بخشی از مقاله
خلاصه
دراین مقاله یک محیط نیمه بی نهایت با رفتار ایزوتروپ - همسان - جانبی که محور ایزوتروپی - همسانی - آن عمود بر سطح آزاد بوده و حفره استوانه اي با طول محدود در امتداد محور ایزوتروپی در آن ایجاد شده است، در نظر گرفته شده و پاسخ آن به پیچش معلوم روي دیواره این استوانه و حول محور استوانه به صورت تحلیلی بررسی می شود. بدین منظور معادلات تعادل استاتیکی حاکم بر مساله در دستگاه مختصات استوانه اي نوشته شده و با تقسیم محیط به دو ناحیه و نوشتن معادلات تعادل براي هر ناحیه به صورت مجزا و استفاده از تبدیل کسینوسی فوریه، جابجایی محیط در فضاي تبدیل یافته ارائه می گردد. با نوشتن شرایط مرزي و پیوستگی، معادله انتگرالی کوشی حاکم بر مساله بدست می آید. با حل معادله انتگرالی حاکم، توابع تنش و تغییر مکان در هر نقطه از محیط به دست می آیند. نتایج بدست آمده براي محیط هاي ایزوتروپ جانبی با نتایج موجود براي محیط هاي ایزوتروپ مقایسه می شود.
کلمات کلیدي: پیچش، محیط ایزوتروپ جانبی، تبدیل کسینوسی فوریه، معادلات انتگرالی، تنش.
1. مقدمه
مسئله بررسی میزان تنش و کرنش بوجود آمده در یک محیط نیمه بی نهایت تحت اثر نیروهاي ناشی از دیسک صلب و شمع هاي کوتاه یا بلند مورد توجه محققین و مهندسین بوده است .[5-1] بررسی صحیح این مسئله نیازمند به بررسی اندرکنش شمع و محیط است و این خود نیاز به تحلیل محیط نیمه بی نهایت تحت اثر نیروهاي ناشی از شمع موثر بر فصل مشترك جدار شمع و محیط دارد. به همین علت تحقیق در مورد محیط نیمه بی نهایت که در آن حفره اي با طول محدودایجاد شده و دیواره حفره تحت اثر تنش قرار دارد توجه محققان و مهندسان در زمینه ریاضیات کاربردي و مکانیک مهندسی را به خود جلب کرده است 5]و.[6 اولین بار نتایج تقریبی اعمال فشار هیدرواستاتیک در فواصل زمانی معین بر جداره حفره بی نهایت که در داخل یک محیط بی نهایت صلب وجود دارد، توسط وسترگارد در سال 1941 به دست آمد .[5] آنالیز سه بعدي حفره استوانه اي توسط گرین و زرنا در سال 1944
انجام گرفت. استرنبرگ و سدوسکی در سال 1949 به بررسی حفره استوانه اي در داخل صفحه اي با ضخامت مشخص پرداخته اند . [6] تحقیقات بیشتر در زمینه محیط بی نهایت توسط محققینی چون ترنتردر سال 1941 و سرویاستاو در سال 1946 و سریواستاو-نارین در سال 1966 انجام گرفت .[5] درسال 1983 پارنرز به بررسی اثر پیچش متمرکز بر روي دیواره حفره بی نهایت پرداخته است .[5] در سال 1992، رنجی و یوآن با در نظر گرفتن حفره مستطیلی در داخل محیط استوانه اي اثر پیچش بر دیواره حفره را مورد بررسی قرار دادند. در بسیاري از کاربردهاي مهندسی از جمله حفرفونداسیون ها، مطالعات ژئوتکنیکی در محل و تکنولوژي حفاري با یک محیط مشخص که در آن حفره اي با طول معین ایجاد می شود سر و کار داریم، لذا لزوم تحقیقات گسترده در این زمینه احساس می شود. پک و عابدزاده - 1992 - پاسخ یک محیط نیمه بی نهایت با رفتار ایزوتروپ به پیچش یکنواخت وارد بر جدار حفره استوانه اي با طول محدود را بررسی کرده و جواب تحلیلی براي آن به دست آورده اند. در زمینه مهندسی کاربردي و ژئوتکنیک بیشتر با زمینهایی که خاك آنها تحت اثر نیروي ثقلی رسوب کرده و یا از سربار شدن نهشته هاي طبیعی روي هم تشکیل می شود،
مواجه هستیم و در ملاحظات کاربردي این ناهمسانی با رفتار ایزوتروپ جانبی مدلسازي می شود. در این مقاله به همین علت محیط نیمه بی نهایت با رفتار ایزوتروپ جانبی در نظر گرفته می شود. به منظور حل ابتدا با تقسیم محیط به دو ناحیه مجزا و نوشتن معادلات تعادل براي هر ناحیه، معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی حاصل می شوند که با استفاده از تبدیل کسینوسی فوریه به معادلات دیفرانسیل معمولی تبدیل شده و از حل آنها جا بجایی ها در فضاي تبدیل یافته به دست می آیند. با استفاده از قضیه عکس تبدیل انتگرالی، جابجایی هاي محیط در فضاي واقعی به دست می آیند. ثابت هاي انتگرالگیري با معرفی یک تابع میانی و ارضاء شرایط پیوستگی و سازگاري بین دو ناحیه در فضاي واقعی بدست می آیند. با نوشتن شرایط سازگاري، معادله انتگرالی کوشی حاکم بر تابع میانی مساله حاصل می شود. با حل معادله انتگرالی کوشی ، جابجایی ها به دست می آیند. با استفاده از معادلات رفتاري تنشها در محیط ایزوتروپ جانبی به دست می آیند. با برآورد عددي نشان داده می شود که جوابهاي مسئله در حالت ساده تر، مربوط به محیط هاي ایزوتروپ، بر جوابهاي موجود منطبق است که دلالت بر صحت و دقت نتایج دارد.
2. معادلات حاکم بر مسئله مقدار مرزي
یک محیط نیمه بی نهایت ارتجاعی، همگن و با رفتار ایزوتروپ جانبی با یک حفره استوانه اي به عمق l و شعاع a مطابق شکل - 1 - در نظر گرفتهمی شود. دستگاه مختصات استوانه اي - r,, z - را مطابق این شکل در نظر می گیریم. محور ایزوتروپی محیط در امتداد محور z و در نتیجه عمود بر سطح نیم فضا در نظر گرفته می شود. دیواره حفره در فاصله 0 z l تحت اثر تنش برشی معلوم * - z - قرار دارد. نتیجه این تنش برشی گشتاور معلوم l0* - z - dz 2 a2 می باشد. به منظور حل، محیط را به دو ناحیه R1 و R2 به صورت ذیل تقسیم می کنیم - شکل : - 1در این روابط اندیس 1 مربوط به ناحیه R1 و اندیس 2 مربوط به ناحیه R2 می باشد. در این روابط r و z تنشهاي برشی و تنها تنشهاي غیر صفر محیط هستند و همچنین u u تغییر مکاندر امتداد در دستگاه مختصات معرفی شده است. طبیعت مسئله چنان است که که ur uz 0 می باشد. روابط بین تنش تغییر مکان براي تنشهاي غیر صفر به صورت زیر می باشند :[7]
3. حل معادلات حاکم
با توجه به دامنه مسئله براي تبدیل معادلات با مشتقات جزئی - 11 - و - 12 - به معادلات دیفرانسیل معمولی از تبدیل کسینوسی فوریه استفاده می کنیم .[8] از آنجایی که دامنه R1 از z 0 تا بی نهایت و دامنه R2 از z l تا بی نهایت است، تبدیل کسینوسی فوریه توابع در این دامنه ها متفاوت بوده و به ترتیب به صورت زیر نوشته می شوند : که در آن از شرایط - 6 - ، - 7 - و - 8 - استفاده شده است. با تغییر متغیر r و معادله - 17 - به معادله بسل اصلاح شده مرتبه اول در می آید و جواب آنها بر حسب r و در حالت کلی به صورت : می باشند که در آن I1 - x - و K1 - x - توابع بسل اصلاح شده نوع اول ودوم از مرتبه یک می باشند. در ناحیه R1 هنگامیکه r ، I1 به سمت بی نهایت میل می کند. به منظور داشتن جواب قابل قبول - B1 - صفر می باشد. همچنین در ناحیه R2 هنگامیکه r 0 ، K1 به بی نهایت میل می کند، که در این صورت - A2 - ، صفر می باشد. با استفاده از قضیه عکس تبدیل کسینوسی فوریه جابه جایی ها در دو ناحیه به ترتیب به صورت :
