بخشی از مقاله
خلاصه
در تحقیق حاضر به حل دقیق محیط نیمهبینهایت ایزوتروپ جانبی تحت اثر بار متحرک که کاربرد وسیعی در مکانیک مهندسی دارد، پرداخته شدهاست. بدینمنظور، معادلات ناویه با استفاده از تابع پتانسیل تغییرمکان به معادله دیفرانسیل پارهای مرتبه چهار تقلیل دادهشده و بهمنظور اقناع شرایط اولیه، مساله در فضای زمانی بررسی میشود. حل معادلات حاکم به کمک تبدیلات انتگرالی دوگانه انجام شده و پس از تعیین پاسخها در فضای تبدیلیافته، با در نظر داشتن تعریف تبدیل لاپلاس مشتق اول تابع پتانسیل و مفهوم وضعیت پایدار، مولفههای تنش در فضای حقیقی بهدست میآیند. در نهایت اثر سرعت بارگذاری بر پاسخهای شش نوع مصالح ایزوتروپیک و ایزوتروپ جانبی موردمطالعه و مقایسه قرار میگیرد؛ بسته به مشخصات مکانیکی مصالح، محیط موردبررسی رفتار متفاوتی در برابر تغییرات سرعت حرکت بار متحرک نشان میدهد که قابل تامل است.
1. مقدمه
پیچیدگیهایی که در بررسی مسائل انتشار امواج به ویژه در فضای زمانی وجود دارد موجب علاقهمندی بسیاری از محققان به این مبحث مکانیک مهندسی شدهاست. انتشار امواج در یک محیط ارتجاعی به معنی انتقال تغییرشکل از یک نقطه به نقطه دیگر میباشد؛ بر اساس مبانی مکانیک محیطهای پیوسته، تغییرشکلها سبب ایجاد مولفههای تنش در محیط مورد مطالعه هستند، بنابراین به همراه انتقال تغییرشکلها تنشها نیز از یک نقطه به نقطه دیگر منتقل میشوند؛ از این رو گاهی انتشار امواج در محیط ارتجاعی به نام انتشار امواج تنشی نیز نامیده میشود.[1] رفتار مکانیکی مصالح و شرایط مرزی حاکم بر مساله، تعیینکننده نحوه انتشار امواج در محیط میباشد. زیرسازی باند فرودگاهها، مسیرهای خاکی و صخرهای و خطوط راهآهن از جمله محیطهای نیمهبینهایت شناختهشدهای هستند که در معرض حرکت اجسام قرار دارند؛ در اینصورت، طراحی سیستمهای حملو نقل زمینی، نیاز به بررسی نیمفضا تحت اثر بارگذاری دلخواه دارد.[2] روشهای تحلیلی به دلیل دقت و کامل بودن نتایج، از جمله روشهایی هستند که در حل مسائل مختلف مربوط به انتشار امواج در تیرها، صفحات، پوستهها و محیطهای نیمهبینهایت مورد توجه قرار دارد. در این بین، طرح موضوع و تحلیل محیط نیمهبینهایت، در بین مسائل اشارهشده، قدمت بیشتری، بیش از دو سده، داشته و بهدلیل اهمیت و نیز پیچیدگی آن همچنان در ادبیات فنی حائز اهمیت است. فرمولبندی مسائل با بهکارگیری توابع پتانسیل، یکی از رایجترین روشهای کاربردی در تئوری الاستیسیته است. در مسائلی که شرایط مرزی تغییرمکانی مطرح است،
