مقاله بررسی شرایط وقوع رزونانس پارامتریک در کشتی ها

بخشی از مقاله

این مقاله دارای فرمول زیادی میباشد

چکيده
در اين مقاله ناپايداري عرضي کشتي ها تحت امواج از روبرو بررسي مي گردد. تغييرات پايداري عرضي تحت اين امواج باعث ايجاد رزونانس در حرکت رول (roll ) مي شود. تحت اين شرايط دامنه رول افزايش يافته و مي - تواند خسارات زيادي را بوجود آورد. پيدايش رزونانس وابسته به عواملي نظير فرم بدنه کشتي ، طول موج ، فرکانس برخورد و ميرايي در حرکت رول کشتي مي باشد. به همين منظور، کشتي مورد نظر بايد تحت شرايط متفاوت از نظر احتمال وقوع رزونانس بررسي شود. روش تحليل در اين مقاله مبتني بر تعيين ميزان تغييرات پايداري و بررسي شرايط ناپايداري معادله رولينگ کشتي است . با توجه به نتايج بدست آمده احتمال وقوع رزونانس پارامتريک معمولا هنگامي بوجود مي آيد که طول موج برخوردي برابر با طول کشتي و فرکانس برخورد نزديک به دوبرابر فرکانس طبيعي رول کشتي باشد. نرم افزار و روش بررسي ارائه شده ، مي تواند در مورد انواع کشتي ها در شرايط مختلف مورد بهره برداري قرار گرفته و وقوع پديده رزونانس پارامتريک را پيش بيني نمايد.
کلمات کليدي : رزونانس پارامتريک ، امواج طولي ،رولينگ ، کشتي هاي باربري

