بخشی از مقاله
چکیده
با اعمال تبدیل کانونیک بر روی معادله شرودینگردسته وسیعی از پتانسیل های حل پذیر می تواند بدست آورده شوند که حل آنها بر حسب چند جمله ایهای متعامد و یا نمایش رودریگز یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم، که در نظریه اشتورم لیوویل صدق می کند ، بیان می شوند. در این کار ابتدا نشان داده می شود که معادله دیراک برای یک اسپینور باردار که در معرض پتانسیل الکترو مغناطیسی با تقارن کر وی است را می توان به یک معادله دیفرانسیل شرو دینگر گونه نوشت و سپس برای یک مثال معادله دیراک با استفاده از چند جمله ایهای متعامد و نمایش رودریگز حل می شود. همچنین هامیلتونی یک سیستم با جرم موثر وابسته به مکان را که در چند ساختارها مثل چاههای کوانتومی بکار برده می شوند را با استفاده روش تبدیل کانونیک بررسی کرده و سپس یک نمونه از پتانسیل های حل پذیر با جرم موثر متناظر که به چند جمله ایهای لاگر مرتبط می شود بدست آورده می شود.
کلمات کلیدی: تبدیل کانونیک، مدل های کوانتومی حل پذیر، نمایش رودریگز، معادله دیراک، جرم موثر وابسته به مکان
کد دسته بندی :ریاضی فیزیک
مقدمه
مدل های کوانتومی حل پذیر نقش بسیار زیادی در شاخه های متفاوت فیزیک بازی می کنند و حل پذیری به این مفهوم است که مقادیر ویژه و توابع ویژه عملگر هامیلتونی سیستم فیزیکی را می توان به صورت تحلیلی و به فرم بسته بدست آورد . مطالعه این مدل ها به لحاظ فیزیکی جالب و قابل توجه است مثلاً پتانسیل مورس به دلیل اهمیتش در فیزیک مولکولی بسیار مفید و مهم می باشد. مدل های کوانتومی حل پذیر همچنین در بدست آوردن حل های تقریبی مسائل پیچیده مفید می باشند و حل کامل آنها می تواند یک مقیاسی برای برر سی صحت مدل های عددی و تقریبی باشد. از سوی دبگر حل کامل این مسائل خود به تنهائی می تواند از نقطه نظر ریاضی مفید و جالب باشد. به عنوان مثال در سال های اخیر وجود یک جبر لی نهفته شده در سیستم، به عنوان گروه دینامیکی، دلیلی بر حل پذیری این مدل ها می باشد .
از اینرو روشهای متفاوتی در بررسی مدل های حل پذیر ارائه شده است که از جمله مهمترین این روشها می توان به روش فاکتوریزه کردن -1] [3، روش جبر لی [5-4]، روش ابر تقارن در مکانیک کوانتومی و تقارن شکل ناوردا [9-6] و روش تبدیلات کانونیک[11-10] نام برد. در این کار ابتد ا به صورت خلاصه با مرور روش تغییر متغیر و تبدیلات کانونیک سعی می شود معادله شرودینگر در مکانیک کوانتومی را به یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم که در نظریه اشتورم-لیوویل صدق می کند تبدیل و جوابهای آن را بر حسب توابع خاص ریاضی فیزیک مثل هرمیت، لاگر، ژاکوبی و غیره بیان نمود 3 ]و .[10-13 سپس بعضی از کاربرد های این روش که در شاخه های متفاوت فیزیک از جمله در حل معادله دیراک برای پتانسیل های الکترواستاتیکی با تقارن کروی که در مرجع [ 14] بدست آمده است و یا برای سیستم های کوانتومی با جرم موثر وابسته به مکان، که در ماده چگال بسیار کاربرد دارند و در مرجع [15 ] نتایج آن آمده است، ارائه می شود.
