بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
مدلسازي دینامیکی سیگنالهاي قلبی با استفاده از توابع Bézier و B-Spline
چکیده
مدلسازي مرفولوژي سیگنالهاي قلبی کاربردهاي وسیعی در سیستم هاي مانیتورینگ سیگنالهاي قلبی و پردازش سیگنالهاي بیولوژیک دارد. در این مقاله یک چارچوب کلی براي مدلسازي، مبتنی بر تجزیه سیگنالی ارائه شده است و خواص کلی آن بطور جزیی مورد بررسی قرار گرفته است. دومدل رایج در این زمینه، مدل مک شري و مدل DFG را می توان در این چارچوب گنجاند. علاوه بر این با استفاده از توابع بزیر و اسپلاین یک مدل جدید براي مدلسازي سیگنالهاي قلبی ارائه شده است و عملکرد چارچوب مدل توسعه داده شده، توسط تصاویر بصري و شبیه سازي عددي نشان داده شده است.
کلمات کلیدي
مدلسازي دینامیکی، بزیر، اسپلاین، الکتروکاردیوگرام
-1 مقدمه
-1-1 الکتروکاردیوگرام
فعالیتهاي قلبی ناشی از انقباضات منظم ماهیچه قلب1 میباشد. این انقباضات به نوبه خود ناشی از تحریک خودکار شبکه نورونی گسترده در قلب بوده، که باعث ایجاد ریتمهاي منظم موسوم به دیپلاریزاسیون2 و ریپلاریزاسیون3 دهلیزي و بطنی میگردند. فعالیتهاي نورونی قلب، فرایندي الکتروشیمیایی میباشند که اختلاف پتانسیلهاي قابل ثبتی را بر روي سطح بدن ایجاد میکنند. اختلاف پتانسیل بین دو الکترود که روي سطح پوست قرارداده شدهاند، به الکتروکاردیوگرام (ECG4) معروف است.
در حال حاضر علیرغم تکنیکهاي جدید مانیتورینگ سیگنالهاي قلبی، شکل موج سیگنال ECG و نرخ ضربان قلبی هنوز پرکاربردترین، در دسترسترین و ارزانترین روش تشخیص بیماریهاي قلبی در سطح دنیا میباشد. به همین علت، بحث مدلسازي ریاضی سیگنالهاي ECG از دیرباز مورد توجه محققان بوده و تاکنون مدلهاي زیادي براي شبیهسازي این سیگنالها ارائه شده است. در این راستا، در سالهاي اخیر مدلهاي دینامیکی سیگنالهاي قلبی از ارزش ویژهاي برخوردار شدهاند و کاربردهاي متنوعی پیدا نمودهاند؛ از جمله: ارزیابی کیفیت دستگاههاي مانیتورینگ ECG، ارزیابی کارایی الگوریتمهاي پردازش سیگنالهاي حیاتی، فشردهسازي و حذف نویز سیگنالهاي قلبی، استخراج ویژگی، تولید سیگنالهاي مصنوعی قلبی نوزادان و جنین و .... لازم به توضیح است که یک مدل مناسب باید امکان تولید شکل موجهاي ثبت شده از انواع الکترودهاي سطحی، در ضربانهاي قلبی مختلف را داشته باشد. همچنین مدل باید از توانایی لازم براي تولید سیگنالهاي ECG طبیعی و غیرطبیعی برخوردار باشد. در تحقیقات پیشین روشهاي مختلفی براي تولید سیگنال قلبی ارائه شدهاند، که با توجه به ساختار ریاضی مدل خطی یا غیرخطی میباشند.
در بخش دوم به بررسی تعدادي از مدلهاي موجود پرداخته میشود. در بخش سوم یک چارچوب کلی براي مدلسازي مبتنی بر تجزیه سیگنالی ارائه خواهد شد. حالت خاصی از این چارچوب در بخش چهارم براي مدلسازي مبتنی بر خانوادة توابع اسپلاین استفاده میگردد. بخش پایانی مقاله به جمعبندي و بررسی ایدههایی براي ادامه کار اختصاص دارد.
