بخشی از مقاله
چکیده
در این تحقیق با استفاده از رهیافت دیراك در بررسی دینامیک دستگاههاد مقید، ساختار قیدي ریسمان باز را در فضاي ناجابجایی بدست میآوریم. از آنجاکه ظهور قیود به منزله شکست تقارن است، به کمک رهیافت BFT این قیود را به قیود نوع اول که مولدهاي تبدیل پیمانهاي هستند، تبدیل می کنیم. بنابراین فضاي فاز ریسمان باز را به یک فضاي جابجایی تبدیل و سرانجام تابع پارش آنرا بدست می آوریم.
مقدمه
پدیدههایی که در آنها مختصات فضا-زمان با یکدیگر جابجا نمی شوند در بسیاري از تئوريهاي فیزیکی ظاهر میشوند. یک مثال ساده، ناجابجایی فضا-زمان در مکانیک کوانتومی براي ذرهاي مقید در صفحه دوبعدي است که با میدان مغناطیسیB عمود بر صفحه حرکت، برهمکنش ضعیف دارد. هنگامیکه سرعت ذره کم یا میدان مغناطیسی قوي است، ناجابجایی اتفاق می افتد.[1] همچنین در بحث D-braneها در نظریه ریسمان یا هنگام بررسی مفهوم مدل ماتریسی M-theory ،[2] نیز با این پدیده روبرو میشویم. درM-theory ناجابجایی فضا-زمان در تئوري پیمانهاي غیرآبلی یانگ-میلز ظاهر میشود. در آنجا ناجابجایی فضا-زمان برايN تا D-brane که در موازات هم قرار دارند، در راستاي عمود بر آنها اتفاق میافتد.
بعلاوه هنگامیکه نقاط انتهایی ریسمانها در حضور یک میدان مغناطیسی ثابت نوو-شوارتز به D-braneها می پیوندند، مختصات فضا-زمانی برروي D-braneها با یکدیگر جابجا نمی شوند. توضیح دقیقتر اینکه در نظریه ریسمان ناجابجایی به علت شرایط مرزي آمیخته که هیچ یک از شرایط مرزي نیومن و دیریکله نیست اتفاق میافتد. این شرایط مرزي باعث ایجاد قیود نوع دوم میشوند. تا زمانیکه ما این قیود نوع دوم را داریم، مختصات فضا- زمان با یکدیگر جابجا نمیشوند. در مرجع[3] هندسه فضاي ناجابجایی بر اساس چارچوب روش هامیلتونین دیراك مورد بررسی قرار گرفته است. از دیدگاه جبر قیدي، تعدادي از تقارنهاي موضعی در این مدل شکسته میشوند، و بنابراین ما قیود نوع دوم را داریم. برطبق اصل آنالیز قیدي می توان حدس زد که اگر ما این تقارن را به حالت اول برگردانیم،
ناجابجایی مختصات از بین خواهد رفت و شرایط مرزي نتیجه قیود نوع اول خواهد بود. بعلاوه ضرب مویال براکتها[4] ناشی از هندسه ناجابجایی سیستم،تبدیل به ضرب معمولی تابعها میشود. بدلیل اینکه در حالت کلی براکت مویال ساختار پیچیدهاي دارد، اگر بتوانیم هندسه ناجابجایی را به جابجایی تبدیل کنیم، بررسی جبر توابع سادهتر خواهد شد. در این مقاله براي تبدیل قیود نوع دوم به قیود نوع اول و بدست آوردن هندسه جابجایی، از روش BFT استفاده خواهیم کرد.[5] در واقع رهیافتBFT بطور گستردهاي برروي هامیلتونیهاي داراي قیود نوع دوم اعمال میشود. بعنوان مثال میتوان از کاربرد آن در تئوري چرن-سیمونز نام برد.[6] همچنین مدل کایرال شوئینگر[7] و بوزونهاي کایرال[1] که در نهایت منجر به تقارنهاي ناشی از قیود نوع اول در آن ها میشود. البته باید این نکته را در نظر داشت که در روشBFT اساس کار اضافه کردن میدانهاي جدید به فضاي فاز است. در واقع ما قیود جدید را بصورت سري توانی از این میدانهاي جدید باز تعریف بهمیکنیم. این کار منجر ایجاد قیود و هامیلتونی نوع اول بصورت سريهاي بینهایت جمله- اي میشود. با استفاده از روش مرتبه محدود BFT میتوان این سريها را با انتخاب مناسبی براي ضرایب اختیاري جبر رهیافت BFT در مرتبهاي محدود خاتمه دهیم. [8]
