دانلود مقاله مدلسازی سیستم گردش خون در شریانها با استفاده از متد المان محدود

بخشی از مقاله

چکیده :
هدف اين تحقيق شبيه سازي رفتار سيستم گردش خون طوري که بتواند جنبه هاي کلي اين رفتار و به ويژه رفتار درخت شرياني را بازگو کند، می باشد.. به طور کلي شبيه سازي هر پديده واقعي در صورتيکه به صورت مطلوبي انجام گيرد مي تواند در شناخت بررسي و تحليل آن ابزار اصلي باشد. امروزه علم شبيه‌سازي را در شاخه هاي مختلفي مي تواند ديد و علم مهندسي پزشکي دارای ابزارهاي شبيه سازي پديده‌هاي زيستي در بدن آدمي مي باشد.

سيستم قلب و عروق يکي از زمينه هايي است که از ديرباز توجه بسياري از محققين به بررسي و شناخت رفتار آن معطوف بوده است و از آنجا که اين سيستم به صورت تعاملي از اعضاي تشکيل دهنده اش عمل مي کند، بررسي آن به صورت سيستمي از اعضايش کارآمدتر واقع مي شود. از اين رو است که در تاريخچه تحقيق انجام شده در اين موضوع مي توان ردپاي ايده «ديدگاه سيستمي» را مشاهده کرد ولي پيچيدگي مکانيکي رفتار آن مانعي در اين راه بوده و جهت غلبه بر اين مانع ديدگاههايي که آن را به صورت مدارهاي الکتريکي يا اجزاي لامپ شده در نظر گرفته اند، وارد عمل شده اند. ظهور روشهاي عددي در علم مکانيک ابزار ديگري را در اين باب در اختيار محققين قرار داد. يکي از اين روشها، روش اجزاي محدود است که در اين تحقيق نيز مورد استفاده قرار مي گيرد.

با داشتن ابزاري که بتواند رفتار سيستم گردش خون را مدل کند، مي تواند تاثير بيماريها بر رفتار آن را مدل کرد و از اين راه ديد روشني از تاثيرات آنها بر روي سيستم داشته و راهکار مناسبي در جهت درمان در پيش گرفت. از نظر اهداف آموزشي، مي تواند با کمک تجهيزات و لينک کردن اين تجهيزات با ابزار موجود جهت شبيه سازي، عملا نمونه شبه زنده اي از اين سيستم را ارايه نمود. از نظر اهداف پيش بيني کننده، چنين ابزاري مي تواند براي پيش بيني اتفاقاتي که هنگام برخي اعمال جراحي مانند عمل باي پس در جراحي قلب و يا در برخي اعمال جراحي رگهاي مغز، در تغيير فشار و جريان خون، رخ مي دهند، مورد استفاده قرار گيرد.

مروري بر کارهاي پيشين

در طي سه دهه گذشته مطالعات متعددي براي آناليز جريان خون در شريانهاي تکي و انشعابي صورت گرفته بايد به مطالعه womersly در سال 1955 Atabekو Lew 1966 Cox در 1968 و Rubinow وKeller 1976، Bauer و Buses در 1975، Schwerdt و Constantinescu در 1976Bauerدر 1985 ، Holestein در سال 1984-1980 وGiddens در سال 1983 Sekhon , در 1985 در اين زمينه به تحقيق پرداخته اند.و به عنوان نتيجه نگرش ارزشمندي در ارتباط با تاثير پارامترهاي مختلف مانند ويسکوزيته خون و الاستيسيته رگهاي خوني و هندسه ورودي، ميدان مغناطيسي و تنگ شدگي يا گرفتگي حاصل شده است و در اين باره بحث شده است
اين چنين مطالعاتي از نظر کاربردهاي عملي به دليل اينکه سيستم شرياني واقعي انسان از تعداد زيادي اتصالات رگها با طولهاي مختلف و مقاطع مختلف تشکيل شده محدود شده است بنابراين نمي توان به عنوان يک رگ تنها با آن برخورد کرد.
مکدونا لد در سال 1974 از مدل ويندکسل براي تعيين برون دهي قلبي با فرض سرعت موج پالسي نامحدود استفاده کرده است و فيلر در سال 1964 و 1966 گردش کوچک سگ به عنوان يک مسير چهارتايي که هر کدام به عنوان يک تيوپ هم جنس با ديواره نازک که ايده ال مي باشند مدل کرده است. در سال (1965 و 1966) يک مدل را براي رگهاي سيستميک از سگ شامل 41 بلوک 4 مسيره که هر کدام از تيوبهای هم جنس با ديواره نازک مي باشد پيشنهاد داده است. مدلي که به وسيله تيلور در سال 1966 پيشنهاد داده است شامل يک درخت که شاخه هايش داراي طولي با توزيع رندوم بوده و قطر داخلي لوله مرتبط بصورت بخش به بخش به درخت شرياني واقعي نميباشد.