-2 روشهاي پیشین
-1-2 مدل McSharry
این مدل جزء پرکاربردترین مدلهاي موجود است که قادر به تولید توأم ضربان قلب و مورفولوژي سیگنال قلب میباشد .[2,1] در روش McSharry هر سیگنال را با مجموعی از توابع گوسی تقریب میزنند. معادلات دینامیکی این مدل بصورت زیر میباشد:
که در ان و در این معادلات دو معادله اول ایجاد کنندة سیکل حدي5 مولد ضربان قلب و معادله سوم تعیینکنندة مورفولوژي ضربان مورد نظر است. بعنوان مثال مطابق شکل (1) میتوان یک سیگنال ECG نوعی را با 5 تابع گوسی تقریب زد.
شکل (1) تولید سیگنال ECG مصنوعی با استفاده از روش McSharry ،
پارامترهاي مدل براساس جدول (1) محاسبه شده است.
جدول((1 پارامترهاي مدل McSharry براي تولید سیگنال ECG مصنوعی [1]
همانطور که از شکل (1) مشخص است هر یک از موجکهاي موسوم به P، Q، R، S و T سیگنال ECG را میتوان با یک تابع گوسی
مدل کرد. پارامترهاي مدل McSharry براي تولید سیگنال ECG مصنوعی شکل (1) در جدول (1) موجود میباشند.
-2-2 مدل DFG6
این مدل قادر به تولید مورفولوژي سیگنال قلب میباشد. درمدل DFG سیگنال ECG بر روي بازههاي مختلف بصورت تکهاي ساخته میشود.[3] براي این منظور هر یک از اجزاي سیگنال ECG (امواج P، QRS و (T با استفاده از یک ضابطه ریاضی جداگانه تعریف میشوند. با تکرار این شکل موجها در فواصل مناسب میتوان شکل موج پیوستهاي از سیگنال قلبی را تولید کرد. مشکل DFG در آن است که چون سیگنال ECG بصورت تکهاي تقریب زده میشود، بعضاً بین موجهاي P، QRS و T و یا مشتقات آنها ناپیوستگی ایجاد میشود. این مسألهبعضاًباعث میشود شکل سیگنال ECG در نقاط کلیدي7 آن دچار تغییراتی شود.
در ادامه روشی نوین براي مدلسازي مبتنی بر بسط سیگنالی ارائه میگردد.
-3 مدلسازي مورفولوژیک سیگنالها
براي سیگنال مشاهدات x(t) ، هدف پیداکردن سیگنال مدل x(t) میباشد بطوري که
و تقریبی از x(t)باشد؛ که در (آن) توابع پایه براي بسط سیگنال ضرایب مدل میباشند. در این عبارت اگر x(t) یک سیگنال انرژي دلخواه باشد (یا در صورتی میتوان آنرا به فرم (2) تقریب زد که توابع توابع براي تشکیل یک فریم دهند . طبیعتاً. اگر توابع پایه توابع پایه اورتونرمال باشند آنگاه بسط سیگنال توابع پایه(x(t داراي افزونگی کمتري میباشد .[4]
توابع پایه خود بصورت پارامتري بیان میشوند. پارامترهاي توابع پایه میتوانند مستقل یا وابسته به سیگنال باشند. بعنوان مثال در روشMcSharry پارامترهاي توابع پایه گوسی (اعم از عرض و موقعیت آنها) وابسته به شکل موج سیگنال میباشند؛ ولی در روش بزیر اسپلاین که در ادامه ارائه میگردد، پارامترهاي توابع پایه مستقل از شکل موج سیگنال می باشند. این موضوع در بخش نتایج مورد بررسی قرار گرفته است.
چنانچه بخواهیم روش McSharry را بصورت (2) بسط دهیم:
پارامترهاي توابع پایه میباشند و وابسته به شکل موج سیگنال میباشند. بنابراین در مدل McSharry پارامترهاي توابع پایه براي سیگنالهاي مختلف مقادیر متفاوتی خواهند داشت؛ یعنی شکل موج توابع پایه به شکل موج سیگنالها وابسته میباشند.
