مقاله مدل های DEA با ورودی ها و خروجی های نا مطلوب

بخشی از مقاله

*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***

مدل های DEA با ورودی ها و خروجی های نا مطلوب

چکیده
در موردمدل های تحلیل پوششی داده ها((DEAباورودیهای نامطلوب و خروجی های نامطلوب مطالعات فراوانی شده اسـت. این مطالعات اغلب به کاربردهای خاصی محدود هستند. دراین مقاله یک روش روی مدل DEA بدون تبدیل داده های نامطلوب پیشنهاد می شود. ابتدا فرض دسترسی ازاد و شماری از اندازه گیری کارایی درحضـور ورودیهـای نـامطلوب تشـریح مـی شـوندو آنگاه ترکیبهای مختلف از فرض دسترسی ازاد و کارایی متریک بررسی میشوند. این روش یک مدل را بـرای مـدلهای DEA بـا ورودی ها و خروجیهای نامطلوب ارائه می دهد.

واژههای کلیدی: ورودی ها و خروجیهای نامطلوب، فرض دسترسی ازاد، کارایی متریک، مدل های DEA با اندازه گیری شعاعی، مدل های DEA با ورودی ها و خروجی های نا مطلوب

1

-1 مقدمه

آنالیز اطلاعات مدل ها با ورودی ها و خروجی های نامطلوب در بحث های مربوط به DEA بـه طـور متنـاوب مـورد بحـث و بررسی قرار گرفت. مقالات زیادی نیز در این زمینه نوشته شده است این مدل ها همه با ورودی ها و خروجی های مطلوب فرمول بندی شده اند، اگر چه در مصارف واقعی، ورودی ها و خروجی های نا مطلوب نیز داریم. در مقالـهی DEA، بیشـترین تحقیقـات روی ورودی ها و خروجی های مطلوب تمرکز کرده اند. عکس العمل شهودی به این تبادلات انجام گرفته اسـت کـه قابـل قبـول ترین آن ها همان F(u=-u) که با مقالهی APO که توسط کوپمن[1]1 ارائه شده است.پس از آن ورودی ها و خروجی های نا مطلوب به ورودی ها و خروجی های مطلوب تبدیل می شود. اگر چه داده ها ممکن است منفی باشند ومشخص کردن کارایی کار آسـانی نیسـت. چیـل[2]2 سـعی کـرد کـه ایـن کـار را انجـام دهـد.تابع انتقـال F (u) = -u + B کـه مـورد اسـتفاده بسـیاری قرارگرفت.(علی و سیفورد[3] 3 ، پاستور[4] 4 ، چیل [2] ، سیفورد و زو( [5] 5 ، به هرحال واضح است کـه رتبـه بنـدی و طبقـه بندی بستگی به Bِ دارد. یک تبدیل دیگر به شکل F (u) = 1 می باشد که یک تبدیل غیر خطی است، که عملکرد پیچیده تری دارد چیل . [6] بنابراین انتخاب تابع مناسب بستگی به موردهای بسیاری دارد.این تبدیل ها ممکن است نتایج نامطلوب بدهنـد. بـه عنوان مثال بعضی از آن ها به ورودی ها و خروجی های نا مطلوب را به چشم ورودی ها و خروجی های مطلوب نگـاه مـی کننـد. این روش با توجه به سادگی آن در مطالعه ی کارایی عملکـرد جـذابیت بیشـتری دارد، اگـر چـه باعـث تغییـر فیزیکـی ورودی و خروجی ها میشود. نقطهی شروع آن، کوچک کردن ورودی های مطلوب و خروجی های نا مطلوب در DMU ها است و بزرگ کردن خروجی های مطلوب و ورودی های نا مطلوب جزء عملیات آن می باشد. اگر کسی بخواهد که از لحاظ کـارایی عملیـاتی آن را بررسی کند، نیازی بهوجه تمایزقائل شدن بین خروجی و ورودی ندارد.