پیشنهاد میشود از توابع پتانسیل تغییرمکان در حل مساله بهره گرفته شود، در حالی که در صورت حاکم بودن شرایط مرزی نیرویی بهتر است توابع پتانسیل تنش مورد توجه قرار گیرد. در فرمولبندی ترکیبی، ممکن است هر یک از توابع پتانسیل تنش و یا تغییرمکان با در نظر گرفتن سهولت روند حل، پیشنهاد شود. مشخص است در تحلیل دینامیکی، با دخیل شدن متغیر زمانی، شرایط اولیه هم در انتخاب تابع پتانسیل تاثیرگذار خواهد بود.[3] در سال 1940، لخنیتسکی مجموعهای از توابع پتانسیل را برای حل محیطهایی با رفتار ایزوتروپ جانبی و تقارن محوری در حالت استاتیکی ارائه نمود[1] که مدتی بعد توسط هو و نوواکی به مسائل کلی ایزوتروپ جانبی در حالت سهبعدی تعمیم دادهشد.[4] اسکندریقادی در سال 2005، در مقالهای به معرفی کامل توابع پتانسیل تغییرمکان در مختصات کارتزین و استوانهای در حالت ایزوتروپ جانبی، که در حل معادلات وابسته ناویه مورد توجه بوده، پرداخت، بدین ترتیب استفاده از توابع پتانسیل در حل مسائل دینامیک محیطهای نیمهبینهایت بهشکل عمده مطرح شد.[5]
از مطالعات انجام گرفته طی سالهای اخیر در زمینه تحلیل صفحات ضخیم و محیطهای نیمهبینهایت با استفاده از توابع پتانسیل تغییرمکان معرفیشده توسط اسکندریقادی که در واقع تکمیلیافته توابع پتانسیل لخنیتسکی، هو و نوواکی است، میتوان به پژوهشهای نعمتزاده و همکاران[6]، نوائینیا و بخشنده در زمینه خمش و ارتعاش آزاد صفحات ضخیم ایزوتروپ جانبی[7] و نوائینیا و همکاران که موضوع بار متحرک را در صفحات مستطیلی ضخیم ایزوتروپ بررسی نمودهاند[8]، اشاره کرد که نشانگر موفقیتآمیز بودن روش موردبحث در تحلیل دقیق محیطهای پیوسته ایزوتروپ و ایزوتروپ جانبی است. دهستانی و همکاران در پژوهشهای خود، با استناد به توابع پتانسیل هلمهولتز و روش تبدیلات انتگرالی پاسخهای محیط نیمه-بینهایت ایزوتروپ و الاستیک را تحت اثر بارگذاری متحرک در وضعیت تنش صفحهای بهدست آورند. در پژوهش موردبحث، بهمنظور تعیین پاسخها از ویژگیهای تبدیل لاپلاس و روش کاگنیارد-دیهوپ استفاده شدهاست9]،.[2
هدف از این تحقیق، ارائه راهحلی مبتنی بر توابع پتانسیل تغییرمکان برای حل دینامیکی محیط نیمهبینهایت ایزوتروپ جانبی تحت اثر جسم متحرک در فضای زمانی و تعیین پاسخهای پایدار در محیط مذکور است؛ فرض شده که نیروها بهشکل متمرکز به نیمفضا منتقل میشوند. حل مسائل در فضای زمانی نسبت به فضای فرکانسی، بهدلیل اقناع شرایط اولیه و امکان تعیین تنشهای گذرا ارجحیت دارد؛ در این حالت بارگذاری وارده میتواند تابعی بر حسب زمان باشد که بهطور معمول آن را میتوان بهصورت حاصل جمع توابع ضربهای در زمانهای متوالی نوشت. همچنین توابع ضربهای خود میتوانند بهصورت تفاضل توابع پلهای بیان شوند. به همین دلیل، تابع بارگذاری برای حل مسائل در فضای زمانی بهصورت تابع هویساید و یا دلتای دیراک انتخاب میشوند.[10] بهدلیل پیچیدگی معادلات حاکم بر محیط مورد بررسی در حالت سهبعدی، فرمولبندی مساله در وضعیت صفحهای ارائه شده تا روند تحلیل را سادهتر نماید.
