بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
محاسبه ضرايب ميرايي رايلي براي سيستمهاي با درجات آزادي بالا
خلاصه
قبل از تحليل سازه هاي با درجات آزادي بالا حدس مقادير معني دار ضرايب رايلي α وн براي آنها مشکل مي باشد. لذا مهندسين به هنگام تحليل اين قبيل سازه ها با فرض يک نسبت ميرايي ثابت براي تمام مودهاي سازه مقادير ضرايب رايلي را تعيين مي کنند که اين وضعيت غير واقعي مي باشد چرا که نسبت ميرايي سازه در مودهاي بالاتر افزايش مي يابد. براي حل اين مشکل در اين مقاله روشي ارائه شده است که بر اساس آن مقادير ضرايب رايلي α وн بگونه اي تعيين مي شوند که بر اساس اين ضرايب مجموعه اي از نسبت هاي ميرايي که با افزايش شماره مودها افزايش مي يابد فراهم مي شود که بدين ترتيب اطلاعات ورودي مورد نياز براي تحليل ديناميکي تامين مي شود. در اين مقاله ضمن بيان رئوس کلي روش مذکور، نتايج نظير انواع مختلفي از سازه ها کنترل شده و نتايج به صورت نموداري نيز نمايش داده شده اند.
کلمات کليدي : ديناميک ، ميرايي، ضرايب رايلي، فرکانس طبيعي
مقدمه
در تحليل ديناميکي سازه ها و فنداسيونها خاصيت ميرايي از اهميت فوق العاده اي برخوردار است . به علت محدود بودن اطلاعات و شناخت ما از ميرايي، مؤثرترين و کاراترين روش براي در نظر گرفتن ميرايي در تحليل مودال سازه ها انتخاب ميرايي به صورت ميرايي رايلي معادل و به صورت رابطه (١) مي باشد.
که در آن به ترتيب معرف ماتريس ميرايي، ماتريس سختي و ماتريس جرم و متغيرهاي α وн ضرايب رايلي مي باشند.
استفاده از ماتريس ميرايي به فرم رابطه (١) داراي اين مزيت است که شرط تعامد، رابطه (٢)، در ماتريس ميرايي ارضاء مي شود.
با قبول خاصيت تعامد در ماتريس هاي جرم و سختي که در کتابهاي ديناميک سازه ها اثبات شده است و در نظر گرفتن رابطه (٢) مي توان سازه هاي داراي n درجه آزادي را به n سيستم يک درجه آزادي و مستقل ساده نمود.
به دليل اينکه براي سيستم هاي با درجات آزادي بالا حدس مقادير معني دار α وн در شروع تحليل ديناميکي (مودال ) مشکل مي باشد. لذا در تحليل هاي عملي مهندسي تحليل گر بر اساس تجربه و مراجع مرتبط مجبور به استفاده از يک نسبت ميرايي ثابت براي تمام مودهاي اساسي سازه مي باشد. در حالي که با افزايش شماره مودها مشارکت جرم مودي کاهش مي يابد لذا با توجه به معلوم مي گردد که در مودهاي بالاتر به دليل کاهش مشارکت جرمي، فرکانس افزايش پيدا مي کند و همچنين بر طبق رابطه (ميرايي بحراني) معلوم مي شود که به دليل کاهش جرم مودي در مودهاي متوالي ضريب Cc با افزايش شماره مودها کاهش مي يايد. نسبت ميرايي (D) که به صورت تعريف مي شود به دليل کاهش ضريب در مودهاي بالاتر، با افزايش شماره مودها مقدار آن نيز افزايش خواهد يافت . بدين ترتيب معلوم مي گردد که فرض نسبت ميرايي ثابت نظير تمام مودها يک فرض غير واقعي بوده و مخصوصا براي سيستم ديناميکي که در آن مشارکت مودهاي بالاتر قابل توجه باشد، نتايج بدست آمده بر اساس فرض نسبت ميرايي ثابت در تمام مودها مطمئنا واقع بينانه نخواهد بود.
فرمولاسيون ميرايي رايلي
در حالت کلي رابطه حرکت سيستم چند درجه آزادي تحت نيروي خارجي اعمالي به صورت رابطه (٣) قابل بيان است .
با جايگزيني رابطه مختصات نرمال و مشتقات زماني آن در رابطه (٣) و پيش ضرب کردن در ترانهاده بردار شکل مود n ام ، خواهيم داشت :
باعث مي گردد که کليه جملات به غير از جمله مربوط به مود n ام در عبارات جرم ، سختي و ميرايي در رابطه (٤) صفر گردند که بدين ترتيب رابطه (٤) را مي توان به صورت رابطه (٥) بازنويسي نمود.
همچنين رابطه (٥) را مي توان به صورت رابطه (٦) بازنويسي نمود.
رابطه (٤) تنها زماني معتبر است که ماتريس ميرايي متناسب با ماتريس سختي و ماتريس جرم باشد که بدين ترتيب با استفاده از ميرايي بيان شده به فرم رابطه (١)، ميرايي مشخص شده در رابطه (٤) به فرم نمايش داده شده در رابطه (٧) قابل حصول است .
از مقايسه معادلات (٧) و (٦) و (٤) نتيجه مي شود:
در صورتي که سيستم ديناميکي مورد مطالعه تنها داراي ٢ درجه آزادي باشد معادله (٨) به صورت زير قابل بيان است .
که در اين شرايط با حل دستگاه معادله (٩) ضرايب مجهول α وн معلوم مي گردند.