نوردرگراف (در سال 1956 تا 1963) يک مدل شبه الکتريکي از درخت شرياني سيستميک که شامل 113 RLC مي باشد پيشنهاد داده است.
وسترهوف و نوردرگراف در سال 1968 مدل الکتريکي را به صورت اشتراکي با چندين بهينه سازي که از 113 تا 123 تعداد سگمنت ها را افزايش دادندارائه دادند.

(1980) Avolio يک مدل پيچيده اي که شامل 128 شاخه بود فرموله کرد. او از مقايسه الکتريکي براي آناليز تاثيرهاي امواج منتشر شده تحت شرايط جريان ضرباندار استفاده کرد.
اثر متقابل واقعي از حرکت به سمت جلو و انعکاس موجها همانطور که توسط شيرازي در سال 1972 مشاهده شده بود در نظر گرفته نشده بود.

مقدمه:
قابل توجيه است که در مدلسازی از مدلهاي رياضي بيولوژيکي واقعي استفاده شود که تا حد ممکن نزديک به ساختار پيچيده سيستم قلبي و عروقي انسان شبيه سازي مي شود کارهاي ارائه شده در چنين مدلهايي خيلي نادر هستند. به اين دليل که بتوانند در زمان واقعي يک تعداد زيادي از معادلات را در ارتباط با حل سيستم‌هاي پيچيده به صورت همزمان انجام دهند
محدوديت گفته شده امروزه تا حد زيادی از بين رفته و با کامپيوترهاي مدرن امروزي تعدادي از مدلهاي تقريبي براي آناليز جريان و خون براي سيستم قلبي و عروقي در پستانداران استفاده شده است. در اين کار از روش ايستای مدل المان محدود [FEM] براي مدلسازي جريان ايستا خون از طريق سيستم شرياني انسان با بحث کردن در رگهاي انفرادي به صورت يک تيوپ الاستيک در نظر گرفته شده است و اثرات ورودي صرفنظر شدهاس و خون به عنوان يک مايع ويسکوز نيوتني فرض شده است.در واقع ارزش و اهميت کاربردي و تحقيقاتي که هدف انجام اين تحقيق بوده به اندازه ای است که تحقيقات و پايان نامه هاي زيادي از ديرباز تا کنون به آن پرداخته شده است.

همانگونه که در قسمت قبل گفته شد، از ديرباز تحقيقات متعددي در جهت بررسي و مطالعه رفتار اين سيستم، حلهاي تحليلي معادلات حاکم بر رفتار آن غير ممکن بوده و به همين دليل در گذشته يا از ديدگاه لامپ کردن اجزاء اين سيستم و يا مدلسازي آنها توسط مدارهاي الکتريکي استفاده شده است.
مدل ويندکسل اساس تحليلهاي مبتني بر لامپ کردن مي باشد. در اين مدل سيستم عروقي به صورت يک محفظه الاستيک در نظر گرفته شده و فشار خروجي صفر در نظر گرفته مي شود. با اين فرضيات مي توان رابطه دبي ورودي، فشار ورودي و دبي خروجي را به سادگي به

دست ‌آورد. همچنين مدلهايي با توسعه دادن مدل ويندکسل ساخته شده است.
در مدلهاي الکتريکي از تشابه معادلات حاکم بر جريان خون و معادلات حاکم بر جريان در خطوط انتقال جريان الکتريسيته استفاده مي کنند.
ديدگاه لامپ کردن و مدل کردن الکتريکي اجزاي سيستم قلب و عروق به دليل از بين بردن ماهيت سيستم نمي توانند رفتار آن را به صورت واقعي توصيف کنند چرا که مدلسازيي با ساده سازيهاي غير قابل اجتناب همراه است که با واقعيت رفتار سيستم قلب و عروق همخواني ندارند.
با ظهور روشهاي عددي در مکانيک سيالات، محققين اين ابزارها را براي بررسي رفتار سيستم عروقي بکار برده اند. روش تفاضل محدود رينز و همکارانش (1974) و روش المان محدود پورنتا و همکارانش (1986)، از جمله اين ابزار مي باشند. اين روشها بر پايه تخمينهاي مکاني و زماني معادلات بنيادي حاکم بر جريان خون بوده و از اين نظر قادرند با حفظ ماهيت سيستم (بر خلاف دو ديدگاه پيشگفته قبلي) به بررسي آن بپردازند. با اين حال محدوديت هاي سخت افزاري يعني محدوديتهاي موجود در توانايي رايانه ها ضعف ذاتي اين روشهاست. جهت غلبه بر اين ضعف

معادلات بنيادي ساده سازي مي شوند و اين ساده سازي از طريق مدل کردن سيستم با فرضياتي درباره خصوصيات آن صورت مي گيرد. اينجاست که خطاي مدلسازي که مي تواند يک روش محاسباتي را با مشکل جدي روبرو کند وارد کار مي شود.
آنچه تحقيق انجام شده را از تحقيقات گذشته متمايز مي کنددر اين است که:
1- تاثير غير نيوتني بودن خون در مدلسازي شبکه هاي شرياني را بررسي مي کند.

2- مطالعاتي که در گذشته انجام گرفته اند اغلب شريانهاي يک اندام خاص و يا کل بدن را مدلسازي کرده اند حال آنکه در اِين تحقيق مي توان هر شبکه دلخواه از شريانها را توسط اين روش مدل کرد.ودر شبيه سازي شريانهاي يک اندام، چند اندام و يا کل بدن بکار رود.

روش مدلسازي:
به دليل پيچيدگيهاي موجود در پديده ها و سيستم هاي واقعي، بررسي آنها به طور مستقيم ممکن نبوده و لازم است آنها را از فيلتر مدلسازي عبور داد. اولين مرحله مدلسازي، مدلسازي فيزيکي است که در آن از پاره اي از خصوصيات فيزيکي پديده مورد بررسي صرف نظر شده و مشخصات بارزي از سيستم که مورد بررسي هستندبه طوري که به زبان رياضي قابل بيان باشند، مدل مي شوند. در مرحله بعد رفتار مدل حاصل توسط روابط رياضي بيان مي شود که مدلسازي رياضي ناميده مي شود.
سيستم قلب و عروق از ديدگاه مهندسي با چنان پيچيدگيهايي همراه است که بررسي آن به طور مستقيم غيرممکن بوده و مدلسازي آن ضروري مي باشد. در مرحله مدلسازي فيزيکي، با توجه به اينکه هدف ما بررسي رفتار جريان خون در شريانها مي باشد، از اجزايي مانند قلب، مويرگها و گره هاي لنفاوي صرف نظر شده تنها شريانها مورد توجه قرار مي گيرند.

از سويي به دليل وجود تعداد زيادي شريان در بدن و به دليل عدم وجود اطلاعات کافي از جزئيات خواص و رفتار مکانيکي آنها و به ويژه نقش عمده اي که شريانهاي اصلي در وظيفه خونرساني دارند تنها اين شريانها مورد توجه قرار مي گيرند. با اين ديدگاه، مجموعه اي از شريانهاي الاستيک ايده آل متصل به هم با عنوان درخت شرياني حاصل مي شود. چنين مدلي در بسياري از مراجع به عنوان مدلي قابل قبول از سيستم شرياني کل بدن پذيرفته شده و مورد استفاده قرار گرفته است. چنانچه بررسي شريان خاصي از بدن مورد نظر باشد مي تواند مدلسازي مشابهي را در مورد آن اعمال نمود. در ادامه نمونه اي از اين مدلها که در مورد شريان فمورال و انشعابهاي آن صورت گرفته ارايه مي شود.
هرچند فرض شريان الاستيک ايده آل در نوع خود بسيار دور از واقعيت است. ليکن

جهت مدلسازي رياضي لازم است فرضيات ساده کننده ديگري در مورد رفتار جامداتي آن و رفتار سيالاتي خون اتخاذ نمود. از اين رو فرض مي شود رفتار حالت ديواره شريان در مقابل فشار خون مشخص است و خون به صورت يک سيال عمل مي کند.
در درخت شرياني کل بدن. جزييات درباره شماره شريانها که در ادامه آورده شده است.در اين بحث به بررسي فيزيک جريان خون داخل شريان انشعابها پرداخته مي شود.

شکل (1): انشعابها درشریانها بالا نشان داده شده است .

معادلات حاکم بر جريان خون در يک درخت شرياني:
همانگونه که در بحث قبلی اشاره شد جريان خون در شريانها از دو ديدگاه جامداتي و سيالاتي قابل بررسي است. بحث جامداتي به بررسي رفتار ديواره شريان در تعامل با فشار و سرعت خون مي پردازد و بحث سيالاتي به رفتار حاکم بر ماهيت و جريان خون و تعامل اين رفتار با رفتار جامداتي شريان.

پيچيدگيهاي حاکم بر تعامل واقعي جريان خون و رفتار ديواره شريان آنچنان بالاست که اتخاذ فرضهاي ساده کننده اي در مورد خصوصيات و رفتار مکانيکي و رفتار سيالاتي خون را ناگزير مي نمايد. اين فرضيات ساده کننده، بسته به هدف مطالعه اختيار مي شوند.
از جمله روشهای بررسی شده در مقالات مختلف معادلات پيوستگي و بقاي مومنتوم می باشد.

معادلات حاکم بر پيوستگي و بقاي مومنتوم
در اين بخش به بررسي معادلات حاکم بر جريان خون مي پردازيم که از اين به عنوان روش مناسب برای شبيه سازي فشار و سرعت جريان که زمان محاسبه و دقت نتايج در مقايسه با امکانات سخت افزاري موجود در اماکن درماني و آموزشي قابل قبول باشد اشاره شده است. به اين دليل جريان خون داخل شريان به صورت يک بعدي در نظر گرفته مي شود. به اين ترتيب از مولفه هاي سرعت در دو راستاي عمود بر محور شريان صرف نظر مي گردد. از طرفي با توجه به ميزان تغييرات فشار سيستم گردش خون مي توان خون را يک سيال تراکم ناپذير در نظر گرفت. با اين فرضيات رابطه هاي پيوستگي و مومنتوم حاکم بر جريان خون در يک شريان به صورت زير حاصل مي شوند.
(1)

(2)
در اين روابط، A سطح مقطع عرضي شريان، V سرعت خون در راستي محوري، P فشار خون، چگالي خون، نيروي برشي بر روي ديواره به ازاي واحد طول آن x مختصات محوري و t زمان مي باشند.. براي مشخص شدن رفتار ديناميکي خون، لازم است روابط A و بر حسب فشار و سرعت مشخص باشند. در بخشهاي بعدی درباره اين دو کميت صحبت مي شود.

معادلات حاکم بر انشعابها
در سيستم گردش خون (مدل نشان داده شده در شکل (1) انشعابهاي دو يا چندگانه به چشم مي خورد به دليل مدلسازي يک بعدي جريان خون، معادلات (1) و (2) در اين انشعابها صادق نيست. برخي از مراجع که به بررسي اين انشعابان پرداخته اند اقدام به مدلسازي سه بعدي جريان خون با استفاده از معادلات ناوير- استوکس نموده اند که کاربردي براي مدلسازي يک بعدي ندارد.
لذا براي بيان معادلاتي در انشعابها که با فرض يک بعدي بودن جريان خون و در نتيجه معادلات (1) و (2) سازگار باشند، اتخاذ فرضهايي درباره رابطه فشارها و دبيها در شاخه هاي مادر و دختر، (شکل2) ضروري است.

شکل2: شکل شماتيک يک انشعاب. شاخه هاي مادر و دختر در اين شکل مشخص شده اند.

بر اساس رابطه پيوستگي لازم است دبي خروجي شاخه مادر با مجموع دبي هاي ورودي به شاخه هاي دختر مساوي باشد. به عبارت ديگر:
(3)
در اين رابطه Vp , Ap به ترتيب سطح مقطع و سرعت در خروجي شاخه مادر، Vd , Ad به ترتيب سطح مقطع و سرعت در ورودي شاخه دختر و n تعداد شاخه هاي دختر مي باشد.
همچنين بايد رابطه اي بين فشار در گره خروجي شاخه مادر و گره ورودي شاخه هاي دختر بيان کرد. از آنجا که سرعت بين گره خروجي شاخه مادر و گره ورودي شاخه هاي دختر تغيير مي کند، طبق رابطه برنولي، فشار اين گرهها نيز متفاوت است ولي چون فشار ديناميکي خون بخش

کوچکي از فشار ناپاياي خون را تشکيل مي دهد مي توان از اين تغييرات در محل انشعاب صرف نظر کرده و فشار در گره خروجي شاخه مادر و گرههاي ورودي شاخه هاي دختر را يکي گرفت. با توجه به اينکه به عنوان نمونه حداکثر سرعت خون در آئورت بالا رونده و در محدوده سرعت 7.1-14.3 m/s مي باشد و از سوي حداقل فشارخون 8000Pa است، در نتيجه تغييرات فشار ديناميکي در مقايسه با فشار ناپايا قابل چشم پوشي است. بنابراين:
(4)
که P معرف فشار و زيرنويسهاي d , P به ترتيب معرف شاخه مادر و شاخه هاي دختر و I معرف شماره شاخه دختر مي باشد.
معادلات (1)، (2)، (2) و (2) معادلات اصلي مورد استفاده در تحليل يک مدل شرياني فاقد گرفتگي مي باشند.