مدل کلی (2) میتواند ازجنبههاي مختلف مورد بررسی قرار گیرد:
-1 تقریب سیگنال، یا کم کردن خطاي بین x(t) و : مدل ارائه شده باید تقریبی از سیگنال اصلی باشد؛ اگرچه سیگنال اصلی و سیگنال مدل شده با هم اختلاف دارندطبیعتاً. انرژي خطاي بین آنها
باید در یک بازه قابل قبول قرار گیرد. هر چه خطا کمتر باشد، مدل ارائه شده تقریب بهتري از سیگنال است. البته باید توجه داشت که در مدلسازيصفر شدن سیگنال خطا لزوماً مطلوب نیست. زیرا داده هاي معمولاً آغشته به نویز میباشندکه این باعث میشود در مدلسازي، نویز هم بازسازي شود. لذا در صورتی صفر شدن سیگنال خطا میتواند مطلوب باشد که سیگنال x(t) را با تمام جزئیات آن بخواهیم مدل کنیم.
-2 امکان نمایش مدل ارائه شده به فرم معادلات دینامیکی: براي کاربردهایی همچون فیلترکالمن نمایش مدل دینامیکی سیگنال مورد نیاز می باشد . چون سیگنال ECG یک سیگنال شبهپریودیک میباشد فرم معادلات دینامیکی مدل مورد نظر براي ساخت سیگنال ECG از اهمیت بالایی برخورداراست.
در اینجا تکیه اصلی بر استخراج مدل ریاضی مناسب براي سیگنالهاست که در آن روابط ریاضی حاصل درقالب معادلات دیفرانسیل (براي سیستمهاي زمان-پیوسته) یا معادلات تفاضلی (براي سیستمهاي زمان-گسسته) بیان میشود. بسته به سیستم و مدل مورد نظر این معادلات ممکن است خطی، غیر خطی، ثابت با زمان و یا متغیر با زمان باشند.
البته نمایش مدل دینامیکی یک سیستم یکتا نمیباشد. در مدل پیشنهادي طبق (2) میتوان مدل دینامیکی سیگنال را بر حسب مدل دینامیکی توابع پایه آن نوشت:
که در آن c و میباشد. از این مدل می توان براي حذف نویز مبتنی بر مدل10،مانند فیلتر کالمن [5,6,7] استفاده کرد. در این بخش در صورتی که معادلات دینامیکی حاصل فرم خطی داشته باشند، براي پیادهسازي فیلترهاي مورد نظر مزیت محسوب میشود.
-3 نرم بودن:x(t) 11
سیگنالهاي حیاتی عموماً داراي تغییراتی نرم میباشند. لذا، تا حد امکان به دنبال این هستیم که مدل ارائه شده مشتقپذیرتر باشد. چنانچه تابع ارائه شده در همه بازهها مشتق پیوسته داشته باشد، مدل را نرم میگوییم و هر چقدر مشتقات مراتب بالاتر نیز پیوسته باشند مدل نرمتر است. البته باید توجه داشت که عملاً مشتق مرتبه اول و دوم براي این کاربرد مهم هستند؛ زیرا مشتقات مراتب بالاتر لزوما با چشم قابل تشخیص نمیباشند.
-4 عبور x(t ) از نقاط خاص و امکان کنترل شکل آن به کمک نقاط کنترلی:12
پارامترهاي x(t ) طبق تعریف (2) از روي دادههاي ( x(t محاسبه میشوند. بعضی مواقع انتظار داریم مدل ارائه شده از نقاط خاصی از سیگنال ( x(t عبور کند زیرا این نقاط بیان کننده یک پدیده فیزیولوژیک در سیگنال حیاتی میباشند. بنابراین انتظار داریم
تابع x(t ) نقاط کلیدي را دنبال کند یا با نقاط کنترلی شکلش تغییر کند.
