بخشی از مقاله
خلاصه
در این مقاله یک روش برای آنالیز تیر اولر برنولی ترک خورده بر اساس ارائه یک ابر المان جدید که حاوی تعداد دلخواه ترک عرضی با عمق دلخواه و درمحل های دلخواه می باشند ارائه می شود. در این ابر المان اثر ترک ها با اصلاح ماتریس سختی معرفی می شود. مولفه های ماتریس سختی براساس مفهوم تیر مزدوج و تئوری بتی برای تیر اولربرنولی اثبات می شود. ابر المان پیشنهادی برای مدلسازی و تحلیل سازه های تیری ترک خورده و بدست آوردن تغییر شکل آن تحت بار استاتیکی و همچنین آنالیز مقدار ویژه و بدست آوردن فرکانس های طبیعی آنها استفاده می شود. سپس برای چند مثال نتایج بدست آمده با نتایج المان محدود دو بعدی اعتبار سنجی می شود.
کلمات کلیدی:ترک ها، تیر اولر برنولی،تحلیل استاتیکی، تحلیل مقدار ویژه،ابر المان
.1 مقدمه
ترک های موجود در اعضای سازه ای دلایل متعددی دارند.برای مثال آنها می توانند ترک های ناشی از خستگی باشند که تحت بار های بهره برداری اتفاق می افتند.ترک ها در سازه ها برای عملکرد مناسب سازه ها یک تهدید محسوب می شوند. مطالعات آزمایشگاهی ومحاسباتی ثابت کرده است که وجود ترک ها به تغییرات خواص ارتعاشی این سازه ها منجر می شود.[ 3-1] از آنجاییکه به علت وجود ترک ها سازه ها سختی اولیه خود را از دست می دهند پایش تغیییرات این خواص در طول عمر آن یک روش غیر مخرب رایج برای ارزیابی شدت تغییرات و محاسبه عمر باقیمانده این سازه ها محسوب می شود.
وقتی یک ترک در یک المان سازه ای ایجاد می شود باعث ایجاد یک تغییر موضعی در سختی آن می شود که خواص دینامیکی سازه رابه مقدار قابل توجهی تحت تاثیر قرار می دهد و در نتیجه ایمنی آن را کاهش می دهد.بنابراین توسعه مدل های قابل اعتماد برای رفتار مکانیکی المان های ترک خورده مهم می باشد.یک مدل دقیق از ترک و اطراف آن می تواند با یک مش بندی مناسب المان محدود بطور مناسب بدست بیاید. از دیدگاه محاسباتی روش المان محدود یک روش استاندارد برای شبیه سازی اینکه چگونه سازه های ترک خورده تحت بارهای خارجی رفتار می کنند ارائه می دهد.تکنیک های المان محدود متعددی برای مدلسازی ترک تحت بارهای اعمالی توصیه شده است.
عمده این روش ها ترک را بصورت فیزیکی با جداسازی دو وجه ترک مدلسازی می کنند. اکثر اوقات استفاده از چنین روش هایی به مش بندی مجدد ناحیه ترک نیاز دارد.در نتیجه یک عیب عمده این روش ها این است که آنها به تلاش محاسباتی زیادی برای اینکه بطور دقیق تکینگی تنش در نوک ترک مدلسازی شود نیاز دارند. به علاوه الگوریتم های گسترش ترک می تواند طاقت فرسا و از نظر محاسباتی زمان بر باشد.به هر حال این روش ها برای مسائل معکوس مناسب نیستند چرا که در آنها مدلی مورد نیاز است که اصلاح محل ترک و عمق ترک برای جستجوی محل ترک به راحتی امکان پذیر باشد.
