نمونه هاي بزرگ (30...n) توزيع نمونه گيري ميانگين نرمال ميشود. اين موضوع براي استنباط درباره ميانگين (و همچنين نسبت ها به عنوان ميانگين متغيرهاي کيفي) کاربرد زيادي دارد.
٤) در عمل ميزان دقت ميانگين نمونه اي و ميزان تغيير پذيري آن حين تصميم گيري درباره آن بسيار مهم است . بنابراين ، نياز است از تغيير پذيري اين شاخص اطلاعاتي در دست باشد. در مثال فوق ، ٦ مقدار براي ميانگين به دست آمد؛ واريانس (انحراف معيار) توزيع نمونه گيري ميانگين هاي فوق برابر ٠.٥ (٠.٧١) به دست ميآيد که اين انحراف معيار، خطاي معيار SE)يا SEM) ناميده ميشود. در نتيجه ، خطاي معيار، انحراف معيار ميانگين و به عبارت دقيق تر، انحراف معيار توزيع نمونه گيري ميانگين است . بنابراين براساس اين نکته و نکات ٢ و ٣، ميتوان استنباط کرد که براي نمونه هاي بزرگ توزيع نمونه گيري ميانگين نمونه ، تقريبا نرمال با ميانگين و انحراف معيار برابر ميانگين جامعه و خطاي معيار ميباشد.
لازم به ذکر است که در عمل فقط يک نمونه انتخاب ميشود (همه نمونه هاي ممکن يا سري نمونه ها در يک مطالعه وجود ندارد)، بنابراين واريانس (انحراف معيار) ميانگين بر اساس تنها يک نمونه به دست ميآيد. بر اساس نمونه انتخابي ، برآورد خطاي معيار برابر با انحراف معيار نمونه تقسيم بر جذر تعداد نمونه است (انحراف معيار بر جذر n). با داشتن راديکال n در مخرج کسر هر چه نمونه بزرگتر انتخاب شود، مخرج کسر بزرگتر و در نتيجه کل کسر يعني خطاي معيار کوچکتر و دقت آن بيشتر ميشود (يعني به ازاي هزينه بيشتر، دقت بيشتر کسب مي گردد).
براي روشن تر شدن موضوع ، در مثال فوق نمونه هايي به تعداد ٣ انتخاب شد و نتايج براي همه نمونه هاي ممکن ، در جدول ٢ ارائه شده است :

واريانس (انحراف معيار) توزيع نمونه گيري ميانگين هاي فوق برابر ٠.٢٦ (٠.٥١) به دست ميآيد که تغييرپذيري کمتر (دقت بيشتر) ميانگين را به ازاي افزايش (حتي يک ) نمونه نشان ميدهد. دليل آن ، اين است که با نمونه هاي بزرگتر اثر داده هاي پرت با حضور تعداد بيشتر داده ها کم رنگ تر ميشود.
انحراف معيار يا خطاي معيار
انحراف معيار تغيير پذيري داده ها در جامعه را نشان ميدهد و خطاي معيار، تغييرپذيري ميانگين را در اطراف ميانگين جامعه ، و به عبارت دقيق تر، انحراف معيار توزيع نمونه گيري ميانگين را نشان ميدهد. خطاي معيار يک استنباطي است و يک معيار توصيفي نيست ، بنابراين در ارائه کردن داده ها از انحراف معيار استفاده ميشود [٣] ولي زماني که هدف انجام استنباط درباره ميانگين باشد (آزمون فرض و فاصله اطمينان )، در اين صورت خطاي معيار استفاده ميشود. در عمل به دليل اين که خطاي معيار کوچکتر از انحراف معيار است ، و با تصور اين که پراکندگي را کمتر نشان ميدهد، به اشتباه ، به جاي انحراف معيار استفاده ميشود. بنابراين توصيه ميشود صرفا در مسايل استنباطي و آن هم در قالب فاصله اطمينان (بخش بعدي) از خطاي معيار استفاده شود [٣،٥]. خطاي معيار شاخص هاي نمونه اي مختلف فرمول هاي خاص خود را دارند (جدول ٣).