رابطه بين فشار خون و سطح مقطع شريان
در واقع ديواره شريان به صورت يک جسم ويسکو الاستيک رفتار مي کند، يعني رفتاري مخلوط از سيال و جامد دارد. در شريانهاي بزرگ (که مورد نظر ما هستند)، در محدوده فشار و دبي فيزيولوژيک، ويسکوالکتريسيته قابل صرف نظر بوده، يک مدل ويسکوالاستيک براي شريانهاي کوچک، در نزديکي مويرگهاي (شريانهاي ماهيچه اي) مناسب است. از اين رو در اين جا فرض ساده کننده ديگري اتخاذ شده و شريان به صورت يک جسم الاستيک در نظر گرفته مي شود. با اين فرض روابط متعددي در مراجع جهت بيان ارتباط تغير سطح مقطع شريان در مقابل فشار خون، که از آن با عنوان معادله حالت اسم برده مي شود، پيشنهاد گرديده است در ادامه به چند مورد از اين روابط اشاره مي کنيم.

مدل تحليلي رابطه فشار- سطح مقطع
اين مدل با فرض کردن شريان به صورت يک استوانه با قطر يکنواخت، جدار نازک و داراي ماده الاستيک خطي ايزوتوپ با استفاده از تئوري الاستيسيته، معادله حالت را به صورت زير بيان مي‌کند.
(5)
که در اين رابطه تغيير شعاع شريان در پاسخ به تغيير فشار خون، P تغيير فشار خون، R0 شعاع اوليه شريان، v ضريب پواسون، E مدول الاستيک و h ضخامت شريان مي باشند.

مدل استريتر
استريتر و همکارانش از رابطه زير براي بيان معادله حالت استفاده کرده اند:
(6)
در اين رابطه P فشار خون، P0 فشار اوليه خون، A(P0.x) سطح مقطع، d0 قطر اوليه، h0 ضخامت اوليه و E مدول يانگ شريان مي باشند. در واقع اين معادله فرم ساده شده اي از مدل تحليلي با حذف ضريب پواسون مي باشد.

مدل رينز:
رينز و همکارانش رابطه زير را به عنوان معادله حالت پيشنهاد کرده اند:
(7)
که K ضريبي است که به صورت تجربي تعيين شده و بقيه پارامترها مانند مدلهاي قبلي مي باشند.

مدل اسکالاک:
طبق اين مدل که توسط اسکالاک ارايه شد معادله حالت به صورت زير مي باشد.
(8)

که در اين رابطه پارامتري است که توسط آزمايشات بر روي رگ تعيين مي شود. Ed مطابق رابطه زير، الاستيسيته قطري رگ است:
(9)
بر اساس آزمابشات انجام گرفته، را مي توان با دقت خوبي از رابطه زير تقريب زد:
(10)
بقيه متغيرهاي به کار رفته در اين معادلات در معادله (6) تعريف شده اند.
مدلهاي مشابه ديگري در مراجع پيشنهاد شده است که اين بحث مجال پرداختن به آنها نيست

معادله حالت کلي:
رابطه حالت به صورت زير مورد استفاده قرار گرفته است که سري تيلور سطح مقطع- فشار، حول فشار اوليه P0 با حفظ جملات تا مرتبه 2 مي باشد:
(11)
بدين ترتيب ضمن ساده کردن عملياتهاي محاسباتي، مي توان با انتخاب مناسب ضرايب C1 , C0 بسياري از معادلات حالت پيشنهاد شده در مراجع را به خوبي تخمين زد. شکل (3) برگرفته از مرجع، رابطه تخمين زده شده استريتر، رابطه رينز و رابطه تخمين زده شده رينز را مقايسه مي کند.

شکل3 مقايسه معادلات حالت ارتباط سطح مقطع- فشار. خط ممتد معرف رابطه تخمين زده شده استريتر، منحني خط- نقطه رابطه رينز، (7) با P0=13.3Pa و K=0.1174 و منحني خط بريده رابطه تخمين زده شده رينز مي باشند.

همان طور که در اين شکل ديده مي شود، در فشارهاي عملي مورد نظر، تخمينهاي انجام شده توسط معادله (11)، از دقت قابل قبول برخوردار است. تفاوت نسبت به دست آمده از روابط آورده شده در اين شکل، کمتر از 4% مي باشد.
با داشتن معادله حالت، توسط سري تيلور، ضرايب C1 , C0 به دست مي آيند.
سري تيلور تابع f(x)، حول نقطه a با حفظ جملات تا مرتبه دوم به صورت زير نوشته مي شود.

