پاورپوینت فضای فاز و انسامبل میکرو کانونیک

بخشی از پاورپوینت

اسلاید 1 :

سخن اول ز خدا خالق خورشید و مه است
هر چه بر نام وی آغاز نگردد تبه است

اسلاید 2 :

فضای فاز و انسامبل میکرو کانونیک

اسلاید 3 :

بررسی سیستم آماری
Macrostates
Microstates
Position, Velocity,…
V,P,T, J, P, ,…

اسلاید 4 :

هر ماکروحالت بوسیله تعداد ذرات حجم وانرژی در هر لحظه از زمان توصیف می شودمی توان هر ماکرو حالت را
 شامل تعداد زیادی میکرو حالت در نظر گرفت که با گذشت زمان سیستم از یکی به دیگری حرکت می کند لذا باید
 میانگین هر کمیتی را با میانگین گیری روی هر حالت که از آن تحت عنوان انسامبل یاد می شود بدست آورد .

اسلاید 5 :

فضای فاز
در هر لحظه از زمان میکرو حالت یک سیستم کلاسیکی با تعیین مکان وتکانه (سرعت) لحظه ای هر ذره تشکیل دهنده حالت مشخص می شود حال اگر سیستمی با ذره در نظر بگیریم در فضای بعدی به مختصه مکانی و مختصه تکانه نیاز داریم با تبدیل فضای بعدی به فضای بعدی می توان با تعریف نقطه ای در این فضا ( نقطه معرف ) میکروحالت سیستم را توصیف کرد از این فضا ی بعدی تحت عنوان فضای فاز تعبیر می شود.

اسلاید 6 :

روابط هامیلتونی

اسلاید 7 :

تغییر ویژگی های میکرو حالت با گذشت زمان معادل است با طی مسیری توسط نقطه معرف در فضای فازمکان نقطه مورد نظر با توجه به میزان انرژی وحجم سیستم مشخص می شود ومسیر حرکت نقطه در فضای فاز بوسیله  رابطهزیر کنترل می شود که در آن هامیلتونی و انرژی سیستم است و شکل مسیر یک در فضای فاز می باشد با فرض معقولانه تر یا معادل آن شرط زیر: مسیر حرکت در فضای فاز محدود به یک خواهد شد

اسلاید 8 :

میتوان به مجموعه نقاط معرف از فضای فاز(که هر یک بیانگر یک انسامبل هستند)یک چگالی نسبت دادبطوری که بیانگر تعداد نقاط در واحد حجم حول نقطه باشد یعنی: تعداد نقاط معرف وبنابر این مقدار انتظاری یک کمیت فیزیکی برابر است با که می تواند تابعی از و باشد و انتگرال گیری روی تمام فضای فاز انجام گرفته است .
در رابطه فوق تابعی از تکانه ومکان تعمیم یافته است و ممکن است در هر میکرو حالت متغیر باشد

اسلاید 9 :

اگر چه در بررسی آماری علاوه بر پیش بینی خواص تعادلی جسمی که متشکل از تعداد زیادی اجزا است این امکان نیز وجود دارد که به مبحث جنبش شناسی یعنی بررسی آهنگ تغییر خواص جسم وقتی از حالتی به حالت دیگر تغییر می یابد پرداخت ولی این مبحث خارج از حوصله این مقاله است لذا فقط حالتی بررسی می شود که بستگی زمانی درآن مطرح نباشد چنین فرضی با درنظر گرفتن قضیه لیوویل و اینکه کمیت فیزیکی مورد نظر بستگی زمانی نداشته باشد بفرم زیر فرمول بندی شده است:
یعنی چگالی نقاط وابستگی صریح زمانی نداشته باشد که در این حالت می بایست تابعی از شرایط ایستای سیستم مثل انرژی حجم تعداد ذرات تکانه یا تکانه زاویه ای باشد که چون دو مولفه آخر برای سیستم های ایستای عادی ما صفرند پس :

اسلاید 10 :

با فرض دو سیستم هر یک با ذرات و وانرژی های و که در فضای فاز هر یک بوسیله چگالی و مشخص می شوند این دو سیستم با هم بوسیله یک نقطه در فضای توصیف می گردند چون چگالی نقاط در حوالی حالت ترکیبی متناسب با حاصل ضرب چگالی های و می باشد اگر انرژی کل سیستم ها را با و تعداد کل ذرات را با نشان دهیم روابط زیر را بدست خواهیم آورد