زماني که يک عدد به عنوان برآوردي از پارامتر جامعه معرفي ميشود، خود به تنهايي براي معرفي صفت مورد بررسي کافي نيست و همراه با آن بايد شاخص پراگندگي آن هم گزارش شود تا ميزان دقت آن هم به صورت هم زمان بررسي شود. بيان يک برآورد به همراه شاخص پراکندگي در کنار آن که معمولا به صورت واحدي از شاخص پراکندگي در سمت چپ و راست برآوردگر بيان ميشود، ايده اي براي تعريف يک فاصله براي پارامتر جامعه را فراهم ميکند. به عبارت ديگر، بر اساس اين فاصله ميتوان دامنه اي از مقادير را ميتوان تعريف نمود که با يک سطح معلومي از اطمينان ، پارامتر جامعه ميتواند آن مقادير را بپذيرد. بنابراين فاصله اطمينان برآوردي از پارامتر جامعه و ميزاني از دقت آن را به طور همزمان ارائه ميکند و هرچه اين فاصله کوتاهتر باشد دقت بيشتري را در برآورد پارمتر جامعه فراهم ميکند. در شکل ١، فواصل اطمينان مبتني بر ١٠ سري نمونه و مقدار واقعي پارامتر جامعه نشان داده شده است .

شکل ١- فواصل اطمينان مبتني بر ١٠ سري نمونه و مقدار واقعي پارامتر جامعه
در اين شکل ، از ١٠ فاصله ، ٨ فاصله ، پارامتر واقعي جامعه را در بر دارند (يعني ٨٠ درصد اطمينان ). بنابراين ، مفهوم واقعي فاصله اطمينان را در قالب نمونه هاي تکراري مي توان تفسير نمود؛ يعني براي تفسير يک فاصله اطمينان ٩٥ درصد ميتوان گفت اگر ١٠٠ بار نمونه انتخاب شود و بر اساس فاصله اطمينان ٩٥ درصدي ساخته شود، ٩٥ تا از اين فاصله ها پارامتر واقعي جامعه را در بر ميگيرند و ٥ مورد در بر نميگيرند و در واقع اين استنباط آماري با ٥ درصد خطا انجام ميشود. در نتيجه ، فاصله اطمينان انفرادي ساخته شده بر اساس يک نمونه ممکن است پارامتر واقعي جامعه را در بر داشته باشد يا نداشته باشد.
مولفه هايي که در محاسبه فاصل اطمينان دخيل هستند، پراکندگي موجود در داده ها يعني انحراف معيار، حجم نمونه ، و ميزان اطمينان که در واقع همان شانس يا تصادف موجود در داده ها است که به ترتيب با طول فاصله اطمينان روابط مستقيم ، معکوس و مستقيم دارند.
براي محاسبه ساده فاصله اطمينان ٩٥%، همان طور که در [٤] اشاره شد، در توزيع نرمال ٩٥ درصد مشاهدات بين ٢±انحراف معيار از مقدار ميانگين قرار ميگيرند. بر اساس نکات ٢و ٤ ذکر شده فوق ، در توزيع نرمال ، ٩٥ درصد ميانگين ها بين ٢±انحراف معيار از ميانگين جامعه قرار ميگيرند (شکل ٢) (البته مقدار دقيق آن ١.٩٦± است ولي براي سادگي محاسبات ، مقدار تقريبي ٢± در محاسبات استفاده خواهد شد).

شکل ٢-نحوه توزيع احتمال در دامنه هاي ٢انحراف معيار ميانگين (خطاي معيار) در اطراف آن
بنابراين يک فاصله اطمينان ٩٥ درصدي براي ميانگين جامعه با فرمول زير به دست ميآيد:
((انحراف معيار ميانگين ) ×٢± ميانگين )= فاصله اطمينان ميانگين يا ((خطاي معيار) ×٢± ميانگين ) =فاصله اطمينان ميانگين يا ((n...÷ انحراف معيار داده ها) ×٢± ميانگين ) =فاصله اطمينان ميانگين براي مثال ، در داده هاي جدول ٣ و بر اساس نمونه سري اول ، که در آن ميانگين برابر ٢ به دست آمد و انحراف معيار جامعه که برابر ١.٢٥... يعني ١.١٢ بود، فاصله اطمينان به صورت زير محاسبه ميشود:
((٣...÷١.١٢) ×٢±٢) = حد پايين (٣.٢٩ تا ٠.٧١) =بنابراين با اطمينان ٩٥ درصد ميتوان گفت که ميانگين جامعه آماري مورد بررسي در فاصله ٠.٧١ و ٣.٢٩ قرار ميگيرد (تفسير مبتني بر نمونه انفرادي ).