(12)
که f// , f/ به ترتيب مشتق اول و دوم f نسبت به x در نقطه x=a مي باشند. با توجه به رابطه بالا، ضرايب C1 , C0 به ترتيب عبارتند از:

(13)
(14)
روابط رياضي استخراج اين ضرايب براي مدل تحليلي در ضميمه «د» آمده است. براي اين مدل داريم:
(15)

با عملياتهاي مشابه براي مدل استريتر داريم:
(16)
و براي مدل اسکالاک:
(17)

معادله حالت خون:
همانگونه که قبلا گفته شد، براي تکميل روابط (1) و (2)، لازم است تنش برشي به صورت تابعي از سرعت و فشار مشخص شود، بدين منظور بايد معادله ارتباط دهنده تنش برشي خون و سرعت آن معلوم باشد.
1-در نرخ برشهاي پايین، ويسکوزيته ظاهري به مقدار چشمگيري افزايش مي يابد طوري که گاهي داراي «تنش تسليم» است.
2-در نرخهاي برش بالا ويسکوزيته ظاهري کوچکتر از آنچه در نرخهاي برش پايين است، مي‌باشد. از اين دو رفتار به تاثيرات «برش پايين» و «برش بالا» ياد مي شود.
خون يک سيال غير نيوتني ويسکوالاستيک مي باشد. صرف نظر از خصلت ويسکوالاستيک خون، به عنوان يک فرض قابل قبول در بسياري از مراجع پذيرفته شده است. صحت اين فرض وقتي روشن مي شود که در مي يابيم در شريانهاي با قطر بزرگ که تنش برشي بالاست، خون به صورت نيوتني عمل مي کند. به همين دليل در اين مبحث رفتار ويسکوالاستيک خون صرف نظر گرديده است. از سويي، در مراجع در دسترس ما، روابط حاکمي که براي رفتار غيرنيوتني خون مطرح شده اند، بر اساس فرض لايه اي بودن جريان خون مي‌باشند. بنابراين لايه اي بودن خون، يکي از فرضها در بيان معادلات حالت مورد استفاده مي باشد.
در بعضی از مراجع روابط مورد استفاده به عنوان معادله خون به تفضيل مورد بررسي قرار گرفته اند
مدل تواني:
در اين مدل رابطه تنش برشي و نرخ برش به صورت زير بيان مي شود:
(19)
که تنش برشي، نرخ برش و يک ضريب بدون بعد مي باشند. وقتي n=1، مدل به حالت نيوتني برمي گردد. مزيت اصلي اين مدل سادگي آن مي باشد. از معايب آن عدم وجود يک تنش تسليم براي شروع جريان و بينهايت بودن ويسکوزيته ظاهري در اين حالت مي باشد.

مدل کيسوني:
طبق اين مدل رابطه تنش برشي و نرخ برش به صورت زير مي باشد:
(20)

که تنش برشي، نرخ برش و يک ثابت بي بعد وابسته به هماتوکريت خون (درصد حجمي سلولهاي قرمز به کل خون) و تنش تسليم مي باشد.
مدل کيسون نه تنها با نتايج تجربي همخواني دارد، بلکه در يک محدوده وسيع از نرخهاي برش صادق است. محققين کاربرد رابطه کيسون را در محدوده نرخ برش 2 تا 100000 s-1 با کاربرد يک سري از ويسکومترها توضيح داده اند. نتايج نشان داده اند که با کاربرد رابطه کيسون، اين امکان وجود دارد که داده‌هاي ويسکوزيته خون به دست آمده در محدوده هاي برش 5 تا 200 s-1 تا نرخهاي برش 10000 تا 100000 s-1 را با کمتر از 5 درصد خطا، ميانيابي کرد.

بايد توجه داشت fs در رابطه (2)، نيروي برشي به ازاي واحد طول لوله است و در روابط (18) تا (20) تنش برشي است. براي به دست آوردن fs موجود در رابطه (2)، بايد مقدار تنش برشي را در ديواره به دست آورده و از رابطه حاصل روي محيط لوله انتگرالگيري کرد.
ترم نيروي برشي به ازاي واحد طول، در يک مدل دو يا سه بعدي در جريان خون وارد مي شود. ولي در يک مدل يک بعدي، به دليل صرف نظر از تغييرات سرعت محوري لازم است يک پروفيل سرعت محوري فرض کرد. مبناي اين فرض را حل معادله مومنتوم در حالت پايا قرار مي دهيم.
معادله مومنتوم براي جريان استوانه اي با شعاع r از سيال داخل يک لوله بدون ترمهاي مشتق زماني و شتاب جابه جايي عبارت است از:
(21)
در اين رابطه تنش برشي، r شعاع استوانه سيال و گراديان محوري فشار مي باشند.
براي يک سيال نيوتني،
(22)
با قرار دادن تنش برشي ا معادله (22) در معادله (21) و انجام انتگرالگيريهاي مربوط به دست مي‌آوريم:
(23)
با اعمال شرط مرزي صفر بودن سرعت در ديواره، به دست مي آوريم:
(24)
در اين رابطه R شعاع لوله مي باشد.
با انتگرالگيري از رابطه (24) روي سطح مطع لوله، ارتباط و سرعت متوسط به صورت زير به دست مي آيد:
(25)