اما در حالتي که سيستم مورد مطالعه داراي درجات آزادي بالايي (مثلا ٥٠٠ يا ١٠٠٠ درجه آزادي) باشد، تحليلگر در تعيين ضرايب رايلي که براي تمام مودهاي ارتعاشي يا حداقل براي مودهاي اساسي سيستم معتبر باشد، دچار مشکل خواهد بود. چرا که به طور قطع هيچ راه حل مستقيمي براي براي رسيدن به اين مقادير نمي باشد و راه حل ممکن يک راه حل تکراري مي باشد که در اين راه حل مقاديرα وн نظير يک سيستم از طريق بهترين برازش انجام شده بر روي مقاديرα وн نظير تمام مودهاي سيستم به دست مي آيد. اما روشي که در اين مقاله ارائه مي شود يک روش ساده مي باشد که بر اساس آن مي توان به مقادير رايلي منحصر به فرد و معتبري دست يافت . ضرايب رايلي بدست آمده از اين روش براي سيستم هاي با تعداد درجات آزادي بالا نيز معتبر مي باشد.
محاسبه ضرايب رايلي براي سيستم هاي بزرگ از رابطه (٨) داريم :
نمودار رابطه (١٠) در شکل (١) نشان داده شده است و همانگونه که از اين شکل پيداست رابطه (١٠) داراي دو ناحيه خطي و غير خطي مي باشد. بطوريکه تغييرات منحي رابطه (١٠) در محدوده فرکانسي ٠.٥ الي ٨.٥ راديان بر ثانيه به صورت غير خطي و در محدوده فرکانسي بزرگتر از ٨.٥ راديان بر ثانيه تغييرات نسبت ميرايي با فرکانس خطي مي باشد.
براي حالتي که سيستم ديناميکي داراي درجات آزادي بالايي مثل ١٠٠، ٥٠٠، ١٠٠٠ و يا بالاتر مي باشد، نيازي به اندازه گيري پارامتر در تمام مودها نمي باشد، بلکه کافي است نظير مودهايي که مجموع مشارکت جرمي آنها حدود ١٠٠% (بيش از ٩٥%) ميباشد را اندازه گيري نماييم . به عنوان مثال براي يک سازه فولادي با ٥٠٠ درجه آزادي ، اگر مجوع مشارکت جرمي ١٠٠% در ١٥ مود اول حاصل شود، در چنين حالتي به جاي در نظر گرفتن ميرايي ثابت مثلا ٥% براي تمام ١٥ مود اول ، مي توان ميرايي برابر با ٢% براي مود اول و ٥% براي آخرين مود سازه در نظر گرفت .
با توجه به منحني شکل (١) مي توان نتيجه گرفت که در رابطه زماني که X مقدار کوچکي مي باشد، جمله اول حاکم مي باشد .
که با افزايش مقدارX ، مشارکت جمله اول تقليل يافته و در نهايت به صفر ميل مي کند. در حاليکه با افزايش مقدارX ، مشارکت جمله دوم افزايش يافته و جمله حاکم در عبارت مي گردد. به عبارت ديگر چنانچه سيستم ديناميکي مورد نظر خيلي انعطاف پذير باشد داراي فرکانس اصلي پاييني خواهد بود که در اين حالت نسبت ميرايي از ناحيه غير خطي نمودار شکل (١) تبعيت مي کند. در مودهاي بالاتر به دليل افزايش فرکانس ارتعاشي نسبت ميرايي با فرکانس ارتعاشي متناسب خطي خواهد بود. به عنوان مثال آنتن هاي انعطاف پذير، شمع هاي خيلي بلند يا دودکش هاي بلند احتمالا داراي رفتار اين چنيني خواهند بود.
چون اکثر سازه هاي مهندسي عمران به منظور داشتن صلبيت قابل قبولي طراحي مي شوند، لذا داراي فرکانس اصلي بالايي خواهند بود. بگونه اي که در اين قبيل سازه ها ، جمله شامل معمولا حاکم خواهد بود. علاوه بر اين با فرض اين مطلب که محدوده غيرخطي براي سازه هاي متداول خيلي کوچک مي باشد، فرض تناسب خطي ميرايي و فرکانس ارتعاشي سيستم غير واقع بينانه نخواهد بود.
مجموعه مقادير را در نظر ميگيريم . نسبت ميرايي نظير مود iام با استفاده از درونيابي خطي اين مقادير توسط رابطه ذيل قابل بيان است :
که در آن :
نسبت ميرايي نظير مود I ام نسبت ميرايي نظير مود اول .
1 i
نسبت ميرايي نظير موداصلي m ام ( m تعداد مود اصلي در نظر گرفته شده مي باشد.)
فرکانس طبيعي نظير مود iام
فرکانس طبيعي نظير مود اول
فرکانس طبيعي نظير موداصلي m ام .
در سازه هاي با تعداد درجات آزادي بالا فقط چند مود اول آنها در رفتار ديناميکي سازه داراي مشارکت اساسي مي باشند. براي اکثر سازه هاي مهندسي، تعداد مودهاي اساسي که تقريبا داراي مجموع مشارکت جرمي ٩٥% مي باشندحدود ٣ مود در حالت حداقل و حدود ٢٥ مود در حالت حداکثر ميباشد. تعيين تعداد مودهايي که مشارکت اساسي در پاسخ سازه دارند بر اساس يک حل مقدار ويژه و نتايج مشارکت جرم مودي طي گامهاي زير انجام مي شود.