تبدیل کانونیک و چند جمله ایهای متعامد
معادله شرودینگر در یک بعد با شرط 2m 1 را به صورت زیر در نظر می گیریم
با اعمال تبدیل کانونیک ، که در آن یک تابع خاص می باشد و در نظریه اشتورم لیویل صدق می کند معادله شرودینگر به یک معادله دیفرانسیل خطی درجه دوم به شکل زیر تبدیل می یابد از سوی دیگر با توجه به رابطه R - g - x - - می توانیم - V - x E را با استفاده از توابع g ، Q و R به صورتزیر محاسبه کنیم:با توجه به عبارت فوق و انتخاب Q و R متناسب با هر تابع خاص، ملاحظه می شود که در سمت چپ رابطه - 4 - یک جمله به عنوان انرژی ثابت می باشد و لذا با ثابت انتخاب کردن هر یک از جملات سمت راست رابطه - 4 - و با حل معادله دیفرانسیل مزبور می توان توابع داخلی - g - x را پیدا کرد و با جا گذاری آنها در - 4 - پتانسیل های حل پذیر V - x - را بدست آورد . این کار در مرجع [10 ] انجام شده است و دسته وسیعی از پتانسیل های حل پذیر متناسب با چند جمله ایهای ژاکوبی، لا گر و هرمیت بدست آورده شد.از سوی دیگر همانطور که قبلاً اشاره شد، تابع موج به صورت ترکیبی از یک تابع خاص F - g - و یک تابع f - x - می باشد که می توان تابع - f - x را با استفاده از تابع داخلی g - x - و - Q - g به صورت Q dg - . 1 1/ 2 exp - - g - f - x - 2 بدست آورد.
همچنین با توجه به تئوری مکانیک کوانتومی ابر تقارنی می توان دید که اگر 0 R - g - x - - فرض شود، آنگاه رابطه ی ریکاتی زیر از رابطه - 4 - بدست می آید که در آن تابع f W - x - ، ابر پتانسیل نامیده می شود و در نتیجه با بررسی ساختار - R - g می توان به نوع توابع خاصی که قادر هستند ما را به سمت پتانسیل هایی به صورت W W 2 هدایت کنند، دست پیدا کرد که در این جا مورد بررسی قرار نمی گیرد. بنابراین با اعمال تبدیل کانونیک در معادله شرودینگر، یک معادله دیفرانسیل خطی درجه دوم بدست می آید که در نظریه اشتورم لیوویل صدق می کند به طوری با اعمال شرایط متفاوت، می توان اکثر چند جمله های متعامد ریاضی فیزیک یا توابع خاص مربوطه را به آن مرتبط و بر حسب نمایش رودریگز چند جمله ایهای متعامد نوشت. در دو بخش بعدی دو مثال کاربردی از روش مزبور ارائه می کنیم که یکی در حل معادله دیراک برای پتانسیل های با تقارن کروی و دیگری مطالعه هامیلتونی سیستم های با جرم موثر وابسته به مکان می باشد.
معادله دیراک و پتانسیل های با تقارن کروی
معادله شعاعی دیراک در واحد اتمی برای اسپینور باردار در یک میدان الکترومغناطیسی چهار مؤلفه ای با تقارن کروی به صورت زیر می باشدکه در آن ثابت ساختار ریز، انرژی نسبیتی، k جفت شدگی اسپین مدار و توابع شعاعی V - r - و w - r - به ترتیب پتانسیل الکترواستاتیکی و میدان پیمانه ای هستند. معادله - 6 - شامل دو معادله دیفرانسیل مرتبه اول جفت شده برای دو مؤلفه اسپینوری شعاعی است. با حذف مؤلفه پایین می توان یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم برای مؤلفه بالایی بدست آورد که شامل مشتقات مرتبه اول است. برای این کار ابتدا یک تبدیل یکانی بر روی توابع موج اسپینوری عمال می گردد و سپس با در نظر گرفتنخواهیم داشت که ثابتهای اختیاری می باشند. ازمعادله - 7 -
ملاحظه می شود که اسپنور بالا در یک معادله دیفرانسیل شرو دینگر مانند صدق می کند لذا با انتخاب مقادیر خاص از پتانسیل V - r - می توان شرایط ابر تقارنی - 5 - را بدست آورد. به
عبارت دیگر تابع موج اسپینوری بالا را می توان بر حسب نمایش رودریگز و چند جمله ایهای متعامد محاسبه نمود . معادله - 8 - نیز می تواند اسپینور پایین را از روی ا سپینور بالا محاسبه نم اید . در مرجع [14] این کار برای پتانسیل نوسانگر سه بعدی و پتانسیل مورس انجام شده است که در این کار فقط نتایج پتانسیل نوسانگر سه بعدی ارائه می گردد. در واقع با تعریف کمیت های زیر که در آن و پارامترهای ثابت و اعدادی صحیح فرض شده اند می توان پس از انجام محاسبه لازم، به معادله شرودینگر مؤلفه اسپینوری بالا برای پتانسیل نوسانگر شیفت داده شده با طیف انرژ 1 - رسید. ضمن اینکه ملاحظه می شود که پتانسیل مزبور در شرط ابر تقارن با ابر پتانسیل صدق می کند . تابع موج غیر نرمالیزه نیز برای معادله دیراک با پتانسیل نوسانگر مؤلفه اسپینوری بالا