ساختار قیدي ریسمان باز در فضاي ناجابجایی
منشأ تئوري ناجابجایی یانگ - میلز به واسطه حضور ریسمانهاي باز در D-brane ها[9] در نظریه ریسمان توسط ویتن و سایبرگ توضیح داده شده است.[10] کنش مربوطه بصورت زیر تعریف میشود: که در آن ε ab متریک فضا-زمان و σ جهان سطح اقلیدسی است. شرط مرزي آمیخته این کنش بصورت زیر است: در مرجع[11] براي نشان دادن ناجابجایی مختصات D-brane ها از اصول پایهاي کوانتش دیراك استفاده شده و در نهایت ثابت شده که ناجابجایی مختصات یک سیستم ریسمان باز بر روي صفحات brane ذاتی است. یعنی هیچ تقارن پیمانهاي که ناجابجایی را از بین ببرد وجود ندارد. همچنین میتوان نشان داد که انتهاي مخلوطی از ریسمانهاي باز یعنی در جایی که به D-braneها متصل میشوند، ناجابجا هستند و تنها در مختصات مرکز جرم جابجا پذیر می باشند.[12] در نتیجه جهان حجم D-braneها یک فضاي ناجابجایی است. با استفاده از نتایج فوق روش قیدي کوانتش دیراك نیز برروي سیستم اعمال میشود. مشکلی که در اینجا مطرح میشود این است که آنالیز کانونیک سیستم که از روش دیراك منشأ میگیرد،ذاتاً براي سیستمهاي مکانیکی فرمولبندي شده و همچنین براي آن دسته از میدانها که روي مرز صفر میشوند معتبر است.
بنابراین کاربرد روش دیراك براي سیستم داراي میدان غیر صفر در مرزها باید با احتیاط انجام شود. در مرجع[13] نشان داده شده که براي بررسی این گونه مدلها باید از معادلات حاکم بر ریسمانهاي مکانیکی استفاده کرد. بنابراین در ابتدا مختصات ریسمان را بشکل زیر مینویسیم: که در آن cin - τ - ها متغییرهاي مکانیکی و - ci0 - τ مد صفر ریسمان است. درادامه کنش مکانیکی بصورت زیر باز تعریف میشود:
در اینجا fn ≠ 0 , n 0 ها اعداد حقیقی اختیاري هستند که از جبر مسئله اضافه میشوند. در حالیکه میتوان fn آنهارابا cn ها ادغام کرد ولی بهتر است که آنها را همچنان بدون تغییر در کنش نگه داریم. زیرانهایتاً هامیلتونی به fn ها بستگی خواهد داشت. با استفاده از الگوریتم دیراك و محاسبه تکانه، میتوان قیود اولیه نوع دوم را استخراج کرد: با توجه به آنچه در قسمت قبلی گفته شد، قیود نوع دوم باعث ایجاد ناجابجایی فضایی و شکسته شدن تقارن در مرزها شد. اکنون ما با استفاده از رهیافت BFT یعنی تبدیل قیود نوع دوم به قیود نوع اول دست به بازسازي تقارن میزنیم. براي این هدف ما در چهارچوب روش BFT سه متغییر اختیار η1 و η2 و η3 را به فضاي فاز اضافه می کنیم بطوریکه : انتخاب ماتریسهاي ω و χ به شکل 13 - کاملاً - اختیاري بوده و ما با این انتخاب خاص، سري هاي بینهایت جملهاي حاصل از بسط قیود و هامیلتونی در فضاي فاز جدید را قطع داده و در نهایت قیودبصورت آنچه که در - 11 - نشان داده شده تعریف میشوند. معادلات حاکم در روش BFT مرتبه محدود در مرجع [8] آمده