که A سطح مقطع لوله و متوسط محوري مي باشند.
اکنون با قرار دادن از معادله (25) در معادله (24) به دست مي آوريم:
(26)
بدين ترتيب پروفيل سرعت مطلوب به دست مي آيد. با استفاده از رابطه (18)، اندازه تنش برشي در ديواره عبارت است از:
(27)
ولي چون نيروي برشي به ازاي واحد طول در ديواره مورد نظر است، رابطه فوق را روي محيط لوله ضرب مي کنيم:

(28)
به اين ترتيب نيروي برشي به ازاي واحد طول مورد استفاده در رابطه (2) به دست مي آيد
براي يک سيال غيرنيوتني رابطه (21)، برقرار است ولي رابطه (22) را بايد با رابطه حالت آن سيال عوض کرد با همان روالي که براي يک سيال نيوتني طي شد، پروفيل سرعت و نيروي برشي به ازاي واحد طول به دست مي آيند.
براي يک سيال تواني، پروفيل سرعت به صورت زير مي باشد:
(29)
که n همان n رابطه (19) است. با انجام عملياتهاي مشابه آنچه براي يک سيال نيوتني گذشت، به دست مي آوريم:
(30)
رابطه حاصل را مي توان به کمک ارتباط سطح مقطع (و در نتيجه شعاع) با فشار بر حسب سرعت و فشار بيان کرد.
وارد کردن نيروي برشي به ازاي واحد ژول به دست آمده از معادله (30)، در رابطه (2)، ما را به انجام محاسباتي با هزينه اي بالا در مقايسه با ارزش فيزيکيشان، وا مي دارد. از سويي چون براي يک سيال غيرنيوتني با معادله حالت متفاوت، اين عملياتهاي محاسباتي تفاوت مي کنند، عملا امکان استفاده همزمان از چند معادله حالت در تحليل وجود نخواهد داشت. به اين دليل در اين مبحث، ايده سيال شبه خطي استفاده مي شود. به اين ترتيب که بر اساس معادله حالت سيال، يک ويسکوزيته ظاهري به دست مي آيد که با ويسکوزيته ظاهري در رابطه (22) معادل است. اين نحوه برخورد با خصلت غيرنيوتني خون، مي باشد.
براي تبيين موضوع، فرض کنيد معادله حالت يک سيال غيرنيوتني به صورت زير باشد:
(31)
چنانچه اين رابطه را به صورت زير بنويسم،
(32)
که در آن

(33)
به فرم شبه خطي معادله حالت (32)، مي رسيم. به دست آمده از رابطه (33)، ويسکوزيته ظاهري ناميده مي شود. با اين تريب مي توان از همان روال استخراج معادله (28) ولي با ويسکوزيته اي که از رابطه (33) به دست مي آيد و پروفيل سرعت مربوط به سيال مورد نظر، استفاده کرد. چون در اين حالت ويسکوزيته تابعي از سرعت (حل) است، بايد از يک الگوريتم تکراري براي ترم نيروي برشي به ازاي واحد طول در معادله (2)، استفاده کرد.
اکنون نحوه استخراج در معادله (33) را براي يک سيال تواني و يک سيال کيسوني توضيح مي دهيم.

