بخشی از مقاله
چکیده
مقاله حاضر روشی براي تولید آشوب در سیستم کوانتومی جفت شده ارائه می دهد. اساس کار به این صورت است که ، در سیستم هاي کوپل شده به وسیله توابع درهمتنیده، تولید آشوب انجام می شود. در این مقاله، فرفره چرخان درهمتنیده آشوبناك را درنظر می گیریم سپس به کمک توابع درهمتنیده ، در آن پدیده آشوب را تولید می کنیم. به منظور نشان دادن پدیده آشوب در سیستم، از دو رهیافت نمودار دو شاخگی و تست آشوب 0-1 استفاده می کنیم. هر دو رهیافت به وضوح نمایانگر آشوبی بودن سیستم می باشند.
مقدمه
سیستم هاي آشوبناك که در واقع نوعی سیستم هاي قطعی با رفتار نامنظم می باشند، یکی از گرایش ها و زمینه هاي مطالعاتی درحوزه سیستم هاي دینامیکی غیرخطی می باشند که درهايسال اخیر مورد توجه بسیاري از محققان قرار گرفته است. بهمینظررسد لی و یورك اولین کسانی بوده اند که در سال 1975، در مقاله مشهور خود Three Implies Chaos Period واژه آشوب را بکار برده اند. از آن مقاله به بعد تعاریف آشوبریاضی گوناگونی براي ارائه شده است ولی همگیتقریباً در یک محور مشترك می باشندو آن حساسیت بسیار بالاي این سیستم ها به شرایط اولیه می باشد.
منظور از حساسیت بالا این است که اگر سیستم آشوبناكدو از شرط اولیه به هر اندازه نزدیک به هم شروع شود، بعد از گذشت یک مدت زمان متناهی،کاملاً از هم مجزا می شوند و رفتارهاي
کاملاً متفاوتی از خود نشان می دهند این بدین معنی می باشد که پیش بینی دراز مدت در سیستم هاي آشوبی امکان پذیر نمی باشد.
سیستم مکانیک کوانتومی که شامل حداقل دو زیر سیستم می باشد،داراي یک ویژگی منحصر فردي به نام درهمتنیدارددگی.در همتنیدگی یکی از ویژگی هاي سامانه کوانتومی است که با وجود مطلع بودن تک تک قسمتهاي یک سیستم مرکب، تمامی اطلاعات مربوط به کل سامانه را شامل نمی باشد. درهمتنیدگی یک پدیده خالص کوانتومی و همینطور آشوب2 یک پدیده خالص کلاسیکی است. ظاهرا در جهان کوانتوم مکانیک، آثاري از آشوب نمی توان دید. تحقیقاتی براي ارتباط بین آشوب و درهمتیندگی انجام شده است. براي این منظور از سیستم هایی از قبیل: نگاشت استاندارد،
فرفره هاي چرخان 3 و ....استفاده نموده اند. تحقیقات نشان می دهد می توان با استفاده از توابع درهمتنیده در سیستم هاي کوانتومی، آشوب تولید کرد.
در این مقاله با استفاده از توابع درهمتنیده4 در سیستم کوانتومی آشوبناك درهمتنیده، فرفره هاي چرخان به تولید آشوب میپردازیم.نظریه آشوب چندین روش از قبیل: بزرگترین نماي لیاپانوف5، نمودار دوشاخگی6، تست آشوب 0-1 و ..... براي توصیف آشوبناکی سیستم ها معرفی می کند. دراین مقاله، به منظور شناسایی آشوبناك بودن سیستم به دو روش عمل می کنیم. در ابتدا رسم نمودار دو شاخگی برحسب پارامتر آشوب را بکار می بریمو در ادامه از تست آشوب 0-1 استفاده می کنیم. این تست براي تمیز دادن حالت منظم از حالت آشوبناك در سیستم هاي دینامیکی بکار برده می شود. لازم به ذکر است موثر بودن تست آشوب -10براي دو نگاشت گسسته آشوبناك معروف ، نگاشت لوجستیک و نگاشت هنون ، نشان داده شده است.
درهمتنیدگی در فرفره چرخانکوانتومی
دینامیک فرفره هاي چرخان توسط هامیلتونین زیر توصیف میشود:که - , J y , J z J - J x بردار ممنتوم زاویه ایی و مولفه هاي آن از رابطه جبري تکانه زاویه ایی پیروي می کند. k قدرت جفت شدگی و T دوره تناوب است. در این رابطه ثابت پلانک یک فرض شده است. جمله اول عبارت بالا، توصیف کننده حرکت تقدیمی آزادفرفره حول محور y هاست و جمله دوم بیانگر تناوبی بودن مدل چرخانه است. براي محاسبه درهمتنیدگی در فرفره هاي چرخان، هامیلتونین فرفره هاي چرخانصورتکوپل شده را به زیر در نظر می گیریم :که . i 1, 2 i - t - هامیلتونین فرفره هاي منفرد و هامیلتونین 12 - t - بیانگرجفت شدگی فرفره ها با اسپین-اسپین، با شدت کوپلاژ 2j است. لازم است بدانیم عملگرهايایی تکانه زاویه از روابط جابه جایی کوانتومی پیروي می کنند. با توجه مطالب ارایه شده در مرجع [4] حد کلاسیکی فرفره هاي چرخان کوانتومی منجر به نگاشت هاي کلاسیکی زیر می شود:
متغییرهاي کلاسیکی - - X ,Y , Z را می توان بر حسب مختصات قطبی به صورت :نوشت. و به ترتیب زاویه قطبی و سمتی هستند. در این حالت نگاشت دو بعدي است. با انتخاب مناسب براي پارامترها طبیعت آشوبی این نگاشت در مرجع [4] نشان داده شده است. آشوب در فرفره چرخانکوانتومی درهمتنیده با استفاده از توابع درهمتنیده سیستم در ادامه ما سه معادله - 5 - را با اضافه کردن جملاتی، حالت هاي درهمتنیده ایجاد می کنیم :
