بخشی از مقاله
چکیده
مدل تحلیلی برای تیر انعطافپذیر با الیافی از جنس آلیاژ حافظهدار که روی بستر الاستیک پاسترناک قرار گرفته، ارائه شده است. تحلیل تیر براساس رویکردهای نیمه معکوس که مبتنی بر الگوی تغییر شکل مشخص در مقطع میباشد، بنا شده است.
در این راستا معادلههای حاکم بر تیرهای اولر-برنولی، رایلی، برشی و تیموشنکو با استفاده از اصل همیلتون استخراج شدهاند. فرض میشود ابتدا الیاف حافظهدار تحت پیش کرنش فشاری قرار گرفته و درون تیر جاسازی شوند. عملیات بازیابی کرنش منجر به ایجاد نیروی فشاری در تکیهگاههای ساده میشود. این نیرو با استفاده از رابطهی بنیادی تغییر فاز مارتنزیتی مدل شده است.
با بی بعدسازی معادله های حاکم، پاسخی تحلیلی برای محاسبهی فرکانس طبیعی تیر انعطافپذیر آلیاژ حافظهدار استخراج گردیده است. اعتبار نتایج از طریق مقایسهی موردی با تحلیل-های مشابه مورد صحتسنجی قرار گرفته است. براساس تحلیلهای انجام شده، تاثیر ضرایب بستر الاستیک پاسترناک، تعداد الیاف حافظهدار و نسبت ضخامت به طول تیر روی فرکانس طبیعی در دمای بالاتر از دمای پایان آستنیت براساس نظریههای مختلف تحلیل تیر مورد مطالعه قرار گرفته است. ضریب بستر الاستیک غالب مشخص شده است.
1. مقدمه
آلیاژهای حافظهدار دستهای از آلیاژهای فلزی میباشند که در اثر تغییر فاز ناشی از دما یا میدان مغناطیسی میتوانند به شکل و اندازهی اصلی خود بازیابی شوند. این تغییر فاز منجر به بروز اثر حافظهداری1 و اثر شبهالاستیسیته 2 میشود .[1] در میان مواد هوشمند، آلیاژهای حافظهدار برای کنترل فعال سازههای کامپوزیتی به منظور افزایش پایداری، کاهش نویز و ارتعاشات مناسب میباشند .[4-2] در دو دههی گذشته مدلهای ریاضی بنیادی بسیاری به منظور پیش بینی ویژگیهای آلیاژ حافظه دار تحت بار ترمو-مکانیکی ارائه شده است.
تاناکا [5] اولین مدل یک بعدی را با استفاده از تابع نمایی به منظور توصیف تغییر فاز بین دو فاز مارتنزیت و آستنیت ارائه کرد. مدل کاملتری نسبت به مدل قبل توسط لیانگ-راجرز [6] پیشنهاد شد که در این مدل، تغییر فاز با استفاده از تابع کسینوسی پیش بینی گردید.
با توجه به ضعف دو مدل قبلی در شبیهسازی فرآیند جهتگیری مارتنزیت، برینسون [7] مدل کاملتری را ارائه کرد. بوید و لاگوداس مدل سه بعدی توسعه یافتهتری را به منظور توصیف رفتار شبهالاستیک و اثر حافظهداری پیشنهاد کردند.
"ﻻ " به بررسی مشخصه های ارتعاشی در تیرهای کامپوزیتی آلیاژ حافظهدار با شرایط مرزی مختلف پرداخت. او با معرفی یک مدل تئوری ساده، فرکانسهای طبیعی سازه را قبل و بعد از تحریک الیاف حافظهدار مورد ارزیابی قرار داد.
کنگ و همکاران [9] پاسخ ضربهی کامپوزیت شیشه/اپوکسی با الیاف حافظهدار جاسازی شده در آن را که در معرض ضربهی سرعت پایین قرار گرفته در دماهای مختلف ارزیابی نمودند. برینسون و همکاران [10] با استفاده از سرمایش و گرمایش الیاف حافظهدار کنترل فعال خیز را مورد بررسی قرار دادند.
نی و همکاران [11] سفتی و مشخصههای ارتعاشی تیر کامپوزیتی با الیاف حافظهدار کوتاه جاسازی شده در آن را مورد بررسی قرار دادند. آنها به این نتیجه دست یافتند که با اضافه کردن این الیاف، مشخصههای ارتعاشی تیر کامپوزیتی بهبود مییابد.
برزگری و همکاران [12] به تحلیل ارتعاشات آزاد تیر کامپوریتی با الیاف حافظهدار جاسازی شده در آن پرداختند. آنها مدلی تحلیلی به منظور ارزیابی فرکانسهای طبیعی و شکل مود با استفاده از نظریههای تیر ارائه کردند.
عبداللهی و همکاران [13] به بررسی پایداری حرارتی غیر خطی تیر کامپوزیتی با الیاف حافظهدار پرداختند. آنها با در نظر گرفتن تئوری تیر تیموشنکو و بستر الاستیک غیر خطی، معادلههای حاکم را استخراج کرده و با استفاده از روش عددی تربیع دیفرانسیلی تعمیم یافته3، به حل این معادلهها پرداختند.
نظریههای مهندسی مختلفی نظیر اولر-برنولی، رایلی، برشی و تیموشنکو به منظور مدل کردن رفتار تیر الاستیک وجود دارد. در این میان نظریه تیر اولر-برنولی یا نظریه کلاسیک نتایج قابل قبولی برای پیش بینی فرکانسهای طبیعی در تیرهای نازک ارائه میدهد. اما این نظریه در مدهای بالا و یا تیرهای ضخیم، فرکانسهای طبیعی را بیش حد معمول نشان میدهد.