همانطور که گفتيم براي يک مدل تواني پروفيل سرعت به شکل رابطه (29) مي باشد که در زير مجددا آورده مي شود:
(29)
با انتگرالگيري رابطه بالا روي سطح مقطع لوله، سرعت متوسط در لوله را به صورت زير به دست مي‌آوريم:
(34)
با قرار دادن رابطه (35) در رابطه (29) پروفيل سرعت را به صورت زير به دست مي آوريم.
(36)
اکنون مي توان نرخ برش در ديواره را به صورت زير به دست آورد:
(37)
با توجه به معادلات (19)، (33) و (37)، ويسکوزیته ظاهري يک سيال تواني را به صورت زير به دست مي آوريم:
(38-1)
اکنون توجه کنيد که اگر توان n-1 را به صورت کسر در نظر بگيريم، در صورتيکه منفي، x فرد و y زوج باشد، چون نمي توان از يک عدد منفي راديکالي با فرجه زوج گرفت، مدل تواني نمي تواند بکار رود و از اين رو فرض مي کنيم همواره توان x زوج است. بدين ترتيب رابطه (38-1) به صورت زير در مي‌آيد:
(38-2)
توجه شود که طبق رابطه (19) حداقل در ديواره که مورد نظر ماست، x بايد زوج باشد زيرا طبق شرط عدم لغزش در ديواره مقدار در اين ناحيه منفي است. در نتيجه فرض اتخاذ شده قابل قبول است.
تنش برشي عبارت است از:
(39)
اکنون براي به دست آوردن نيروي برشي به ازاي واحد طول، مشابه روال طي شده براي سيال نيوتني، تنش برشي را در محيط لوله ضرب مي کنيم:
(40-1)
مقدار نيروي برشي به ازاي واحد طول مورد استفاده در رابطه (2) با ضرب عبارت فوق در يک منفي به صورت زير به دست مي آيد:

(40-2)
توجه کنيد چنانچه مقدار از رابطه (38-2) ر در رابطه (40-2) قرار دهيم، به رابطه (30) مي‌رسيم.
براي يک سيال کيسوني، ويسکوزيته ظاهري به صورت زير بيان مي شود:
(41)
که در اين رابطه و با پواز و H=0.37 هماتوکريت خون است. رابطه (41) در مقايسه با رابطه (20)، با وارد کردن هماتوکريت (کسر حجمي سلولهاي قرمز خون به کل خون)، دقيق تر مي باشد.
با داشتن پروفيل سرعت رابطه (41) کامل مي شود. روال به دست آوردن اين پروفيل کاملا مشابه سيال نيوتني است و از بيان آن خودداري مي کنيم.
پروفيل سرعت براي مدل کيسوني به صورت زير مي باشد:
(42)
در اين رابطه rP شعاع ناحيه مرکزي است که د آن و سرعت سيال ثابت و برابر uP مي باشد.شکل (4) نشان دهنده پروفيل سرعت کيسوني مي باشد:

شکل 4: پروفيل سرعت جريان کيسوني در يک لوله استوانه اي.

بر اساس رابطه (42) دبي در هر مقطع عرضي برابر است با:
(43)
با استفاده از اين رابطه را به صورت زير مي نويسيم:
(44)
که
(45)
اکنون با استفاده از رابطه (42) و برش در ديواره را محاسبه مي کنيم. در نهايت با استفاده از رابطه (44) و داريم:

(46)
تنش برشي عبارت است از:

(47)
با توجه به اينکه نيروي برشي به ازاي واحد طول، به صورت زير به دست مي آيد:
(48)
مقدار نيروي برشي به ازاي واحد طول مورد استفاده در رابطه (2)، با ضريب عبارت فوق در يک منفي به دست مي آيد.

به اين ترتيب مي توان معادله مومنتوم را به صورت زير نوشت:

که برای سیال نیوتنی مقدار و برای سیال توانی مقدار و برای سیال کیسونی همان مقدار بدست امده در رابطه 48 می باشد.

بررسي روش انجام شده:
تکنيک المان محدود اساسا به دليل مستقيم بودن (بر خلاف روش مقايسه الکتريکي) مي باشد و از نظر کاربردي تطبيق پذيرتر مي باشد. به علاوه اين مدل قادر به در نظرگيري شرايط مرزي تعيين شده هست و اين به دليل آن است که در طي دهه هاي گذشته اين تکنيک به صورت يک ابزار قدرتمند براي حل مسائل پيچيده در مسائل علمي مختلف و در حوزه هاي مهندسي توسعه پيدا کرده است.

فرموله کردن مدل:
سيستم قلبي و عروقي انسان بعد از Avolio در سال 1980 به عنوان يک ترتيبي از مقدار زيادي از شاخه هاي بهم وصل شده همانطور که در شکل پايين نشان داده شده مدل شده است. شاخه هاي درخت شرياني در شکل 4 در انتها به صورت اختياري در يک تعدادي از نقاط که نودهاي انتهايي ناميده مي شوند به پايان مي رسند. تاثير شريانچه ها و وريدهاي کوچک و رگها که به دنبال يک گره انتهايي هستند توسط گره هم به وسيله جريان شبکه (نرخ جريان) يا فشار خون (که توسط تجربيات يا روشهاي ديگر در دسترس مي باشند) معين مي شوند.
عدد کلي گرهها برابر n باشد و تعداد سگمنت هاي شرياني n-1 است.