بخشی از مقاله
*** این فایل شامل تعدادی فرمول می باشد و در سایت قابل نمایش نیست ***
تحليل معادلة موريسون از طريق حل عددي معادلة نوير استوکس
چکيده
در اين مقاله معادلة موريسون از طريق حل عددي معادلة نوير استوکس مورد تحليل قرار گرفته است . براي ايـن منظـور با استفاده از روش حجم محدود و به کمک الگوريتم سيمپل سي ، معادله هاي نوير استوکس براي جريان آرام نوسـاني دو بعـدي حول يک استوانه در يک شبکة منطبق بر بدنه از نوع O و هم مکان حل شده است . در اين بررسي اعداد بـدون بعـد کيولگـان کارپنتر و استوکس در محدوده اي انتخاب شده اند تا بتوان رژيمهاي متنوع جريان آرام را که عموما سه بعـدي هسـتند مشـاهده کرد. نتايج حاصل از اين شبيه سازي و مقايسه با نتايج عددي و تجربي سايرين قابليت خوب مدل دو بعدي در تعيين نيرو هاي وارد بر استوانه را نشان مي دهد در حالاتي که رژيم جريان منظم است انطباق خوبي بين نيروي طولي حاصل از اين محاسبات و نتيجة حاصل از معادلة موريسون وجود دارد و در مورد جريانهاي نا منظم که از يک سيکل به سيکل ديگـر تغييرمـي کننـد ايـن انطباق ضعيفتر شده و دقت معادلة موريسون کاهش مي يابد.
واژه هاي کليدي
معادله موريسون ، سيمپل سي ، نوير استوکس ، روش حجم محدود
مقدمه
استوانه به عنوان يک عنصر اصلي در ساختار سازة بسياري از تجهيزاتي است که با حرکت سيال سرو کار دارند. بـه طـور نمونه مي توان پايه اسکله ها و سکوهاي دريايي ، پايه و مهار پلها، دودکشها و لوله هاي يک مبدل حرارتي را نام برد. بـه همـين دليل جريان سيال اطراف استوانه از ديرباز مورد توجه محققان علم مکانيک سيالات بوده است . حرکت امواج دريا اطراف پايه هـا، سکوها و اسکله ها در نواحي زير سطح آزاد را مي توان بصورت جريان نوساني حول آنها مدل کرد.. بسته به اينکه طول مشخصه جسم در امتداد حرکت جريان اصلي نسبت به طول موج حرکت کوچک يا بزرگ باشد نيروهاي غالب از نوع برشي و يـا اينرسـي خواهند بود، که در مورد اول تحليل جريان منوط به حل معادلات نوير استوکس و در مورد دوم به حل مسئله پراش امـواج منجـر مي شود.
در اين مقاله فرض شده که طول مشخصة جسم نسبت به طول موج کوچک باشد.اعداد مشخصه چنين جريا نـي عـدد
2
رينولدز Re=mD و عدد کيولگان کارپنتر KC=mT هستند. از ترکيب اين دو عدد اسـتوکس Dβ=R تعريـف
KC ν D
شده است و معمولا KC و يا KC و Re براي مشخص کردن جريان به کار مـي رونـد. بـراي اسـتوانه بـا حرکـت نوسـاني سينوسي در سيال ساکن تعريف مي شود. حضور عدد KC به عنوان يک عدد مشخصة جريان بيانگر ايـن واقعيـت
D
است که در اين جريانها نوع رژيم ، آرام يا مغشوش ، تنها توسط عدد Re تعيين نمي شود بلکه برحسب اينکه عدد KC چقدر باشد گذار از آرام به مغشوش و يا نا پايدار شدن جريان آرام دو بعدي و تبديل آن به يک جريان آرام سه بعدي در رينولدزهاي متفاوتي صورت مي گيرد.
تحقيقات گسترده ا ي روي اين جريان صورت گرفته است که کارهاي قديمي عمدتا" از نوع تجربـي و کارهـاي دو دهـة
اخير همراه با رشد رايانه ها توام با روش هاي عددي بوده است . از کارهاي شاخص قديمي مي توان به کار موريسون و همکاران
[١] ا شاره کرد که طي آن معادلة معروف خود را براي محاسبة نيروي طولي وارده از امواج دريا بر پايه هاي استوانه اي شـکل سازه هاي دريايي و هوايي ارائه دادند. اين معادله بر اين فرض استوار است که نيـروي طـولي F جمـع نيـروي پسـا و نيـروي
xمجازي (اينرسي ) است :
ضرائب پسا و اينرسي اند که در طي يک سيکل ثابت فرض مي شوند. در ادامـه خـواهيم ديـد کـه در بعضـي
حالات جريان ، اين فرض درست نيست . ضرايب با داشتن از نتايج آزمايش و يا محاسبات عـددي ، بـا بـه کـار گيري روش مينيمم مربعات يا ميانگيري فوريه محاسبه مي شوند.