طول فاصله اطمينان ، برابر با حد بالاي فاصله منهاي حد پايين فاصله اطمينان است . در مثال فوق طول فاصله اطمينان برابر ٢.٥٨(=٠.٨٥-٣.١٥) به دست ميآيد. هر چه طول فاصل اطمينان کوتاه تر باشد، يعني محدوده کوچک تري از مقادير براي پارامتر جامعه در نظر گرفته شده است که تغييرپذيري کمتر ميانگين نمونه اي در برآورد ميانگين جامعه و دقت بيشتر آن را نشان ميدهد. در اين مثال ، به دليل حجم نمونه کوچک ، طول فاصله اطمينان پهن است .
فرمول کلي فاصله اطمينان
براي محاسبه فاصله هايي با اطمينان بيشتر يا کمتر نياز است از عددهاي Z متناظر با سطوح ديگر اطمينان در توزيع نرمال استفاده شود. براي اطمينان هاي ٩٩ و ٩٠ درصد (به جاي ٩٥ درصد) به ترتيب اعداد ٢.٥٨ ± و ١.٦٥± شاخص Z نرمال (به جاي (٢±))، به کار ميروند. فرمول کلي فاصله اطمينان به صورت زير است :
((خطاي معيار) ×Z± ميانگين ) =فاصله اطمينان ميانگين که در آن Z نمادي براي مقادير (چندک ) توزيع نرمال ميباشد. مثلا براي مثال فوق ، فاصله اطمينان هاي ٩٩ و ٩٠ درصد به ترتيب برابر (٣.٤٩ و ٠.٥١) و (٢.٩٥ و ١.٩١) به دست ميآيد. همان طور که ملاحظه ميشود، طول فاصله اطمينان ٩٠ درصدي کوتاه تر است چون براي اطمينان ٩٠ درصد يعني اطمينان کمتر، به فاصله کوتاه تري براي قرار مقادير پيشنهادي ميانگين جامعه نياز است (براي گرفتن ماهي کمتر، تور کوچک تري نياز است ).
توزيع t
در محاسبه فاصله اطمينان براي ميانگين با توجه به معلوم بودن مقدار انحراف معيار در جامعه ، در محاسبات فاصله اطمينان از اين انحراف معيار معلوم استفاده شد و بر اساس توزيع نرمال براي اطمينان ٩٥ درصد، از عدد ٢ براي Z نرمال استفاده شد. ممکن است اين سوال پيش آيد که اگر انحراف معيار جامعه معلوم نباشد، که در اغلب مطالعات چنين است ، چه بايد کرد؟ در چنين مواردي به جاي انحراف معيار جامعه از انحراف معيار مبتني بر نمونه استخراجي استفاده ميشود ولي در اين صورت بايد به جاي Zنرمال در فرمول زير:
((خطاي معيار جامعه ) ×Z± ميانگين )=فاصله اطمينان ميانگين از t استفاده ميشود يعني :
((خطاي معيار نمونه اي ) ×t± ميانگين )=فاصله اطمينان ميانگين که در آن t نمادي براي مقادير (چندک ) توزيع t ميباشد.
اين توزيع شبيه توزيع نرمال متقارن است ولي نسبت به توزيع نرمال ارتفاع پايين تري دارد. هر چه حجم نمونه کوچک تر باشد ارتفاع قله اين توزيع ، نسبت به توزيع نرمال پايين تر است ولي با افزايش حجم نمونه ارتفاع قله به نرمال نزديک تر ميشود به طوري که براي حجم نمونه هاي بزرگ (50...n) اين فاصله خيلي کم ميشود.