بخشی از مقاله
چکیده
در این پروژه توزیع چگالی موضعی حالت هاي نوري در یک تار شیشه اي، با استفاده از ترکیب روش بسط چندگانه چندقطبی - MME - و انتگرال فوریه به صورت سه بعدي ارائه شده است و با انجام جستجویی کامل در مختصات فضایی و طیفی، مختصات دقیق مکانی و فرکانسی نقاطی که داراي بیشترین مقدار چگالی موضعی حالتهاي نوري هستند، استخراج شده است. مقایسه نتایج این پروژه با نتایج حاصل از تحلیل دو بعدي با منبع خطی ضمن تایید رفتار کلی چگالی موضعی حالتهاي نوري در هر دو مورد، نشان از تفاوت هایی قابل انتظار دارد که ناشی از انتشار در بعد سوم در حالت سه بعدي هستند.
مقدمه
بررسی توزیع چگالی موضعی حالت هاي نوري - LDOS - که با محاسبه تابع گرین میدان الکتریکی در محل منبع موج انجام می شود، ابزاري قدرتمند و دقیق براي مطالعه تاثیر منابعی است که در درون یک ساختار تعبیه شده اند.
بسته به اینکه منابع مورد بحث خطی و یا نقطه اي باشند، محاسبات توابع گرین میدان الکتریکی و مغناطیسی می تواند در فضاي دو بعدي و یا سه بعدي انجام شود.[2] در این مطالعه، از هر دو روش براي یافتن توزیع دو بعدي و سه بعدي چگالی موضعی حالت هاي نوري در یک تار شیشه اي تک هسته اي استفاده شده است و نتایج آنها در هر دو محدوده طیف فرکانسی و مختصات مکانی مورد ارزیابی قرار گرفته اند و به صورت نمودارهاي فضایی- طیفی ارائه شده اند.
همچنین جستجوي کاملی براي یافتن محل نقاطی که داراي بیشترین مقدار چگالی موضعی حالت هاي نوري در محدوده هاي فرکانسی و مکانی هستند انجام شده است که می تواند مرجعی براي انتخاب محل منبع در درون ساختار باشد.
محاسبات و نتایج
محاسبه چگالی موضعی حالت هاي نوري با به دست آوردن پاسخی براي معادله - 1 - که به معادله تابع گرین میدان الکتریکی موسوم است آغاز می شود و در نهایت با استفاده از رابطه - 2 - مقدار دقیق آن به دست می آید
حل معادله - 1 - در حالت کلی می تواند به صورت عددي و یا تحلیلی انجام شود که در روش تحلیلی و به منظور حل دقیق آن از تئوري گراف و بسط چندگانه چند قطبی استفاده می شود که در آن جواب معادله در مختصات استوانه اي، به صورت آنچه در رابطه - 3 - آمده است، در نظر گرفته می شود
رابطه - 3 - در مختصات محلی نوشته شده است و این موضوع استفاده از آن را عمومیت می بخشد، از این رو استفاده از آن هیچ محدودیتی براي ساختار مساله ایجاد نمی کند. اما استفاده از آن تنها زمانی ممکن است که منبع داراي تقارن استوانه اي باشد در غیر اینصورت باید ابتدا مساله را به فرم قابل حل در مختصات استوانه اي تبدیل و سپس از فرم گراف آن استفاده نمود. با استفاده از تبدیل فوریه، امکان ساده سازي و کاهش ابعادي مساله از سه بعد به دو بعد فراهم خواهد آمد. در نتیجه با ترکیب روش بسط چندگانه چند قطبی با روش انتگرال فوریه، الگوریتم مناسبی براي محاسبه سه بعدي چگالی موضعی حالتهاي نوري به دست می آید.[
در این روش که استفاده از آن به دلیل تحلیلی بودن بسیار دقیق بوده و از اینرو نسبت به روشهاي عددي داراي مزیت است، ابتدا با انجام یک تبدیل فوریه مطابق آنچه در رابطه - 4 - آمده است، محاسبات را از حالت سه بعدي به دو بعدي پارامتري کاهش می دهیم و پس از انجام محاسبات دو بعدي به صورت پارامتري در نهایت از تبدیل وارون فوریه استفاده می کنیم و نتایج سه بعدي را به دست می آوریم.