نظریه تیر رایلی با در نظر گرفتن اثر اینرسی چرخشی سطح مقطع، نتایج مدل قبلی را به طور نسبی بهبود بخشیده است اما همچنان نتایج بهدست آمده بیش از حد معمول میباشد. در نظریه تیر برشی که اثر تغییر شکل برشی به نظریه کلاسیک اضافه میشود، فرکانسهای طبیعی به شکل چشمگیری بهبود پیدا میکند. نظریه تیر تیموشنکو علاوه بر در نظر گرفتن تغییر شکل برشی، اینرسی چرخشی سطح مقطع تیر را لحاظ میکند که منجر به ایجاد نتایج دقیقتری نسبت به نظریههای قبلی میشود
تا آنجا که مولفین اطلاع دارند، بررسی اندکی روی تیر انعطافپذیر با الیاف آلیاژ حافظهدار روی بستر الاستیک صورت پذیرفته است. این در حالی است که برای مدلسازی بسیاری از سازههای هوشمند در نظر گرفتن بستر الاستیک حائز اهمیت میباشد. در پژوهش حاضر، روابط تحلیلی به منظور ارزیابی فرکانس طبیعی تیر برای دمای بالاتر از دمای پایان آستنیت با بهکارگیری نظریههای اولر-برنولی، رایلی، برشی، تیموشنکو با در نظر گرفتن بستر الاستیک پاسترناک ارائه گردیده است. نتایج برای تکیهگاه ساده و با ضخامتهای مختلف تیر نشان داده شده است. ضریب بستر برشی و بستر وینکلر با افزایش تعداد الیاف باعث تغییر در فرکانس طبیعی میشود.
2. مدلسازی اثر الیاف حافظهدار
تیر انعطافپذیر آلیاژ حافظهدار نشان داده شده در شکل - 1 - ، با توجه به آرایش الیاف به صورت ارتوتروپیک در نظر گرفته میشود. بر اثر اعمال جریان الکتریکی به الیاف، الیاف گرم شده و سبب ایجاد عملیات بازیابی کرنش در تیر میشود. در این عملیات به دلیل اتصال الیاف به تیر کامپوزیتی، تنشی کششی در راستای طول تیر تولید شده که به صورت رابطهی - ٌ - قابل محاسبه میباشد .
در رابطه - 1 - ، سطح مقطع بدون حضور الیاف حافظهدار، تنش ایجاد شده در الیاف و SMA سطح مقطع الیاف میباشد.
با توجه به فقدان تنش در دو راستای پهنا و ضخامت، کرنش محوری تیر به صورت رابطه - 2 - محاسبه میشود.
در رابطه - 2 - ، معرف کرنش، مدول الاستیسیتهی مواد کامپوزیت، ضریب انبساط حرارتی و دمای اعمال شده میباشد. همچنین، اندیس 0 نشان دهنده شرایط اولیه تیر کامپوزیتی است. 0 دمای مرجع بوده و مقدار آن 25°C در نظر گرفته میشود.
شکل .1 تیر کامپوزیتی آلیاژ حافظهدار
رابطهی بنیادی یک بعدی الیاف حافظهدار در طی تغییر فاز مارتنزیتی به صورت رابطه - 3 - میباشد .[6]
در رابطهی - 3 - ، معرف مدول یانگ الیاف، ضریب انبساط حرارتی، ضریب تغییر فاز و کسر مارتنزیتی میباشد.با جایگذاری رابطه - 2 - در رابطه - 3 - و با انجام سادهسازی، نیروی محوری تولید شده به صورت رابطه - 4 - نتیجه میشود.
در رابطه - 4 - ، کسر مارتنزیتی ، مدول یانگ ، ضریب تغییر فاز و سطح مقطع الیاف SMA به صورت رابطه - 5 - تعریف میشوند.
در رابطه - - 5، معرف دمای شروع آستنیت، دمای پایان آستنیت، مدول یانگ فاز مارتنزیت، مدول یانگ فاز آستنیت، حد کرنش قابل بازیابی - کرنش پسماند ماکزیمم - که 4% فرض شده و تعداد الیاف میباشد.
3. تحلیل فرکانسی بر پایهی اقسام نظریههای تیر انعطافپذیر روی بستر الاستیک ×
در این بخش فرکانسهای طبیعی تیر انعطافپذیر براساس نظریههای تیر اولر-برنولی، رایلی، برشی و تیموشنکو محاسبه میشوند.
3,1 نظریهی تیر اولر-برنولی
در نظریهی اویلر-برنولی برای تیرهای نازک ، یک فرض مهم این است که مقطع هر صفحه بعد از تغییر شکل به صورت صفحه و عمود به خط مرکزی باقی می ماند. در این تئوری مولفههای جابجایی هر نقطه در سطح مقطع به صورت رابطه - ّ - میباشند.
در رابطه - ّ - ، ، و به ترتیب نشان دهندهی جابجایی در راستای محور طولی تیر، پهنا و خیز میباشند. با بکار گیری اصل همیلتون میتوان معادلهی دیفرانسیل حرکت را به صورت رابطه - 7 - استخراج نمود.
در رابطه - - 7، نشان دهندهی ضریب بستر وینکلر، ضریب بستر برشی و نیروی محوری ایجاد شده در الیاف میباشد. به منظور بیبعد سازی رابطه - 7 - ، پارامترهای بیبعدی به صورت رابطه - 8 - در نظر میگیریم.