اسلاید 11 :

یا معادل با آن که می توان آنرا بفرم زیر دوباره نویسی کرد

اسلاید 12 :

با فرض اینکه و مستقل از و باشند به نتایج زیر خواهیم رسید
انسامبل میکرو کانونی( I )
انرژی وتعداد دستگاههای هرحالت ثابت است دستگاهها یکسان و بدون بر هم کنش می باشند
وبا فرض اینکه مقدار انرژی بین و که در آن نمو بسیارکوچکی
است در این صورت تمام نقاط مجاز در داخل پوسته ای که ضخامت آن بوسیله تعریف
می شود قرار می گیرند و چگالی نقاط بصورت زیر تعریف می شود:
یعنی نقاط فضای فاز فقط می توانند روی پوسته بی نهایت نازکی که با استفاده از انرژی تقریبا ثابت حالت هاتعریف می شود حرکت می کنند و چگالی نقاط درون پوسته ثابت می ماند و البته توزیع انرژی تک دستگاههای هر حالت در این روش بدست نخواهد آمد .

اسلاید 13 :

انسامبل کانونی (II)
با توجه به ثابت بودن تعداد دستگاههای یک حالت در انسامبل کانونی چگالی نقاط از رابطه زیر بدست می آید
چون احتمال پیدا کردن مجمع در حالت انرژی مستقیما با چگالی متناسب است بنابراین به طور خطی وابسته به است ونتیجه می شود :
که در آن و برای سیستم ثابت بوده وچون با افزایش کاهش می یابد در نما برای آن علامت منفی آورده شده است

اسلاید 14 :

انسامبل کانونی بزرگ (III)
چون در این انسامبل و متغیر فرض می گردند می توان از تناسب و نتیجه زیررا بدست آورد :
در این رابطه پتانسیل شیمیایی بوده و پتانسیل بزرگ است.

اسلاید 15 :

مفهوم میانگین گیری انسامبلی
اگر با سیستم های ایستایی سروکار داشته باشیم (که چگالی آنها تابعیت زمانی ندارد)میانگین یک کمیت فیزیکی نیز تابعیت زمانی نخواهد داشت لذا می توان میانگین زمانی این کمیت را در بازه زمانی دلخواه محاسبه کرد واز آنجا که این دو میانگین از هم مستقل هستند می توان ترتیب آنها را عوض کرد .از طرفی میانگین انسامبلی روی تمام حالات مجاز سیستم محاسبه می گردد لذا باید میانگین زمانی در بازه ای انجام پذیرد که سیستم به تمام حالات مجاز وارد شده باشد که چون این امر در زمانهای به اندازه کافی طولانی محقق می گردد می توان مقدار انتظاری یک کمیت را به عنوان میانگین گیری طولانی مدت از کمیت در نظر گرفت که همان مقداری است که از کمیت مذکور بصورت تجربی حاصل می گردد البته باید توجه داشت که سیستم مورد نظر باید دراثر گذشت زمان به تمام حالات وارد شود یعنی سیستم آشوبی باشد.

اسلاید 18 :

یک حجم اختیاری مربوط به فضای فاز را در نظر میگیریم سپس نمایش میدهیم.σ آن را مسدود میکنیم به وسیله حصار کشیدن وبا توجه شود هر نقطه نماینده یک میکرو حالت است.حال آهنگ افزایش نقاط در حجم را با عبارت زیر مشخص می کنیم.
شکل فرضی نقاط نماینده در فضای فاز آهنگ افزایش نقاط در حجم

اسلاید 19 :

جاری میشوند باعبارت زیر داده می شودw از طرف دیگر آهنگ خالصی که نقاط به طرف خارج
بردار سرعت نقاط نماینده در المان سطح
بردار عمود ویکه برواحد سطح
حال طبق قضیه دیورژانس میتوانیم عبارت بالا را برابر معادلش قرار دهیم
آهنگ خروج

اسلاید 20 :

آهنگ خروج
- =
آهنگ افزایش نقاط در حجم
حال میتوانیم تساوی زیر را با توجه به قضیه دیورژانس بنویسیم