بخشی از مقاله
چکیده
در این مقاله ارتعاشات یک تیر هدفمند متقارن دو سر مفصل واقع بر بستر الاستیک و تحت تاثیر چندین جرم متحرك بر اساس تئوري اویلر-برنولی مورد بررسی قرار می گیرد. خواص مواد تیر مطابق قانون توانی، بصورت پیوسته و متقارن نسبت به صفحه وسط تیر در راستاي ضخامت آن تغییر می کند.
معادله حاکم بر ارتعاشات عرضی تیر با لحاظ نمودن اثرات اینرسی، نیروي هاي کریولیس و جانب مرکز جرم هاي متحرك بدست می آید. در این مطالعه تاثیر سرعت حرکت اجرام، ضریب فنریت بستر الاستیک تیر و نیز توزیع متنوع خواص مواد تشکیل دهنده تیر در جابجایی عرضی آن مورد بررسی قرار می گیرد. نتایج عددي نشان می دهند که بستر الاستیک و مواد سازنده تیر و نیز سرعت حرکت جرم نقش مهمی در ارتعاشات عرضی تیر ایفا می کنند.
1. مقدمه
بررسی رفتار دینامیکی سازه هایی که تحت تاثیر بارهاي متحرك اعم از نیروي متحرك و جرم متحرك قرار گرفته اند از اهمیت بسیاري در صنعت برخوردار هستند که می توان به سازه هایی مانند پل ها و راه آهن اشاره کرد. به همین دلیل این موضوع یکی از موضوعات مورد علاقه پژوهشگران می باشد. استانیسیک3 و هاردین4 یک حل تحلیلی بر پایه تبدیل فوریه محدود براي تیر اویلر-برنولی تحت اثر چندین جرم متحرك ارائه نمودند .
تینگ6 و همکارانش یک الگوریتم کلی براي تحلیل تیرهاي محدود الاستیک تحت تاثیر یک جرم متحرك ارائه نمودند .[3] آکین7 و مفید تحلیل رفتار دینامیکی تیرها با شرایط مرزي مختلف و با یک جرم متحرك را با یک روش تحلیلی-عددي انجام دادند .[4] فرموله کردن تیرها در معرض انواع مختلف بارهاي متحرك را لین 8 و ترتوي9 بر اساس روش المان محدود انجام دادند .
میچالتسوس10 و همکارانش پاسخ دینامیکی تیر اویلر-برنولی تحت یک بار متحرك را به روش سري ها بررسی نمودند .[6] لی11 تیر تیموشینکو تحت تاثیر یک جرم متحرك را با استفاده از روش لاگرانژ و روش مود فرضی مورد تحلیل قرار داد
اسماعیل زاده و قریشی بررسی رفتار تیر تیموشینکو تحت اثر جرم متحرك با توزیع یکنواخت که بر روي قسمتی از تیر قرار دارد را بر اساس روش تفاضل محدود انجام دادند . [8] با استفاده از روش تابع گرین پاسخ دینامیکی تیر اویلر-برنولی تحت یک با متحرك توسط فودا 12 و عبدالجبار بدست آمده است .[9] میچالتسوس و کونادیس13 تحلیل دینامیکی تیر اویلر-برنولی در معرض یک جرم متحرك و با در نظر گرفتن تاثیر نیروهاي کریولیس و گریز از مرکز را انجام دادند .
جیانگ14 و همکارانش با استفاده از روش اندازه گیري شتاب به مطالعه شناسایی جرم هاي متحرك روي تیرهاي پیوسته پرداختند .[11] پاسخ دینامیکی تیر اویلر-برنولی در معرض یک جرم متحرك و با در نظر گرفتن شتاب کریولیس و گریز از مرکز توسط نیکخو و همکارانش بدست آمده است. آنها یک الگوریتم کنترل کلاسیک بهینه خطی را براي کنترل پاسخ دینامیکی تیر بکار گرفتند .
کیانی و همکارانش به بررسی ماکزیمم جابجایی و ممان خمشی تیرها با انواع شرایط مرزي به سبب وجود یک جرم متحرك را با استفاده از اصل هامیلتون و تئوري هاي اویلر-برنولی، تیموشینکو و تئوري مرتبه سوم پرداختند .[13] کارگرنوین و همکارانش با استفاده از توابع ویژه وابسته به زمان، روشی براي یافتن پاسخ دینامیکی تیر تیموشنکو با طول محدود و شرایط تکیه گاهی معین تحت اثر یک جرم متحرك با سرعت ثابت ارائه دادند.[14] پورشهسواري و همکارانش هم با تعمیم و گسترش آنالیز مودال براي سیستم هاي خطی متغیر با زمان به بررسی یک تیر تحت اثر جرم متحرك پرداختند.
با بررسی مطالعات انجام شده می توان نتیجه گرفت که این مطالعات به تحلیل تیرهاي هموژن تحت تاثیر بار متحرك پرداخته اند. البته اخیرا، شیمشک15 با استفاده از تئوري هاي مختلف به تحلیل ارتعاشات اجباري تیرها با ماده هدفمند در معرض یک جرم متحرك پرداخته و خیزهاي دینامیکی و تنش ها را در اینگونه تیرها بررسی نموده است
با این حال تا آنجاییکه نویسندگان مقاله می دانند مطالعه و بررسی رفتار تیرها با ماده هدفمند واقع بر بستر الاستیک که تحت تاثیر تعداد دلخواه جرم متحرك قرار گرفته باشند انجام نشده است . در همین راستا، در این مقاله سعی بر آن است به بررسی پاسخ دینامیکی تیرها با ماده هدفمند و با بستر الاستیک که در معرض چندین جرم متحرك می باشد پرداخته شود.
2. فرمول بندي
مطابق شکل - 1 - یک تیر هدفمند متقارن اویلر-برنولی دو سر مفصل با بستر الاستیک و به طول L ، پهناي b و ضخامت h که تحت تاثیر چندین جرم متحرك M i قرار گرفته است، در نظر بگیرید. به منظور ساده سازي حل مسئله فرض می شود که جرم هاي متحرك با سرعت ثابت v i بر روي خط مستقیم و در راستاي افق حرکت می کنند و همچنین تیر فقط در راستاي z ارتعاش می کند.
در این مقاله فرض می شود سطوح بالا و پایینی تیر از فلز خالص و قسمت وسط تیر از جنس سرامیک خالص می باشد و خواص موثر ماده از قبیل مدول الاستیسیته و چگالی جرمی در راستاي ضخامت تیر نسبت به صفحهz 0 بصورت پیوسته و متقارن تغییر می کند. طبق قانون ترکیب، خواص موثر ماده، خاصیت P ، می توانند بصورت زیر در نظر گرفته شود
شکل .1نمایش تیر هدفمند دو سر مفصل تحت چندین جرم متحرك
که در آن P و V بترتیب خواص ماده و کسر حجمی16 می باشد و اندیس هاي M و C نیز بترتیب نشان دهنده خواص فلز و سرامیک می باشند. با توجه به اینکه در مقالات انواع مختلفی از توابع براي توصیف تغییرات کسر حجمی سازنده مواد هدفمند ارائه شده است در این مقاله یک قانون توانی17 براي توصیف تغییرات خواص ماده از سرامیک خالص در سطح وسط تیرz 0 به فلز خالص در سطح بالایی و پایینی تیر یعنی z h / 2, h / 2 بصورت زیر در نظر گرفته می شود
در رابطه بالا p پارامتر متغیر مثبت - نماي قانون توانی - که چگونگی تغییرات خواص ماده در راستاي ضخامت تیر را نشان می دهد. اکنون با جایگذاري رابطه - 2 - در - - 1، خواص موثر ماده تیر از قبیل مدول الاستیسیته و چگالی جرمی را می توان بصورت زیر بیان کرد
با استفاده از تئوري کلاسیک ورق لایه لایه18 و با فرض طویل بودن تیر و با صرفنظر از اثرات کوپلینگ برش و پواسون، معادله حاکم بر ارتعاشات تیر هدفمند متقارن با بستر الاستیک تحت تاثیر چندین جرم متحرك از رابطه زیر بدست می آید