2. روش تحقیق
محیط مورد بررسی در تحقیق حاضر بهصورت ایزوتروپ جانبی مدل میشود؛ در علم مکانیک جامدات محیط ایزوتروپ جانبی به محیطی اطلاق می-شود که نسبت به یک محور خاص متقارن بوده و خواص مکانیکی آن در هر امتداد درون صفحهعمود بر محور مذکور ثابت باشد.[11] مساله مورد مطالعه در وضعیت کرنش مسطح بررسی میشود، در چنین حالتی مولفههای تغییرمکان v و w تنها تابعی از مختصات مکانی y و z هستند و مستقل از مختصه x عمل میکنند.[12] در وضعیت صفحهای ارتباط بین مولفههای تنش و تغییرمکان مطابق رابطه - 1 - ارائه میگردد.[1] در رابطه اخیر، ضرایب - A11, A 12 , A 13 , A 33 , A 44 - ، نشانگر مولفههای مستقل ماتریس سختی در محیط ایزوتروپ جانبی هستند. در حالت دوبعدی، معادلات تعادل دینامیکی همانند رابطه - 2 - ، بیان میشود.
معادلات ناویه، یعنی معادلات حرکت در محیط ارتجاعی بر حسب تغییرمکانها از ترکیب روابط - 1 - و - 2 - حاصل میآیند[12]؛ در مسائل استاتیکی و دینامیکی، برای یافتن پاسخ مساله مورد مطالعه به کمک معادلات ناویه، میتوان پاسخی را برای مولفههای بردار تغییرمکان بر اساس شرایط مرزی حاکم پیدا نمود که پیوسته و مشتقپذیر باشند. انتگرالگیری از معادلات حرکت بهصورت معمول، بهدلیل پیچیدگی ساختار اپراتورهای مشتق در آن دشوار است. اما با تغییر مناسب در مولفههای تغییرمکان میشود رویه انتگرالگیری از روابط حاکم را آسانتر نمود. بهمنظور مستقل نمودن معادلات وابسته ناویه از تابع پتانسیل - F - y , z ,t بهره گرفته شده که ارتباط بین تابع پتانسیل مذکور و مولفههای تغییرمکان، در دستگاه مختصات کارتزین و در حالت دینامیکی بهشکل رابطه - 3 - ارائه میگردد.[5]
سطوح - - z 0 و - z - ، مرزهای محیط نیمهبینهایت را تشکیل میدهند. در - 0 z - ، شرایط مرزی نیرویی حاکم است که در مساله مورد بررسی بهصورت رابطه - 6 - ، ارائه گشته و در آن P 0 بزرگی بار متمرکز، c نشانگر سرعت بارگذاری و - - y ct تابع دلتای دیراک است. در - z - ، تنشها و تغییرمکانها باید به سمت صفر همگرا شوند که به شرایط تشعشع نیز معروف میباشند. - 6 - × P 0 - y ct - 0, t - yz - y , z 0 ; 0, t - yz - y , z با در نظر داشتن شرایط مرزی در سطح محیط نیمهبینهایت، استفاده از دستگاه مختصات متحرکی که مبدا آن بر مرکز سطح تماس بار متحرک
P 0 قرار داشته و همزمان با آن حرکت کند مناسبتر است، بنابراین مختصات متحرک - , , Z - مطابق رابطه - 7 - تعریف میشود.[13]
روش حل تبدیلات انتگرالی، در یافتن پاسخ مسائل مقادیر مرزی و مقادیر اولیه که معادلات دیفرانسیل جزئی بر آنها حاکم است، بسیار کارآمدند. با استفاده از تبدیلات انتگرالی، معادلاتی که شامل چندین مشتق جزئی هستند به یک معادله سادهتر تبدیل میشوند.[14] تبدیلات انتگرالی فوریه و لاپلاس در رابطه - 9 - عنوان شدهاند. در رابطه اخیر، پارامتر تبدیل فوریه و p پارامتر تبدیل لاپلاس است. پس از اعمال تبدیل لاپلاس نسبت به زمان و تبدیل فوریه نسبت به مولفه تغییرمکان و اقناع شرایط اولیه، معادله - 8 - بهصورت رابطه - 10 - در فضای تبدیلیافته بهدست میآید. پس از حل معادله دیفرانسیل حاکم بر تابع پتانسیل که در رابطه - 10 - ارائه گشته و اقناع شرایط مرزی و شرایط تشعشع، مولفههای تغییرمکان و تنش در فضای تبدیلیافته تعیین میشوند. موفقیت روش تبدیلات انتگرالی به امکان محاسبه معکوس انتگرالهای پدیدآمده وابسته میباشد، در حقیقت