هونجي [٢] طي آزمايشاتي شکل جريان ناشي از نوسان استوانه را در محدودة بررسي کرد.
وي نشان داد که براي KC هاي کوچک ، جريان آرام و دوبعدي باقي مي ماند و براي KC هاي متوسط جريـان ناپايـدار شـده وبا شکل گيري گردابه هاي قارچي شکل در طول محور استوانه جريان سه بعدي و براي KC هاي بزرگتـر جريـان مغشـوش مي شود. اگر KC از يک حد بحراني کوچکتر باشد جريان پايـدار اسـت و ريـزش گردابـه نـداريم کـه اصـطلاحا“ رژيـم استوکس – ونگ ناميده مي شود. با افزايش KC جريان ناپايدار شده و ريزش گردابه آغاز مي شود که ناپايداري هـونجي ناميـده مي شود.
سارپکايا[٣] حرکت نوساني يک استوانه را در محدودة مساوي ١٣٥٠،١٣٨٠،١٨٠٠و ١١٢٠٠به روش تجربي بررسي کرد و ضرايب را برحسب KC به دست آورد و به علاوه ناپايداري هونجي را با انجام آزمايشات تاييد کرد.
ويليامسون [٤] طي آزمايشاتي در لولة U جريان نوساني حول استوانه را در محـدودة وسـيعي از KC بررسـي کـرد. وي توانست جريانهاي جفت دوتايي و جفت سه تايي و جفت چهـار تـايي کـه
طي آن در هر نيم سيکل به ترتيب دو، سه و چهار جفت گردابه ايجاد و ريزش مي شوند به وجود آورد.
اوباساجو وهمکاران [٥] مسئلة جريان نوساني حول استوانة ثابت را با جزئيات بيشتري در آزمايشگاه مورد مطالعه قرار دادند
و پنج رژيم جرياني را شناسايي کردند. جوستيسن [٦] اين مسئله را با هر دو روش تجربي و عددي بررسي کرده است . وي معادلة انتقال ورتيسيتي همراه با تابع جريان را براي رژيم آرام و دوبعدي به روش تفاضـل متنـاهي بـراي مسـاوي ١٩٦، ٩٨٣ و ١٠٣٥ حـل کـرده و ضرايب را محاسبه نمو ده است .
دوچ [٧] مسئلة استوانة نوساني در جريان ساکن را با يک انتقال به جريان نوساني حول استوانة ساکن تبديل و نتيجه را با روش حجم محدود و به کارگيري u و v در دو بعد حل کرده است . شبکة نوع O با تعداد گره ١٢٨×١٩٢ انتخاب شـده اسـت . مقادير CD و CM محاسبه و با کارهاي ديگران مقايسه شده اند.
از جمعبندي کارهاي انجام شده مي توان نتيجه گرفت که در رژيم آرام فعاليت روي مـدلهاي دوبعـدي متمرکزبـوده و از همين مدل براي بررسي رژيمهايي که سه بعدي اند نيز استفاده شده است . در اين کارها تحليل عملکرد جمعي جريان در قالـب اعداد کلي ارائه شده است . در اين مقاله نيز از مدل دو بعدي براي تحليل جريان آرام و بررسي رژيمهـايي که دو يا سه بعدي اند استفاده شده است . سپس نتايج معادلة موريسون از طريق محاسـبة ضـرايب مـورد تحليل قرار گرفته است .
معادله هاي حاکم و روش حل عددي
معادلة انتقال جريان آرام براي يک متغير عمومي در دستگاه مختصات کارتزين به صورت زير است
ضريب در معادلة ممنتم برابر لزجت است . متغير مقادير u و v را اختيارمي کند. S جملة چشـمه اسـت و در معادلة ممنتم گراديان فشار را نيز در بر مي گيرد. مسئلة جريان نوساني حول يک استوانة ساکن را با انتخاب يـک شـبکة نـوع O حول استوانه و قرار دادن دستگاه مختصات در مرکز استوانه حل مي کنيم . در رابطه با حل مسئلة استوانة نوساني در سيال سـاکن ، دوچ [٧] نشان داد که مي توان از همان شبکه و دستگاه قبلي استفاده کرد ليکن بايد جملة را به سمت راسـت معادلـة ممنتم اضافه کرد. در اين صورت نيازي به تغيير شبکه همراه با حرکت استوانه نخواهد بود. بـدين ترتيـب سـرعت در دور دسـت ، منفي سرعت استوانه قرار داده شده و روي سطح استوانه از شرط عدم لغزش استفاده مي شـود. در هـر صـورت ضـرايب نيرويـي بدون بعد براي هر دو مسئله ، استوانه نوساني در سيال ساکن و جريان نوساني حول استوانة ساکن ، يکي اسـت و بـا حـل مسـئلة جريان نوساني حول استوانة ساکن و محاسبة ميدان سرعت ، مي توان ميدان سرعت مسئله ديگر را با کـم کـردن سـرعت از ميدان سرعت به دست آورد. ميدانهاي فشار نيز با توجه به معادلة زير قابل تبديل اند.