مقدمه
حرکات کشتي در امواج منظم و يا نامنظم را مي توان با استفاده از روش هاي خطي و غيرخطي مطالعه کرد. در بيشتر موارد بجاي تحليل حرکت ۶ درجه آزادي کشتي ، از تحليل ۱ درجه آزادي ويا کوپل ۲ و۳ درجه آزادي حرکات استفاده مي شود.
از ميان درجات آزادي مختلف غلتش عرضي کشتي رولينگ (rolling)، از اهميت ويژه اي برخوردار است . اين حرکت بيشتر به صورت مستقل (۱ درجه آزادي ) مورد مطالعه قرار مي گيرد. علت اين امر آن است که در زواياي غلتش بزرگ احتمال ناپايداري ديناميکي و واژگوني افزايش مي يابد. در اينگونه موارد تئوري هاي خطي کاربرد خود را از دست داده و تئوري هاي غير خطي جايگزين آنان مي شوند. پديده هاي ديناميکي متعددي ، در رابطه با واژگوني کشتي ، شناسايي شده اند و بصورت غير خطي مورد تحليل قرار مي گيرند[۱].
پارامتريک رولينگ و يا رزونانس پارامتريک از اين موارد به شمار مي آيد. هنگامي که رزونانس پارامتريک اتفاق مي افتد، زوايه غلتش عرضي کشتي به تدريج افزايش مي يابد و در نهايت منجر به واژگوني مي گردد. دليل وقوع رزونانس پارامتريک تغييرات پايداري عرضي کشتي در برخورد با امواج طولي ( از پشت يا روبرو) مي باشد.
احتمال وقوع رزونانس پارامتريک در کشتي هاي باربري وجود داشته و مي تواند خسارات شديدي ايجاد نمايد. به طور نمونه مي توان به واقعه اي در سال ۱۹۹۶ که براي کشتي بنام Post Panamx و در درياي آتلانتيک رخ داد اشاره کرد . در اين حادثه در اثر امواج ناشي از طوفان زوايه غلتش عرضي بين ۳۵ تا ۴۰ درجه گزارش شده است [۲].
با وجود اينکه اين پديده بيشتر از ۵۰ سال است که شاخته شده است ، IMO بتازگي و در سال ۱۹۹۵ تمهيداتي براي آن معين کرده است [۳] . همچنين موسسه ABS در سال ۲۰۰۴ براي طراحي کشتي هاي باربري با توجه به رزونانس پارامتريک معيارهايي تعيين کرده است [۴]. در موارد مشابه اثرات تغيير سرعت و ميرايي در حرکت رول بر روي رزونانس پارامتريک بررسي شده است [۵].
رزونانس پارامتريک در حرکت رول
هنگامي که کشتي در آب آرام قرار دارد، اگر مقداري از حالت تعادل خود منحرف شود و سپس رها گردد مي توان انتظار داشت پس از طي چند نوسان ،حول نقطه تعادل ، به دليل وجود ميرايي به حالت تعادل پايدار خود باز گردد. اما هنگامي که کشتي در حال حرکت به امواج برخورد مي کند، ممکن است تحت تاثير نوسانات امواج شروع به حرکت رول افزايشي کند. در اين شرايط تنها پس از مدت زمان کوتاهي زاويه رول مقدار بزرگي خواهد شد. به اين پديده رزونانس پارامتريک در حرکت رول گفته مي شود. مي توان نشان داد رزونانس پارامتريک هنگامي رخ مي دهد که فرکانس برخورد موج نزديک به دو برابر فرکانس طبيعي رول در آب آرام باشد[۴]. با اين وجود سرعت شناور و جهت برخورد امواج و همچنين ميرايي در بوجود آمدن اين شرايط نقش مهمي بازي مي کنند.
از پارامترهاي تاثير گذار در احتمال وقوع پارامتريک رول مي توان به جهت برخورد امواج ، فرکانس برخورد امواج و ميرايي کشتي درحرکت رول اشاره کرد. هنگامي که جهت امواج به نسبت شناور صفر يا ۱۸۰ درجه باشد احتمال وقوع رزونانس پارامتريک بسيار زياد مي شود. از اين رو رزونانس پارامتريک در کشتي را بيشتر در امواج از روبرو و يا پشت بررسي مي کنند [۵]. همچنين فرکانس برخورد کشتي که خود تابعي از فرکانس موج برخوردي و سرعت خود کشتي است ، در ميزان تغييرات پايداري کشتي تاثير مي گذارد.چرا که در واقع پيشروي قله و قعر موج را در طول کشتي و فاصله اين دو از هم را بيان مي کند . بطورکلي مي توان گفت سرعت کشتي ، جهت برخورد امواج ، مشخصات موج و ارتفاع متاسنتريک در پيدايش رزونانس پارامتريک بايد در محدوده اي متناسب با هم قرار گيرند.
از طرف ديگر ميرايي کشتي در حرکت رول تحت تاثير عواملي نظير امواج سطح ، اصطکاک بدنه ، سرعت کشتي ، گردابه هاي اطراف بدنه و بيلج کيل است . اگر اتلاف انرژي ناشي از ميرايي کشتي در برابر افزايش انرژيي در حرکت رول باشد، با گذشت زمان مقدار زاويه رول کاهش خواهد يافت و رزونانس پارامتريک رشد نخواهد کرد. بنابراين ميرايي کشتي در حرکت رول نقش مهمي در محدود سازي رشد و گسترش رزونانس پارامتريک خواهد داشت .
پايداري کشتي در امواج طولي از روبرو ويا پشت متفاوت از پايداري آن در آب آرام است . به عنوان مثال ، متوسط سطح آبخور هنگامي که کشتي کانتينربر در قعر موج قرار مي گيرد ، به نسبت آب آرام بيشتر است و هنگامي که در قله موج قرار مي گيرد، کمتر است . اين موضوع در شکل هاي (۱) و (۲) نشان شده است که قله ويا قعر موج در وسط کشتي قرار گرفته اند. در اين چنين مواردي ارتفاع متاسنتريک را ديگر نمي توان ثابت فرض کرد. در واقع ارتفاع متاسنتريک تابعي از زمان است و با تغيير موقعيت قرارگيري قله يا قعر موج در طول کشتي تغيير مي کند. شدت اين تغييرات نيز وابسته به مشخصات موج ، سرعت کشتي و فرم بدنه کشتي خواهد بود.