برای بعضی کاربرد ها رفتار کلی سازه ترک خورده مورد علاقه ماست در حالی که رفتار مواد در مجاورت ترک مهم نیست و می تواند صرف نظر شود.مسائل معکوس نمونه ای از این مسائل هستند.در چنین مواردی نیاز هست که وجود ترک بدون مدلسازی ترک شبیه سازی شود. در این تحقیق ما چنین روشی را ارائه خواهیم کرد که در آن وجود ترک ها را در موقعیتهای دلخواه و عمق های دلخواه ازالمان یک بعدی اعمال خواهد شد. توضیح مصور نکته یاد شده در شکل - - 1 آورده شده است.در این روش وجود ترکها با اصلاح ماتریس سختی معرفی می شود. این نوع المان می تواند درکاربرد های سازه ای برای محاسبه پاسخ سازه های ترک خورده تحت بارگذاری مورد استفاده قرار گیرد..همچنین مشکل تکینگی تنش محلی به دلیل نوک ترک در آنالیز وجود نخواهد داشت.
2.ارائه ابرالمان حاوی تعداد نامحدود ترک باز
1. 2 سختی معادل یک ترک باز
ترک یک وجهی باز در مقاطع مستطیلی در شکل - - 2 نشان داده شده است. این نوع ترک در حالت بارگذاری نوسانی تحت بار های بهرره برداری رخ می دهد. سختی فنر پیچشی معادل در محل ترک یک وجهی توسط استاچویز و کراوزوک[4] بصورت زیر معرفی شد:
2.2استخراج ماتریس سختی ابر المان
استخراج ابر المان تیر اولر حاوی تعداد دلخواه ترک بر اساس یک مدل ریاضی برای المان تیر با یک ترک عرضی مطابق با مدل ارائه شده توسط استاچویز و کراوزوک می باشد.ترک به عنوان یک فنر پیچشی معرفی می شود که دو قسمت ترک نخورده تیر را به هم وصل می کند - شکل - 3 و با موقعیت آن - برای مثال به فاصله L از انتهای چپ که - 0 1 و عمق آن d تعریف می شود و با سختی فنر پیچشی که با S نشان داده می شود مدل می شود که بستگی به w, d, h, E دارد.
ماتریس سختی رابطه بین عوامل نیرویی وجابجایی های متناظر آنها را ارائه می کند. ایده اصلی استخراج ماتریس سختی اصل سوپر پوزیشن است.با در نظر گرفتن جابجایی های عرضی و با صرف نظر از جابجایی های محوری درالمان تیر، المان دارای 4 درجه آزادی خواهد بود.این به این معنی است که از دو درجه آزادی صرفنظر می شود.در نتیجه برای بدست آوردن همه ضرایب لازم ماتریس سختی باید 4 درجه آزادی در نظر گرفته شود. درجات آزادی گرهی شامل جابجایی های عرضی 1 و 2 و چرخش ها z1 و z 2 حول محور z - عمود بر کاغذ - .ما از تغییر شکل های برشی در این قسمت صرفنظر می کنیم اگر چه در نرم افزار های تجاری در نظر گرفته می شود.
ماتریس سختی K می تواند ستون به ستون ساخته شود.برای بدست آوردن جملات هر ستون ما باید مساله تیر نامعین استاتیکی را حل کنیم.برای بدست آوردن جملات در یک ستون درجه آزادی المان متناظر با آن ستون به اندازه واحد جابجا می شود و درجات آزادی دیگر مقید می شوند نیرو ها و لنگر های گرهی که باید برای مقید کردن تغییر شکل اعمال شود بر طبق موقعیتش در ماتریس سختی K نامگذاری می شود. برای جابجایی ها و نیروها جهت های مثبت به سمت بالا هستند و برای چرخش ها و ممان ها جهت مثبت در جهت خلاف عقربه های ساعت می باشد. - شکل - 4 برای حل تیر نامعین از روش تیر مضاعف استفاده می شود. در تیرها و قاب ها روابطی که بین نیروهای برشی - - V و لنگر خمش - M - و بار های گسترده - - w وجود دارد عبارتند از:
