بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
بهبود پارامترهای طراحی فیلترهای شانه ای با استفاده از فیلترهای تاخیر کسری
چکیده: فیلترهای شانهای غیر فعالی (PaSSive) به عنوان یکی از قدیمیترین انواع فیلترها همواره مورد توجه بودهاند. کاربرد گسترده این فیلترها در شاخههای مختلف علوم نظیر مهندسی پزشکی، مخابرات، کنترلی و پردازش اطلاعات سبب گردیده است تا محققین همواره به دنبال یافتن راههایی جهت بهبود پارامترهای مختلف این فیلترها باشند. در این مقاله روش جدیدی برای طراحی فیلترهای شانهای (Comb |Filter) با استفاده از مشخصات معادلی در طراحی فیلترهای تاخیر کسری (Fractional Delay Filter) ارائه می شود. برای این منظور پس از استخراج پارامترهای سیستم مورد مطالعه، مشخصات فیلتر شانه ای مورد نظر بدست می آید. سپس این مشخصات به پارامترهای معادل جهت طراحی فیلتر تاخیر کسری تبدیل می شود و با استفاده از روشی پیشنهادی فیلتر شانهای مطلوب طراحی میگردد.
واژه های کلیدی: فیلترهای شانه ای، فیلترهای تاخیر کسری، تخمین حداکثر تاخیر گروه مسطح، درون یابی لاگرانژ.
۱- مقدمه
به تازگی تاخیر نمونه کسری به عنوان یک وسیله مهم در زمینه پردازشی صوت، تکنولوژی موسیقی، مهندسی ارتباطات و پردازش تصویر معرفی گردیده است. برای بازسازی کامل سیگنال پیوسته، نرخ نمونه برداری باید قضیه نایکویست را ارضا نماید. این امر بطور کامل در مقالات مربوط به قضایای نمونه برداری بیان شده است [1.2]. برای بسیاری از کاربردها، تنظیم نرخ نمونه برداری کافی نیست و لحظات نمونه برداری نیز باید به دقت انتخاب گردند. برای مثال در مخابرات دیجل، تصمیم گیری بر روی مقدار بیت یا سمبل بر اساسی نمونههای دریافتی از رشته پالس ورودی صورت می پذیرد که باید دقیقاً از وسط هر پالس انتخاب گردد تا بدین وسیله احتمال خطای تصمیم گیری حداقل شود. این امر نیازمند این است که نرخ و لحظات نمونهبرداری گیرنده با سیگنال دریافتی همزمان باشد. این امر به وضوح در شکل (۱) مشاهده میشود. یک دسته دیگر از مشکلات، مدل سازی دستگاههای موسیقی است که شامل پیاده سازی معادلات دیفرانسیل یک سیستم فیزیکی تولیدکننده لرزش های صوتی است. انتشار تاخیرها که به واسطه سرعت محدود انتشار لرزشی ها در فنر، تیوپ یا دیگر وسایل ایجاد می شود، باید به دقت بررسی شود در غیر این صورت صدای وسیله از تنظیم خارج میشود. بطور معمولی چنین تاخیرهایی ضریب صحیحی از فواصل نمونه برداری نیستند. عملکرد دقیق وسیله نیازمند تنظیم دقیقی پارامترهای سیستم است که کنترل نسبتاً بالایی را بر روی پدیدههای گذرای ناشی از این تاخیرها میطلبد.
را بسیاری از کاربردهای پردازش سیگنالی، لازم است بدون ایجاد تاخیر در بخش زیادی از سیگنال، تداخل های هارمونیکی ناشی از عوامل محیطی حذف گردد. مثالهای زیادی از این قبیلی در زمینههای مهندسی پزشکی، مخابرات و کنترل وجود دارد که در منابع [7-3] به انها اشاره شده است.
از آن جمله، میتوان به تداخلی های ناشی از فرکانس برق شهر اشاره نمود. برای حذف این تداخل ها، معمولاً از فیلترهای شانهای (COmb |Filter) استفاده می شود. پاسخ فرکانسی این فیلترها، پریودیک با باند گذر باریک در فرکانس HZ ۵۰ و هارمونیک های مختلف آن می باشد. یکی دیگر از کاربردهای فیلترهای شانه ای استفاده در تخمین گام صحبت در حوزه فرکانس است. برای این منظور شکل موج صحبت از یک فیلتر شانه ای که دارای اوج هایی در ضرایب فرضی فرکانس های پایه صحبت است، عبور داده میشود و بدین ترتیب گام (۶) صحبت که منطبق بر هارمونیک های شکل موج است و بالاترین سطح انرژی را دارد، استخراج میگردد. در این مقاله با بکارگیری روش طراحی فیلترهای تاخیر کسری، به تصحیح پارامترهای این روشی در زمینه طراحی فیلترهای شانهای میپردازیم. برای این منظور پس از یافتن پریود سیگنال تداخلی، پارامترهای فیلتر شانهای مطلوب به دست می آید و با بکارگیری روش پیشنهادی فیلترهای تاخیر کسری، مدل مورد نظر پیاده سازی می شود.
