بخشی از مقاله
بررسی آشوب در بیلیارد کوانتومی با استفاده از شعاع ژیراسیون
چکیده تا کنون مطالعات زیادی در زمینه و در مکانیک کوانتومی انجام شده است اما تاکنون معیار مشخصی برای تعین کشوب در مکانیک کوانتومی و ارائه نشده است. در این مقاله با استفاده من نشانه برخورد منحنی های شهر تابع موج با مرز، دستگاه های بیلیارد کوانتومی از نظر اشوبی مورد مطالعه قرار می گیرد و در ادامه با محاسبه شعاع ثریر میون نمبر اور جدیدی برای بررسی شوب در بیلیاردهای کوانتومی معرفی می شود
مقدمه
برای حل مسائل دینامیکی در مکانیک کلاسیک می توان از کمیت - های پایسته دستگاه استفاده کرد. اگر به تعداد ابعاد دستگاه از این ثابت های حرکت معلوم باشد، می توان مسیر دستگاه در فضای فاز و رفتار زمانی آن را معین کرد. چنین دستگاه هایی را انتگرال پذیر یا غیر آشوبی می گویند. در صورتی که تعداد ثابت های حرکت کافی نباشد، حل تحلیلی برای دستگاه وجود ندارد و معادله حرکت آن با استفاده از روش های عددی حل می شود. در این موارد رفتار دستگاه در فضای مکان و تكانه وابستگی شدیدی به شرایط اولیه دارد به طوری که مسیر هایی با شرایط اولیه نزدیک به هم در طول زمان به طور نمایی از یکدیگر فاصله می گیرند.[۱] یکی از دستگادهایی که برای مطالعه آشوب مورد استفاده قرار می گیرد، دستگاه بیلیارد است. بیلیاردها مثال های ساده ای هستند که به صورت کلاسیکی و کوانتومی مورد بررسی قرار می گیرند و الگوی مناسبی برای دستگاههای فیزیکی نیز می باشند. غالبا منظور از دستگاه بیلیارد در این مقاله حرکت آزاد جسمی در دو بعد با سطح صاف و با مرز بسته و غير قابل نفوذ است. اگر مرز بیلیارد دارای تقارن لازم برای جداسازی و حل معادله دیفرانسیل حرکت باشد حرکت ذره داخل بیلیارد قابل پیش بینی است، در غیر این صورت معادله به صورت تحلیلی قابل حل نمی باشد و بیلیارد آشوبی است. بنابراین در بیلیاردها عامل رفتار آشوبی رفتار نامنظم مرز است. در این مقاله بیلیارد غير آشوبی دایره و بیلیارد آشوبی استادیوم مورد بررسی قرار می گیرد. بیلیارد استادیوم به عنوان مکان هند می نقاطی از صفحه محدود به دو نیم دایره با شعاع مساوی که لبه های آن با دو پاره خط موازی به هم وصل شده باشند، تعریف می شود.
نسبت طول استاديوم (a) به شعاع دایره به عنوان پارامتر دگردیسی استادیوم تعریف می شود که با میزان آشوبی بودن استادیوم رابطه دارد.
آشوب در مکانیک کوانتومی و روش عددی حل معادله هلمهولتز
در مکانیک کوانتومی به علت از بین رفتن مفهوم مسیر در فضای فاز، تعریف آشوس در مکانیک کلاسیک جایگاه خود را حفظ
نمی کند. از این رو بررسی کوانتومی دستگاههایی که از نظر مکانیک کلاسیک آشوبی هستند، به عنوان آشوب کوانتومی معرفی
می شود.