-2 مفهوم تحلیل پوششی داده ها
تحلیل پوششی داده ها ازجمله تکنیک هایی است که علاوه بر سنجش کارایی وارزیابی عملکرد، راه های افزایش آنها رانیزبـه طورتفکیکی با استفاده ازنسبت ستاده به داده برای هرسطح جداگانه پیشنهادونحوه افزایش کارایی را در تمام سطوح ارائه می دهد. در این تکنیک واحدها به صورت کارا وناکارا رتبه بندی می شوند. مدل های DMU نحوه کاراسازی واحد هـای مـورد ارزیـابی که ناکارا تعیین شده اند را معرفی می کند. این مدل ها یک تکنیک ویژه برا ی محققانی می باشـند کـه علاقـه مندنـدکارایی چنـد خروجی را در مقابل چند داده بررسی کنند. این روش بر پایه کار اقتصاد دانی به نام فارل,1- 6 است که پایه گذار روشهـای غیـر پارامتری در ارزیابی کارایی و محاسبه کارایی واحدهای تصمیم گیرنده است. او در سال 1957، اولین روش غیـر پـارامتری جهـت تعیین کارایی را در حالت دو ورودی و یک خروجی ارائه نمود و روش پوسته محدب قطعه - قطعه خطی برای تقریب مرز را ارائه کرد. برای تعیین اندازه کارایی واحدهای تصمیم گیرنده، فارل پیشنهاد کرد که ابتدا بایستی یک مرز کـارای مفـروض را مشـخص کرد و سپس فاصله از مرز کارا را به عنوان یک اندازه ناکارایی تعبیر نمود. روش فارل با اینکه مشکل مربوط به انتخاب تابع تولیـدرا رفع کرد ولی هنوز مشکل تعداد ورودی و خروجی را داشت. در سال 1978 چارنز ، کوپر و رودز بـا اسـتفاده از برنامـه ریـزی ریاضی روش غیرپارامتری فارل را، در مقاله ای تحت عنوان »اندازه گیری کـارایی واحـدهای تصـمیم گیرنـدهDMU « هـا، بـرای سیستمی با ورودیها و خروجیهای چندگانه تعمیم دادند و عنوان »تحلیل پوششی داده ها« را به آن دادند.. مدلی که توسط چارنز، کوپر و رودز معرفی شد مدل معروف CCR است که با فرض بازده به مقیاس ثابت ارائه شد.

-3 روش تحقیق و ارائه مدل
اصول مورد هدف در این مقاله ، فرض دسترسی ازاد واندازه گیری کارایی متریـک بـا ویژگـی جـذب در حضـور ورودی و خروجی نامطلوب و داده های منفی است. ما ترکیب های مختلفی از فرض های مختلف را در نظر می گیریم. دراین مقالـه در پـی ارائه روشی واحد برای مدل های DEA با ورودی و خروجی نا مطلوب هستیم، همچنین در مورد روش های موجود نیز بحث می کنیم. این تحقیقات با استفاده از برخی نظریه های لیو[7] 1 انجام شده است.

-4 فرض دسترسی در DEA

فرض کنیم که n واحد DMU داشته باشیم و محور 0 1 به ترتیب ورودی و خروجی DMUj می شوند و j از یک تا n بود. این خیلی واضح است که DMU ها ترکیب شده اند یـا سـاخته شـدن بـرا ی اهـداف خاصـی. بـرای ارزیـابی DMU ابتـدا بایـد الویتهای آن را در فضای (x,y) تعیین کنیم. برای به وجود آمدن مدلی معین بین ورودی و خروجی، باید موارد را بـه دقـت تنظـیم کنیم. مثل بیشتر کمتر یا بهتر، بدتر. در مدل های استاندارد DEA مانند CCR یا BCC این فرض ها به خـوبی لحـاظ شـده انـد. اگر چه تاکید میکنیم الویت های مختلف عملکردهای کاربردی مفید هستند. برای مثال فرض می کنیم که:

برای DMU ها کارایی پاراتو با ورودی و خروجی مطلوب، 1 1 ) 1( بهتر از 2) 2 2( اگـر 2
و 2 . 1 اگر تمام خروجی های نامطلوب باشند، 1 بهتر از 2 است اگر 2 DEA با انجام چندین مقایسه عملکرد بهتر را پیدا می کند. ابتدا ما باید تعداد معینی جفت پیدا کنیم و پس از مقایسهی آن هـا با هم، بهترین DMU را شناسایی کنیم. البته در مسائل تجاری خیلی سخت اسـت کـه بهتـرین DMU را پیـدا کنـیم، زیـرا تعـداد جفت ها محدود است و برای مقایسه کافی نیست PPS ( ، شامل همهی DMU های در دسترس می باشـد. اگـر چـه خیلی از آن ها در حقیقت وجود ندارد. در DEA، به آن ها DMU مجازی گویند، آن ها هم مورد مقایسه قـرار مـی گیرنـد. در یک DMU واقعی، اگر( بهترین گزینه برای باشد آنگاه کاراست. در مدل هـای اسـتاندارد DEA ، فرض های زیادی بر روی PPS ساخته شده است.

-5 دسترسی آزاد
از مزیت های دسترسی آزاد این است که می تواند هر مقدار ورودی را بدون کاهشی در خروجی جذب کند.
سپس و اگر به عنوان نکته باید اضافه کنیم که دسترسی آزاد مقدار را تا یک حدی افزایش مـی دهـد و نمـی توانـد آن را تـا حـد بسـیاری افزایش دهد، بنابراین با فرض دسترسی قوی و محدب پس PPS استاندارد برای ورودی و خروجی مطلوب مدل (1) می شود.

برای این که بتوانیم ورودی ها و خروجی های نا مطلوب را به کار گیریم باید اصـلاحات زیـادی در مـورد در دسترسـی قـوی انجام دهیم. ری[8] 1 ، بدون فرض در دسترس بودن ضعیف آن توانست ورودی هـا و خروجـی هـای نـا مطلـوب را وارد کنـد. بنابراین توسعه مدل استاندارد دسترسی قوی موردی برای متغیرهای نامطلوب است. چند روش برای آن آورده شده است. یکـی از

این روش ها این است که دسترسی قوی را افزایش دهیم که این امر با دستورات مشابه اما با اولویت های اتخاذ شده بـرای مـوارد
نامطلوب و در قسمت (2-3) توضیح داده شده است. روابط آن به صورت زیر می باشد:
سپس اگر وضعیت های مشابهی برای در دسترسی آزاد را می توان مشاهده کرد. یک دفتر پست را نامه هـایی بـا آدرس خـوب، ورودی خوب هستند و نامه هایی با آدرس بد، ورودی بد هستند، اگر چه می توان ورودی ها یا خروجی های نا مطلوب یـا مطلـوبی تولیـد کرد. مثال های مشابهی برای سیستم های مختلف در مسائل شهری با ورودی ها و خروجی های مطلوب نا مطلوب اتفاق می افتنـد. خیلی از مدل های DEA حال حاضر از این سیستم افزایش دسترسی برای تأمین مقادیر نا مطلوب استفاده می کنند. اگر چه به طور جزئی در مقالهی DEA مورد بررسی قرار نگرفت و اغلب احتیاج است کـه ورودی مطلـوب بـدهیم و خروجـی هـای نـا مطلـوب بگیریم. هنگامی که این اتفاق بیفتد، PPS مربوطه که محدب خوانده می شود به صورت مدل (2) است.

خیلی مفید است، بدانیم PPS مدل (2) را می توان با ورودی ها و خروجی های نا مطلوب بـه جـای مطلـوب فرمـول گـذاری کرد. این مطلب را می توان در قضیه (1) خلاصه کرد.

قضیه(:(1

اگر ساخت PPS ، برای جلوگیری از تبدیل و تغییر داده ها باشد، پس باید ورودی هـا و خروجـی هـای نـا مطلـوب را بـه عنـوان ورودی ها و خروجی های مطلوب فرض کنیم و فرض دسترسی قوی معادل دسترسی قوی توسعه داده می باشد. باید گفت که این قضیه فراهم کنندهی تبدیل مقادیر نا مطلوب به مطلوب می باشـد کـه بعـداً بـا جزئیـات مـورد بررسـی قـرار خواهد گرفت. در بخش بعد نشان خواهیم داد که بسیاری از مدل های DEA دارای قابلیت دسترسی قـوی مـی باشـند. در بخـش بعدی نشان خواهیم داد بیشتر مدل های DEA برفرض دسترسی قوی توسعه داه هستند. بـه عنـوان مثـال در بیشـتر مـوارد بـا فـرض دسترسی قوی برای تغییر متغیرها فرض دسترسی قوی توسعه داده برای متغییرهای اصلی اسـت. بیائیـد در ایـن جـا مـدل سـیفورد و ژو [5] را تشریح کنیم، در حقیقت از قابلیت در دسترس بودن قوی توسعه داده و PPS بالا برای مقادیر اصلی استفاده مـی کنـیم. در مدل سیفورد وژو[5] ، ابتدا آن ها از تبدیلات که . سپس فرض دسترسی آزاد و تحـدب و متغییرهای جدید را برای بدست آوردن PPS زیر استفاده می کنند :


که در آن و بعد از اعمال PPS ا مقادیر جدید، به شکل زیر خوانده می شود.

که در آن Yu توسط w محدودشده است. اگر چه باید گفت کـه مـدل سـیفورد وژو در حقیقـت دسترسـی قـوی توسـعه داده است. اگر W ≠ o باشد، محدب بودن، نقش اساسی را در معادله PPS انجام می دهد. بنابراین نتیجه میگیـریم معادلـه بـالا بـرای تبدیلات ADD استفاده می شود با CRS , IRS محدب یا . DRS ازطرف دیگر اگر خروجی ها مطلوب باشند اما منفی باشند، باید از ADD استفاده کرد که آن را به موارد نا مطلوب اما مثبت تبدیل کرد، و از فرض دسترسی قوی توسـعه داده اسـتفاده کنـد. ایدهی اصلی این است که خروجی های نا مطلوب را نمی توان به تنهایی کاهش داد و فقط می توان برخـی از آن هـا را تبـدیل بـه خروجی های مطلوب کرد. به عنوان مثال خروجی نامطلوب برفرض دسترسی ضعیف است اگر :

در بسیاری از برنامه های محیط زیست اگر بعضی از خروجیهای مطلوب را کاهش دهیم آلودگی به راحتی کـاهش مـی یابـد. مدل های دیگر نیز شدنی اند. به عنوان مثال PPS برفرض بازده به مقیاس ثابت ( (CRS و ورودی هـای مطلـوب بـه شـکل زیـر است .

این مدل های DEA را قادر می سازد تا بتواند بر برنامه های کابردیش احاطه داشته باشد. دسترسی قوی توسعه داده و ضعیف در حقیقت به هم وابسته نیستند، اگر چه باید اینگونه تصور کنیم مدل DEA بافرض دسترسی قوی توسعه داده یا ضعیف وابسـته به ماهیت برنامه هایی است که آنهارا کنترل می کند. در این فصل به جای استفاده از دسترسی ضعیف از دسترسی قوی توسعه داده استفاده می کنیم در غیراینصورت ذکرمیکنیم.

