بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
مقایسه روش های Anti-windup برای سیستم های تک ورودی-تک خروجی
چکیده
روش های متعددی جهت جلوگیری از پدیده Windup در کنترلر در مراجع پیشنهاد شده است.در این مقاله تعدادی از این روش ها از طریق شبیه سازی کامپیوتری با هم مقایسه شده اند.نتایج نشان می دهد دو روش مبتنی بر تخمین زننده و Conditioning (حالت خاص روش پیشنهادی برای تجزیه کنترلر)برای سیستم های پایدار عملکرد بهتری دارند و روش سنتی نیز نزدیک به آنها عمل می کند. با اینکه روش استفاده شده برای محاسبه بهره در روش مبتنی بر تخمین زننده به پارامترهای مدل سیستم وابسته است ولی وقتی خطای مدلسازی وجود دارد این روش مقاوم می باشد، همچنین نتایج شبیه سازی مشخص نمود که روش اخیر برای سیستم های با D≠0 ممکن است پاسخ مناسب بهمراه نداشته باشد و از اینرو ما پیشنهاد می کنیم از تابع فیلتر شده سیستم که دارای D=0 است برای محاسبه بهره استفاده شود.برای سیستم های ناپایدار روش مبتنی بر تخمین زننده و روش پیشنهادی در این مقاله برای تجزیه کنترلر بهتر عمل می کنند.
کلمات کلیدی:-1محدودیت ورودی -2اشباع Anti-windup -4Windup -3
-1مقدمه
اغلب فرآیندهای صنعتی با محدودیت در ورودی مواجه هستند . المان نهایی کنترل دارای ظرفیت محدود می باشد. برای مثال شیر کنترل تنها می تواند بین دو مقدار حداقل و حداکثر دبی را به فرآیند اعمال کند. اگر کنترلر ورودی خارج از این محدوده محاسبه کند شیر اشباع می شود و به عبارتی دیگر مقدار حدی به فرآیند اعمال می شود. سیستم مدار بسته شکل (1) را در نظر بگیرید. P سیستم مورد بحث با ورودی محدود ، K کنترلر و المان بین آنها نمایانگر محدوددیت ورودی و در این مورد خاص اشباع می باشد.در صورتی که خروجی کنترلر و ورودی سیستم یکسان نباشد، اشباع فعال شده است و اگر در طراحی این محدودیت در نظر گرفته نشده باشد عملکرد کنترلر مناسب نخواهد بود وزمان زیادتری طول می کشد تا عملکرد مورد نظر حاصل شود.همچنین برخی رفتارهای نا مطلوب و در مواردی نوسان در خروجی ظاهر می شود.این پدیده در ابتدا در مورد کنترلر PID مشاهده شده و تحت عنوان Integrator-windup شناخته می شود ولی در مفهوم وسیعتر Windup به اختلال در عملکرد کنترلر در سیستم های با ورودی محدود اطلاق می شود.
اثر Windup به صورت Overshoot بالاتر یا Risetime زیادتر نسبت به حالت بدون اشباع و در موارد شدیدتر به صورت Limit cycle در خروجی می باشد. دلیل بروز این پدیده این است که در زمان فعال شدن اشباع حالت های کنترلر با خروجی مؤثر آن یعنی ورودی سیستم ناسازگار هستند و به عبارتی دیگر کنترلر سیگنال خطایی را دریافت می کند که خروجی حاصل از آن به فرآیند اعمال نمی شود.مطابق تعریف Doyle نیز هر کنترلر با دینامیک کند یا ناپایدار در سیستم های با محدودیت ورودی دچار Windup می شود . [1 ]
روش های طراحی در سیستم های با محدودیت ورودی را می توان به سه دسته تقسیم کرد ،اول روش هایی که پایداری سیستم مدار بسته را تضمین می کنندو شامل روش های پایدار سازی کلی(برای نمونه ( [ 2 ] و نیمه کلی(برای نمونه ( [3]
می باشند.در این روش ها از آنجاییکه از ظرفیت ورودی به صورت مناسب استفاده نمی شود با اینکه پایداری با شرایط خاص مساله تضمین می شود اماعملکرد مناسب ندارند.دوم روش های طراحی MPC است که در طراحی کنترلر اثر محدودیت به راحتی وارد می شود ولی به دلیل نیاز به محاسبات زیاد گران بوده و برای سیستم های کند با زمان نمونه گیری زیاد که اثر محدودیت ها بحرانی باشد مناسب می باشد. دسته سوم روش ها که به روش طراحی دو مر حله ای معروف اند ابتدا کنترلر برای سیستم بدون محدودیت طراحی می شود و سپس برای جبران محدودیت ورودی، از جبرانساز Anti-windup استفاده می شود که به صورت تغییر یا اصلاح کنترلر اولیه عمل می کند .به غیر از روش اصلاح شده IMC که تجزیه کنترلر را در بر دارد دربقیه روش ها پسخور از اختلاف طرفین المان اشباع (یا هر غیر خطی دیگر )در دینامیک کنترلر وارد می شود و در کل هدف کاهش اختلال ناشی از محدودیت، تا حد امکان می باشد. در ادامه مقاله خلاصه ای از روش های Anti-windup به همراه روش پیشنهادی برای تجزیه کنترلر ارائه می شود و سپس مقایسه روش ها از طریق شبیه سازی کامپیوتری بوسیله نرم افزار MATLAB انجام می شود.در پایان بر اساس شبیه سازی های بعمل آمده نتیجه گیری می شود.
-2 روش های Anti-windup
جهت جلوگیری از پدیده windup روش های مختلفی تا کنون استفاده شده است. در زیر مروری کوتاه بر برخی از این روش ها داریم.
-1-2توقف انتگرال گیر: در کنترلر هایی که دارای انتگرال گیر هستند در زمان فعال شدن اشباع، انتگرال گیر مقدار بزرگی می گیرد و باعث بروز Integrator windup می شود.در این روش با توقف انتگرال گیری در زمان فعال شدن اشباع از رشد زیاد از حد انتگرال گیر جلوگیری می شود. [ 4 ]
-2-2روش : Anti-reset Windup در این روش پسخور از اختلاف طرفین المان اشباع ( ( es از طریق یک بهره به ورودی انتگرال گیر اضافه می شود و از رشد زیاد از حد آن جلوگیری می کند و بهره عکس ثابت انتگرال گیری برای آن پیشنهاد شده است. [ 5 ]
-3-2روش : Velocity در این روش رابطه کنترلر به شکل برگشتی نوشته می شود.با استفاده از مقدار اشباع خروجی کنترلر در رابطه کنترلی به جای خروجی کنترلر از Windup جلوگیری به عمل می آید . [ 5 ]
-4-2روش سنتی ( :[ 6 ]( Conventional عنوان بسط مفهوم Anti-reset به سایر کنترلرها شناخته می شود ودر آن es با یک بهره با مقدار زیاد به ورودی خطا در کنترلر اضافه می شود.این روش خیلی مؤثر است ولی در پاره ای موارد مشکل ناپایداری دارد .
-5-2 ساختار اصلاح شده : IMC نمودار استاندارد
IMC در شکل (2) آورده شده است. P و Pm سیستم ومدل فرآیند و Q کنترلر می باشند.
در روش IMC اصلاح شده[ 7 ] کنترلر Q با حل یک مساله بهینه تجزیه می شود.ساختار این روش در شکل (3) نشان داده شده است.Q1 و Q2 از روابط زیر محاسبه می شوند:
که فیلتر f طوری طراحی میشود که یک ماتریس قطری معکوس پذیر باشد و Q1 , Q2 پایدار بوده Q1 فاز
مینیمم نیز باشد.در روش اخیر هدف کمینه کردن اختلاف خروجی فیلتر شده سیستم با اشباع و بدون اشباع می باشد .