۲- طراحی فیلترهای شانه ای با استفاده از فیلترهای تاخیر کسری
به طور معمول سیگنال ورودی فیلتر شانه ای دارای ساختار کلی زیراست.
که در آن (S(n سیگنال دریافتی، (X(n سیگنال اطلاعات و (N(n تداخلی های هارمونیکی با فرکانسی پایه 000 می باشند. به منظور استخراج سیگنال اطلاعات (X(n از سیگنال دریافتی (S(n، مشخصه فیلتر ایده آل با استفاده از رابطه (۳) بیان میگردد:
هدف اصلی در این مقاله، طراحی فیلتری است که پاسخ فرکانسی آن مشخصه فیلتر ایده آل را به بهترین نحو تخمین بزند. برای رسیدن به این هدف، ابتدا نشان داده میشود که تداخلی هارمونیکی (N(n دارای مشخصه زیر است. با تعریف تاخیر کسری 000/D = 2TU به عنوان پریود تداخلی هارمونیکی (N(n خواهیم داشت :
معادله (۴) این موضوع را بیان می کند که تداخلی هارمونیکی (N(n با نمونه تاخیر یافته خود یعنی (N(n-D برابر می باشد. بنابراین اگر سیگنال دریافتی (S(n از فیلتر "H(z) = 1-Z عبور نماید، خروجی آن به صورت رابطه (۵) خواهد بود :
بنابراین:
ملاحظه می شود علیرغم اینکه تداخلی هارمونیکی در خروجی فیلتر حذف شده است، خروجی فیلتر، ترکیبی از تفاضل سیگنال اطلاعات و تاخیر یافت آن می باشد. برای توضیح بهتر این پدیده، شکل (۲)، پاسخ فرکانسی فیلترهای "H(z) = 1 - Z و (H.(co را به ازای 0.22TI=(0 و 4=M نشان می دهد. واضح است که هر دو فیلتر دارای فرکانسیهای یکسانی در باند توقف هستند، اما در باند عبور دارای تفاوت قابل ملاحظهای میباشند. برای حذف این اعوجاج به دو روش جبران سازی که در زیربیان گردیدهاند میپردازیم. در روش اول که توسط آقای Pei ارائه گردیده است، بمنظور تخمین پارامترهای فیلتر از روشی موسوم به درون یابی لاگرانژ (Lagrange Interpolation) استفاده می شود. پس از آن، روش پشنهادی این مقاله بیان میگردد و نتایج حاصل از آن با نتایج روش درون یابی لاگرانژ مقایسه می شود.
شکل (۲) : پاسخ فرکانسی فیلتر ایده آل و فیلتر "H(z) = 1 - Z
۱-۲ روش درون یابی لاگرانژ به راحتی نشان داده میشود که صفرهای فیلتر " H(z) = 1 - Z با استفاده از رابطه زیر بدست می آیند
:
برای حذف اعوجاج باند عبور ، به ازای هر یک از صفرها، قطبی به صورت زیر ایجاد می شود لازم به ذکر است که برای حفظ پایداری، شعاع قطب باید در نامعادله (۱>p>۰) صدقی نماید. با اعمال این تغییرات، تابع تبدیل جدید فیلتر شانه ای با استفاده از رابطه (۹) بیان می گردد :
شکل (۳)، پیاده سازی فیلتر شانهای IIR را که در رابطه (۶) نشان داده شده است بیان می کند. زمانی که D یک عدد صحیح باشد، تاخیر "Z را میتوان به سادگی پیاده سازی نمود، اما هنگامی که "D" یک عدد غیر صحیح است، لازم است مدلی برای پیاده سازی" Z طراحی شود.
در روشی درون یابی لاگرانژ، تاخیر Z با استفاده از رابطه زیر تخمین زده می شود:
که در آن ضرایب فیلتر از رابطه زیر به دست می آیند:
پاسخ فرکانسی این فیلتر در شکل (۴) نمایش داده شده است. ملاحظه میشود که فیلتر شانهای طراحی شده به روش درون یابی لاگرانژ پاسخ مناسبی در فرکانسی های بالا ندارد، بعلاوه در باند عبور نیز بهره ای در حدود ۹٪ به سیستم می افزاید.
۳- بکار گیری روش پیشنهادی؛
تخمین حداکثر تاخیر گروه مسطح روش های گوناگونی برای تخمین مقدار تاخیر"Z وجود دارد که توضیحات مربوط به آن را می