-6 کارایی متریک

این بخش مربوط به اندازه گیری کارایی است، به منظور این که ببینیم DMU بـا مشخصـات (xo , yo) بهتـرین گزینـه بـرای هست یا نیست. اندازه گیری عملکرد اغلب توسط تابع مناسب انجام می گیرد. m ( o , o) که افزایشی یا کاهشـی است. در عملکردهای مشخص شده اگر (W , Z) بهتر از ( X , Y) باشد، پس

با فرض این که ( ( ) ( x ( ) , y مطلوب و بهتر از (xo , yo) باشند داریم:

تابعی که مناسب برای ورودی و خروجی باشد تعریف می شود با مدل های (3) و :(4)

به ترتیب ur , wi به عنوان وزن های مثبت هستند.
تابع مناسب شعاعی را می توان مطابق مدل (5) با استفاده از متغیرهای کمکی ارائه داد، با فرض این که مدل((5که مقدار مثبت بسیار کوچکی می باشد. ×


از ترکیب مدل های (3) و .(5) مدل (6) دست می آید.

اگر از تابع جمعی مناسب با وزن های یکسـان و تـابع تقریبـا شـعاعی مناسـب بـرای خروجـی هـا، بـرای انـدزه گیـری کـارایی با ماهیت خروجی به صورت مدل (7) می باشد:

پس کارا بودن یا نبودن DMU بستگی به این دارد که بتوان یک DMU مجازی بهتر را در مجموعه امکان تولید
)}) ({( پیدا کرد، که این مشکل با مدل ریاضی (GDEA) ، مدل برطرف میشود.

که در آن مینیموم و ماکسیموم استفاده می شوندبه ترتیب بستگی به این دارد که تابع مناسـب کاهشـی یـا افزایشـی باشـد. کـه دراصل یک مدل DEA اسـت. اگـر ماکسـیموم بیشـتر از ، پـس باعـث مـی شـود DMUمجـازی بهتـراز کـارا نیسـت درغیـر اینصـورت باشـد و کـارا معرفـی شـود و بنـابراین کاراست. در بخشهای بعدی مدل های DEA با ورودی و خروجی های نا مطلوب را فرمول بندی می کنیم.
این بخش مربوط به اندازه گیری کارایی است، به منظور این که ببینیم DMU بـا مشخصـات بهتـرین گزینـه بـرای هست یا نیست. اندازه گیری عملکرد اغلب توسط تابع مناسب انجام می گیرد. که افزایشی یا کاهشـی
است. در عملکردهای مشخص شده اگر (W , Z) بهتر از ( X , Y) باشد، پس

با فرض این که مطلوب و بهتر از (xo , yo) باشند داریم:

تابعی که مناسب برای ورودی و خروجی باشد تعریف می شود با مدل های (9) و :(10)

به ترتیب ur , wi به عنوان وزن های مثبت هستند.
تابع مناسب شعاعی را می توان مطابق مدل (5) با استفاده از متغیرهای کمکی ارائه داد، با فرض این که مدل((11 مقدار مثبت بسیار کوچکی می باشد.


از ترکیب مدل های (9) و .(11) مدل (12) دست می آید

اگر از تابع جمعی مناسب با وزن های یکسـان و تـابع تقریبـا شـعاعی مناسـب بـرای خروجـی هـا، بـرای انـدزه گیـری کـارایی (( ) ( ) ) با ماهیت خروجی به صورت مدل (13) می باشد:

پس کارا بودن یا نبودن DMU بستگی به این دارد که بتوان یک DMU مجازی بهتر را در مجموعه امکان تولید
پیدا کرد، که این مشکل با مدل ریاضی (GDEA) ، مدل (14) برطرف میشود.

که در آن مینیموم و ماکسیموم استفاده می شوندبه ترتیب بستگی به این دارد که تابع مناسـب کاهشـی یـا افزایشـی باشـد. کـه دراصل یک مدل DEA اسـت. اگـر ماکسـیموم بیشـتر از پـس باعـث مـی شـود DMU مجـازی بهتـراز کـارا نیسـت درغیـر اینصـورت باشـد و کـارا معرفـی شـود و بنـابراین کاراست. در بخشهای بعدی مدل های DEA با ورودی و خروجی های نا مطلوب را فرمول بندی می کنیم.