به دلیل کاربرد گسترده چگالی موضعی حالت هاي نوري، خصوصا در تعیین ویژگی هاي مدي ساختار، بررسی تغییرات فضایی-طیفی چگالی موضعی حالت ها از جایگاه ویژه اي برخوردار است. از اینرو در ادامه تمرکز خود را معطوف به بررسی این تغییرات می نماییم.
در ساده ترین حالت، ساختار یک تار شیشه اي تک هسته با شعاع a را در نظر گرفته و نمودارهاي فضایی-طیفی مربوط به منابع خطی و نقطه اي درون ساختار را رسم کرده ایم. این نمودارها در شکل هاي 1 و 2 به صورت لگاریتمی نسبت به فضاي همگن نشان داده شده اند.
شکل:1 نماهاي 3بعدي - تصویر بالا - و 2بعدي - تصویر پایین - از چگالی موضعی حالتهاي نوري - LDOS - براي منبعی خطی در امتداد محور تار شیشه اي و در محدوده فرکانسی a / λ ∈ - 0.05, 0.5 - و بازه مکانی . r / a ∈ - 0, 10 -
سوم در نمودار مربوط به منبع نقطه اي دانست که علاوه بر این تاثیرگذاري باعث می شود تا بخشی از انرژي منبع در راستاي بعد سوم از دست رفته و از این رو مقدار کلی چگالی موضعی حالتهاي نوري - LDOS - تا حدي کاهش می یابد.
براي مثال مقدار بیشینه لگاریتم چگالی موضعی حالت هاي نوري در شکل1 که معادل :
Log10 - ρ/ρ0 - =0,249377 می باشد، در فرکانس a/λ =0,349498 و مختصات مکانی r/a = - 0,0 - رخ داده است که همین مقدار در شکل2 و براي همان نقطه با همان مختصات فرکانسی و مکانی برابر است با .Log10 - ρ/ρ0 - =0,153249 همچنین براي یافتن محل دقیق نقاطی که بیشترین مقدار چگالی موضعی حالت هاي نوري را دارند، جستجوي کاملی در مختصات مکانی و فرکانسی انجام شده است که نتایج آن نیز در شکل 3 ارائه شده است.
شکل:2 نماهاي 3بعدي - تصویر بالا - و 2بعدي - تصویر پایین - از چگالی موضعی حالتهاي نوري - LDOS - براي منبعی نقطه اي در امتداد محور تار شیشه اي و در محدوده فرکانسی a / λ ∈ - 0.05, 0.5 - و بازه مکانی . r / a ∈ - 0, 10 - همانگونه که مشاهده می کنیم روند بیشتر شدن نوسانات مکانی در نمودار توزیع چگالی موضعی حالت هاي نوري با افزایش فرکانس، در هر دو شکل 1 و 2 باعث می شود تا نمودار طیفی چگالی موضعی حالت ها با افزایش فرکانس وابستگی بیشتري به محل منابع مولد موج پیدا کند و این رفتار در هر دو مورد مشابه و قابل انتظار است.
اما تفاوت بارزي که در این دو نمودار مشاهده میشود، بیشتر مربوط به نواحی نزدیک به مرز تار شیشه اي است. به گونه اي که در نمودار ناشی از منبع نقطه اي - شکل - 2 یک جهش قابل توجه در محل مرز تار شیشه اي رخ می دهد، در حالی که در نمودار ناشی از منبع خطی چنین جهشی را نمی بینیم. اگر چه با وجود چنین جهش قابل توجهی، ویژگی پیوسته بودن مولفه مماسی میدان هاي تشعشعی همچنان پابرجاست،
شکل:3 نماي 3بعدي از بیشینه مقادیر چگالی موضعی حالتهاي نوري - LDOS -
براي منبعی نقطه اي در امتداد محور تار شیشه اي و در محدوده فرکانسی a / λ ∈ - 0.05, 0.5 - و بازه مکانی r / a ∈ - 0,10 - براي x وy با استفاده از داده هاي نمودار شکل3 می توانیم محل دقیق ماکزیمم هاي چگالی موضعی حالت هاي نوري را در مختصات مکانی و فرکانسی بیابیم که این کار براي مطالعه بهترین محل تحریک مودها
در داخل یک تار شیشه اي بسیار مفید است ضمن اینکه اطلاعات بسیاري درباره توزیع فرکانسی و مکانی مودهاي موجود در تار نوري به ما می دهد.