که در آن به ترتيب معرف ميدان فشار در مسئله جريان نوساني حول استوانه ساکن و استوانة نوساني در سـيال ساکن هستند. در اين مقاله مسئله براي جريان نوساني حول استوانه ساکن حل شده است . در هر لحظه از نيمي از مـرز خـارجي جريـان وارد و از نيم ديگر خارج مي شود. روشن است که اين دو نيمة در هر سيکل نوسان جاي خود را با هم عوض مي کنند. در نيمه اي که جريان وارد مي شود شرايط مرزي است . در نيمة خروجي از شرط مرزي جابه جايي به صورت زير اسـتفاده مي شود.
اين نوع اعمال شرايط مرزي از معادلة ممنتم و با حذف عبارات ناچيز در نـواحي دور دسـت اسـتخراج شـده و نسـبت بـه اعمال شرط مرزي نيومن ارجهيت دارد زيرا برگرفته از معادله هاي حاکم بوده و قادر است تغييرات جريـان را بـا دقـت بيشـتري پيش بيني کند و امواج و گردابه ها نيز قادر خواهند بود بدون انعکاس از مرز خارج شوند. با انتخاب شرط مرزي جابه جايي مي توان محدوده حل کوچکتري انتخاب نمود. لذا با تعداد گره يکسان مي توان به دقت بالاتري دست يافت . شکل تفاضل متنـاهي شـرط مرزي جابه جايي به طور نمونه براي مؤلفة u سرعت به صورت زير است
انديس N معرف شمارة گره در جهت جريان و انديس P معرف شمارة گام زماني است . يک عبارت اصلاح سرعت است به نحوي که توازن دبي جرمي خروجي و ورودي را در هر گام برقرار مي کند و براي تمام نقاط مرز خروجي مقـدار يکسـاني دارد. براي حل عددي از الگوريتم سيمپل سي و شبکه نوع O منطبق بر بدنه و هم مکان استفاده شده است . معادلات در فضـاي فيزيکي حل شده و براي پرهيز از نوسانات غير فيزيکي فشار و سرعت از ميان يابي راي چو [٨] استفاده شده اسـت .در محاسـبه عبارات جابه جايي روش کوييک و براي محاسبة تغييرات زماني روش کرانک – نيکولسون بکار گرفته شده است .
ارائة نتايج
در اين قسمت ابتدا مطالعات شبکه و حساسيت نتايج به نوع شبکة انتخابي آورده مي شود و در ادامه به ديناميـک جريـان
ومحاسبه و تحليل نيرو ها و معادلة موريسون مي پردازيم .
مطالعات شبکه
با توجه به هندسة مسئله ، يک شبکه نوع O انتخاب و خطوط شبکه به صورت دواير هم مرکـز و شـعاعهاي ايـن دوايـر شکل مي گيرند. پارامترهاي هندسي در ساختن اين شبکه دخالت دارند. به علاوه مقدار گام زماني نيز در نتايج تأثير
مي گذارد که مورد بررسي قرار گرفته است . کميتهاي مورد مقايسه ضرايب هستند. نتيجـه مقايسـه در جدول (١) آورده شده است . در اين جدول در تمام حالات انتخاب ومسئله حداقل تا ٥٠ سيکل حل شـده و ضرايب با متوسط گيري از مقادير ده سيکل آخر به دست آمده اند. اثر قلمروحـل در رديفهـاي آورده شـده است . در اين حالات يک شبکه مشخص با انتخاب و سپس کاهش قلمرو با برداشتن چنـد رديـف بيرونـي شـبکه صورت گرفته است . حداکثر اختلاف بين اين چهار مورد براي مقادير به ترتيب درصد است . اين بررسي نشان مي دهد که بکاربردن شرط مرزي جابجايي در مرز خارجي ميدان به خوبي توانسته تأثير قلمرو حل روي نتايج را به حداقل برساند. اختلاف قابل توجه درصدکه درضريب نيروي عرضي مشاهده مي شود دليل اثر قلمرو حل نبوده بلکه بيشتر ناشي از نامنظم بودن و تغيير تدريجي شکل جريان از يک سيکل به سيکل ديگر اسـت . بـه عبـارت ديگـر حتي در مورد يک قلمرو انتخابي ثابت ، اين پديده باعث تغييرات قابل توجه از يک سيکل به سيکل ديگر مي شود. به دليل اينکه ضريب نيروي طولي عمدتاً از شتاب و سرعت جريان تبعيت مي کند تغييرات آن از يک سـيکل بـه سـيکل ديگـر است . تأثير شبکه با ثابت نگهداشتن تعـداد گـره هـا در رديفهـاي آورده شـده اسـت . حداکثر اختلاف در پارامترهاي مساوي درصد اسـت . تـأثير تعـداد گـره هـاي شبکه و يا به عبارت ديگر ضريب انبساط شبکه در رديف هاي نشان داده شده است . حـداکثر اخـتلاف بـه ترتيـب درصد است . تـأثير گـام زمـاني در رديفهـاي A ،B و C آورده شـده اسـت . ملاحظـه مـي شـود انتخـاب مناسب بوده و کوچکتر از آن تاثير ناچيزي در نتايج مي گذارد. در مجموع از مقايسه هاي فوق مي توان چنين نتيجـه گرفت که شبکه هاي متنوع فوق در تحليل نيروها با هم قابل مقايسه بوده ليکن به دليل اينکه فعاليت اصلي گردابه هـا در حـوالي استوانه متمرکز بوده و با دور شدن ضعيف و پراکنده مي شوند شبکه هاي با قلمرو کوچکتر ارجح انـد. بـه عـلاوه شـبکه ريزتـر در نشان دادن شکل جريان و موقعيت گردابه ها بهتر عمل مي کند.
بررسي ديناميک جريان
در اين بخش به منظور اطمينان از عدم وابستگي نتايج به انتخاب شرايط اوليه ، در تمامي حالتهـا برنامـه حـداقل تـا٥٠ سيکل حل شده و نتايج با ميانيابي بين سيکلهاي آخر به دست آمده اند.
شکل (١) ضرايب نيرو را در يک سيکل به ازاي نشان مي دهد. در اين حالـت چـون KC کوچـک است امکان شکل گيري گردابه ها بوجود نمي آيد. لذا ملاحظه مي شود که ضـريب نيـروي طـولي مقـدار بـالايي دارد در حاليکه ضريب Cy به علت تقارن کامل صفر است .
درشکل (٢) ضريب نيروي طولي و عرضي براي رژيم جرياني عرضي که به ازاي بوجود مي آيـد در يک سيکل رسم شده است . فرکانس ضريب نيروي عرضي Cy دو برابر فرکانس جريان است کـه از ويژگيهـاي رژيـم جريـان عرضي است که ويليامسون [٤] نيز به آن اشاره کرده است .
درشکل (٣) ضريب نيروي طولي و عرضي براي رژيم جرياني قطري که به ازاي بوجود مي آيد در يک سيکل رسم شده است . فرکانس ضريب نيروي عرضي Cy سه برابر فرکانس جريان است کـه از ويژگيهـاي جريـان قطري است و ويليامسون [٤] به آن اشاره کرده است .
بمنظور مقايسة نتايج اين تحقيق با کارهاي ديگران ، نيروي طولي وارد بر استوانه ، Fx ، را در هر گـام زمـاني محاسـبه و سپس با توجه به معادلة (١) و ميانگيري فوريه از آن ، ضرايب در هر سيکل به دست مي آوريم . متوسط اين ضرايب در طي سيکلهاي متوالي آخر، در شکلهاي (٤) الي (٥) آورده شده و با نتايج تحليلي ، تجربي و عددي مقايسه شده انـد. شـکلهاي (٤) و(٥) مربوط به و شکلهاي (٦) و (٧) مربوط به هستند. ملاحظه مي شود در حالت حدي که KC عدد کـوچکي مي شود نتايج به حل تحليلي ونگ [٩]، نزديک مي شوند. انطباق خوب نتايج اين مقاله با نتايج عددي و تجربي دوچ [٧] علاوه براينکه دقت محاسبات را نشان مي دهد مؤيد اين مطلب است که پيش بيني مدل دو بعدي براي جريانهـاي سـه بعـدي از دقـت خوبي برخوردار است . نکته اي که بايد متذکر شد اين است که الگوي جريـان در محـدوده اي کـه در شـکل هـاي (٤) و (٥) آمـده نسبت به الگوي جريان در محدودة شـکلهاي (٦)و (٧) مـنظم تـر بـوده و تغييرات سيکل به سيکل کمتر است . لذا متوسط طي سيکلهاي آخر مي