-6-2روش مبتنی بر تخمین زننده Observer-) based ):در روش مبتنی بر تخمین زننده[ 4 ]رابطه کنترلر به شکل تخمین زننده نوشته می شود، به این منظور که تخمین مناسبی از حالت های کنترلر در زمان فعال شدن اشباع بدست آید. در مرجع [ 8 ] روشی برای محاسبه بهره تخمین زننده ارائه شده است که استفاده از آن منوط به بدست آمدن جواب حقیقی برای بهره می باشد .ابتدا دینامیک اختلاف سیستم مدار بسته با وبدون اشباع نوشته می شود( P سیستم و A ، B ، C و D ماتریس های سیستم در فضای حالت و Kکنترلر می باشد.)
دینامیک اختلاف حالت های سیستم وکنترلر در دو حالت با اشباع و بدون اشباع به صورت زیر نوشته می شود:
x و xc حالت های سیستم وکنترلر و علامت برای حالت بدون اشباع می باشد.می توان Acl را به صورت زیر تجزیه کرد:
بهره تخمین زننده از رابطه زیر بدست می آید:
و T2 ، nc ستون آخر ماتریس T می باشد.رابطه نهایی کنترلربه صورت زیر است:
در این روش محاسبه بهره ممکن است برای حالت D≠0 پاسخ مناسب ندهد.ما پیشنهاد می کنیم تابع فیلتر شده سیستم در محاسبه بهره وارد شود.در مثال (4) موثر بودن این روش نشان داده می شود.
-7-2روش : Conditioning در روش Conditioning که حالت خاص روش مبتنی بر تخمین زننده می باشد، از ورودی کمکی er به دینامیک کنترلر استفاده می شود به طوریکه با استفاده از آن حالت های کنترلر معادل با حالت های یک کنترلر با خروجی اشباع می شود[ 9 ]
.دراین مورد بهره تخمین زننده برابر است با L=BcDc-1 .همچنین عملکرد این الگوریتم با IMC اصلاح شده با انتخاب Q1=K(∞) یکسان می باشد. رابطه نهایی کنترلر به شکل رابطه (4) به صورت زیر است :
-8-2روش جبرانساز دینامیک : در این روش اختلاف حالت های کنترلر برای سیستم با اشباع وبدون آن به عنوان یک تابع هدف تعریف می شود و پس از حل، دینامیک جدیدی به دست می آید . این مورد نیز مانند روش مبتنی بر تخمین زننده می باشد ،با این تفاوت که به جای بهره استاتیکی یک دینامیک M(s) جایگزین می شود که برای سیستم و کنترلر رابطه ( 3و(4 به شکل زیر ارائه شده است:[ 10 ]
روش اخیر به خطای مدلسازی حساس است و زودتر از دیگر روش ها خروجی سیستم را نوسانی می سازد.
-9-2 روش : Left Coprime Factorization
روشی که ما برای جلوگیری از windup پیشنهاد می کنیم استفاده از تجزیه کنترلر Left coprime factorization) ) می باشد. در مرجع [6 ] روش های جلوگیری ازWindup در قالب ساختار شکل (2-2) گنجانده شده است ،
M و N تجزیه کنترلر از چپ می باشد.
حاصل تجزیه کنترلر با رابطه (4) به صورت زیر می باشد:
که در آن طوری انتخاب می شود که قسمت حقیقی مقادیر ویژه AcL منفی باشد. در این صورت M وN تجزیه کنترلر از چپ (Left Coprime Factorization ) می باشندو دارای دینامیک پایدارمی باشند . [11 ] ما پیشنهاد می کنیم تجزیه در محل قطب های معکوس کنترلر انجام شود (برای سیستم های پایدار نتیجه مناسب حاصل می شود) در این صورت مقادیر ویژه AL در محل قطب های معکوس کنترلر قرار می گیرند می توان نشان داد که عملکرد روش فوق با روش Conditioning یکی است. برای اثبات این مطلب فرض کنید M و N حاصل تجزیه کنترلر از چپ با شند و حالت های دینامیک M را با x1 و N را با x2 نشان دهیم ،در این صورت با تغییر متغیر x=x1+x2 ،معادله مربوط به ساختار شکل 4 به صورت زیر در می آید :