اولین مرحله به منظور مطالعه آشوب در مکانیک کوانتومی محاسبه تابع موج و ترازهای انرژی است و در مرحله بعد تراز های انرژی و توابع موج بیلیاردهای آشوبی و غیر آشوبی با مقایسه می شود. این مطالعات نشان می دهد که در بیلیاردهای غیر آشوبی توابع موج در یک توزیع منظم در س طح بیلیارد هستند اما در بیلیاردهای آشوبی این توزیع کاملا تصادفی است. توزیع آماری جدایی ترازها در بیلیاردهای غیر آشوبی یک توزیع پواسون است، در حالی که این توزیع در بیلیاردهای آشوبی با توزیع گوسی منطبق است.[۲] به منظور محاسبه ترازهای انرژی و توابع موج بیلیارد کوانتومی باید معادله شرودینگر به صورت عددی حل شود که این معادله برای یک ذره آزاد در داخل یک چاه پتانسیل بی نهایت به معادله هلمهولتز تبدیل می شود. روشهای مختلفی برای حل عددی معادله هلمهولتز أبداع شده است. روشی که در این مقاله برای حل عددی توابع موج از آن استفاده شده است روش توابع موج مقایسی شده است که در سال ۱۹۹۵ توسط ورجینی و ساراسنو ابداع شده است.[۳] در این روش همه ویژه مقادير و ویژه توابع در یک محدوده ای بار یک از انرژی با حل یک معادله ویژه مقداری تعمیم یافته بر حسب کمیت های روی مرز به طور مستقیم محاسبه می شود. | برنامه ورجینی که برای محاسبه توابع موج و تراز های انرژی مورد استفاده قرار گرفته است، یک بسته نرم افزاری است که تحت سیستم عامل لینوکس اجرا می شود.[۴] برای انجام محاسبات در این مقاله برنامه روی رایانه ای با مشخصات:
CPU: Intel Pentium 4, 1.6GHz; RAM: 512MB
اجرا شده است. هر چه انرژی تراز بیشتر باشد مدت زمان انجام محاسبات به علت افزایش ابعاد مساله افزایش می یابد که این زمان از چند ثانیه تا چند ساعت متغیر است. زمان لازم برای محاسبه تابع موج به بزرگنمایی (تعداد نقاطی که تابع موج باید در آنجا محاسبه شود که از برنامه خواسته ایم بستگی دارد.
نقاط برخورد منحنی صفرهای تابع موج با مرز
علاوه بر تابع موج دستگاه بیلیارد، منحنی های حاصل از تقاطع تابع موج با سطح بیلیارد یا به عبارت دیگر منحنی های حاصل از نقاطی که تابع موج در آنجا صفر می شود، نیز برای بررسی آشوب مورد استفاده قرار میگیرد .
در دستگاه های غیر آشوبی به علت اینکه توزیع تابع موج در سطح بیلیارد یکنواخت است توزیع نقاط تقاطع منحنی های صفر تابع موج با مرز نیز یکنواخت می شود. همچنین نمودار افزایش تعداد این نقاط بر حسب افزایش انرژی در این دستگاه ها منظم است. در دستگاه های کوانتومی آشوبی نتایج کاملا برعکس است. به عبارت دیگر هم توزيع نقاط تقاطع روی مرز یکنواخت نیست و هم افزایش تعداد نقاط با افزایش انرژی کاملا بی نظم است.
نمودار تغییر تعداد نقاط برخورد منحنی های صفر تابع موج با مرز در بیلیارد آشوبی دایره در شكل ۲ نشان دهنده یک افزایش دورهای برای این بیلیارد است که علت آن وجود قسمت شعاعی ( تابع بسل) و قسمت زاویه ای مجزا در تابع موج بیلیارد دایره است. افزایش انرژی در بعضی از تراز ها باعث افزایش افت و خیز در قسمت زاویه ای تابع موج می شود و در بعضی دیگر باعث افزایش منحنی های تقاطع قسمت شعاعی با سطح بیلیارد می شود. اما تنها هنگامی که این خطوط صفر تابع موج در راستای زاویه ای باشند باعث افزایش تعداد نقاط برخورد با مرز می شوند و در نتیجه نمودار به شکل یک نمودار دوره ای تبدیل می شود.
شكل ۳. افزایش تعداد نقاط برخورد منحنی صفرهای تابع موج بر حسب افزایش انرژی در بیلیارد کوانتومی آشوبی استادیوم ( پایین ) و بیلیارد کوانتومی غیر آشوبی دایره و بالا
اما در بیلیارد استادیوم به علت اینکه محاسبه تابع موج به صورت عددی انجام شده است، قسمت زاویه ای و شعاعی از هم مستقل نیستند و ماهیت آشوبی دستگاه نیز باعث افزایشی همراه با افت وخیز زیاد در نمودار است.
با مطالعه تغییرات نقاط برخورد برای تراز های مختلف در یک استادیوم کوانتومی دیده می شود که هر چه توزیع تابع موج روی سطح بیلیارد منظم تر باشد، این تابع موج تعداد نقاط کمتری با مرز استادیوم خواهد داشت و بیشینه تعداد نقاط مربوط به آشوبی ترین حالات خواهد بود.( شكل 4 و 5) همان طوری که در شکل ۲ دیده می شود در حالت های منظم در بیلیارد استادیوم منحنی های صفر تابع موج در راستای عمود بر مسیر مدار های کلاسیکی منظم قرار می گیرد و بنابر این تعداد نقاط برخورد این منحنی ها با مرز کمینه می شود.