-5 امکان کنترل محلی13 مدل:
یکی از سؤالات مطرح در زمینه مدلسازي آن است که، تغییر یکی از پارامترها و یا نقاط کنترلی چه تاثیري بر شکل کل مدل دارد و آیا کل مدل را تغییر میدهد یا تنها قسمتی از آن را. چنانچه مدلی خاصیت (4) را داشته باشد یعنی بتوان شکل x(t ) را با استفاده از نقاط کنترلی کنترل کرد، مهم است که تغییر، حذف یا افزایش یک نقطه کنترلی فقط بر قسمتی از منحنی تأثیر داشته باشد نه بر کل مدل. این خاصیت بیشتر به توابع پایه انتخابی بستگی دارد. چنانچه توابع پایه در کل بازه مدلسازي مقدار داشته باشند، کنترل محلی دیگر مفهومی ندارد. اهمیت این خاصیت براي از آن جهت است که چنانچه بدانیم فقط قسمتی ازسیگنال خوب مدل نشده است، میتوان فقط با تغییر یکی از پارامترهاي مدل، خطاي مدلسازي را کاهش داد و نیازي به محاسبه دوبارة کل پارامترها نداریم. ولی چنانچه مدل ارائه شده این خاصیت را نداشته باشد آنگاه براي کم کردن خطا باید همه پارامترها دوباره محاسبه گردند، که در این حالت بار محاسباتی افزایش مییابد.
-6 کم بودن تعداد پارامترهاي مدل:
هر چه در مدل ارائه شده تعداد کمتري پارامتر وجود داشته باشد از پیچیدگی آن کاسته میشود. با توجه به اینکه سیگنالها بیشتر در حوزه گسسته مدلسازي میشوند، باید توجه داشت که تعداد پارامترها و ضرایب مدل هیچگاه نباید بیشتر ازتعداد نمونه هاي خود سیگنال گردد . زیرا در این حالت مدلسازي مفهوم خود را از دست میدهد. چرا که میتوان از خود نمونه ها و قطار ضربه براي مدلسازي استفاده کرد (بسط دیراك). بنابراین در بحث کاهش خطا با افزایش درجه مدل باید به هزینه افزایش تعداد ضرایب مدل نیز توجه داشت.
-7 سهولت محاسبه پارامترهاي مجهول مدل:
سهولت محاسبه پارامترهاي مدل یکی از مهمترین بخشهاي مسأله مدلسازي محسوب می شود. پارامترها به دو دسته تقسیم می شوند: (الف) پارامترهاي توابع پایه (ب) ضرایب مدل. ضرایب مدل از روي سیگنال مشاهدة x(t) و توابع پایه بدست میآیند؛ که در این ارتباط، شکل رابطه توابع پایه با پارامترهاي مدل در سادگی محاسبه پارامترهاي مدل تأثیر بسزایی دارد. چنانچه توابع پایه نسبت به پارامترهاي مدل رابطهاي خطی داشته باشند
آنگاه در محاسبه پارامترها به یک دستگاه معادلات خطی برخورد میکنیم که معمولا حل آنها آسان میباشد. در غیر اینصورت به دستگاه معادلات غیرخطی برخورد میکنیم کهعموماًنمی توان براي آنها یک فرمول بسته ریاضی بدست آورد. بعنوان مثال در مدلو McSharry هنوز یک فرم بسته براي محاسبه ضرایب ارائه نشده است، زیرا روابط توابع پایه نسبت به پارامترهاي غیرخطی میباشد.
9- امکان برقراري ارتباط بین پارامترهاي مدل و کمیتهاي شناخته شده فیزیولوژیک:
از دیگر مشخصات یک مدل خوب آن است که بتوان براي پارامترها و/یا توابع بکارگرفته شده در مدل توجیه و یا تناظر فیزیولوژیک یافت. بعنوان مثال در مدل McSharry بین شکل موجهاي گوسی مدل و اجزاي شناخته شدة سیگنال ECG، همچون موج P،