رزونانس پارامتريک در حرکت رول
هنگامي که کشتي در آب آرام قرار دارد، اگر مقداري از حالت تعادل خود منحرف شود و سپس رها گردد مي توان انتظار داشت پس از طي چند نوسان ،حول نقطه تعادل ، به دليل وجود ميرايي به حالت تعادل پايدار خود باز گردد. اما هنگامي که کشتي در حال حرکت به امواج برخورد مي کند، ممکن است تحت تاثير نوسانات امواج شروع به حرکت رول افزايشي کند. در اين شرايط تنها پس از مدت زمان کوتاهي زاويه رول مقدار بزرگي خواهد شد. به اين پديده رزونانس پارامتريک در حرکت رول گفته مي شود. مي توان نشان داد رزونانس پارامتريک هنگامي رخ مي دهد که فرکانس برخورد موج نزديک به دو برابر فرکانس طبيعي رول در آب آرام باشد[۴]. با اين وجود سرعت شناور و جهت برخورد امواج و همچنين ميرايي در بوجود آمدن اين شرايط نقش مهمي بازي مي کنند.
از پارامترهاي تاثير گذار در احتمال وقوع پارامتريک رول مي توان به جهت برخورد امواج ، فرکانس برخورد امواج و ميرايي کشتي درحرکت رول اشاره کرد. هنگامي که جهت امواج به نسبت شناور صفر يا ۱۸۰ درجه باشد احتمال وقوع رزونانس پارامتريک بسيار زياد مي شود. از اين رو رزونانس پارامتريک در کشتي را بيشتر در امواج از روبرو و يا پشت بررسي مي کنند [۵]. همچنين فرکانس برخورد کشتي که خود تابعي از فرکانس موج برخوردي و سرعت خود کشتي است ، در ميزان تغييرات پايداري کشتي تاثير مي گذارد.چرا که در واقع پيشروي قله و قعر موج را در طول کشتي و فاصله اين دو از هم را بيان مي کند . بطورکلي مي توان گفت سرعت کشتي ، جهت برخورد امواج ، مشخصات موج و ارتفاع متاسنتريک در پيدايش رزونانس پارامتريک بايد در محدوده اي متناسب با هم قرار گيرند.
از طرف ديگر ميرايي کشتي در حرکت رول تحت تاثير عواملي نظير امواج سطح ، اصطکاک بدنه ، سرعت کشتي ، گردابه هاي اطراف بدنه و بيلج کيل است . اگر اتلاف انرژي ناشي از ميرايي کشتي در برابر افزايش انرژيي در حرکت رول باشد، با گذشت زمان مقدار زاويه رول کاهش خواهد يافت و رزونانس پارامتريک رشد نخواهد کرد. بنابراين ميرايي کشتي در حرکت رول نقش مهمي در محدود سازي رشد و گسترش رزونانس پارامتريک خواهد داشت .
پايداري کشتي در امواج طولي از روبرو ويا پشت متفاوت از پايداري آن در آب آرام است . به عنوان مثال ، متوسط سطح آبخور هنگامي که کشتي کانتينربر در قعر موج قرار مي گيرد ، به نسبت آب آرام بيشتر است و هنگامي که در قله موج قرار مي گيرد، کمتر است . اين موضوع در شکل هاي (۱) و (۲) نشان شده است که قله ويا قعر موج در وسط کشتي قرار گرفته اند. در اين چنين مواردي ارتفاع متاسنتريک را ديگر نمي توان ثابت فرض کرد. در واقع ارتفاع متاسنتريک تابعي از زمان است و با تغيير موقعيت قرارگيري قله يا قعر موج در طول کشتي تغيير مي کند. شدت اين تغييرات نيز وابسته به مشخصات موج ، سرعت کشتي و فرم بدنه کشتي خواهد بود.
روابط و معادلات حاکم
براي تعيين مقدار رول کشتي در حالت رزونانس پارامتريک بايد تغييرات ارتفاع متاسنتريک را با توجه به موقعيت قرار گيري قله موج در طول کشتي محاسبه کرد. در ساده ترين حالت مي توان از روش spread sheet استفاده کرد[۴]. فرض اساسي در اين روش اين است که موج بدون شکست در طول کشتي حرکت کرده و کشتي تحت تاثير آن حرکت نمي کند. بنابراين از حرکات heave و pitch صرف نظر مي شود. براي توضيح اين روش ابتدا کشتي با مختصات کارتزين منطبق بر وسط آن در نظر گرفته مي شودشکل (۳). سپس براي طول موج مشخص و ارتفاع hw براي آن ، آبخور در هرمقطع هنگامي که قله موج در وسط کشتي قرار دارد مطابق رابطه (۱) محاسبه مي شود که در آن dm آبخور در آب آرام است .
مقدار نيم عرض در هرمقطع با توجه به محل قله موج با استفاده از ميان يابي در جدول آفست کشتي در محل آبخور بدست مي آيد. مقدار ممان اينرسي عرضي سطح آبخور براي هر موقعيت از قله موج از رابطه (۲) بدست مي آيد.
همچنين حجم مغروق هر مقطع با توجه به موقعيت قله موج از رابطه ي زير محاسبه مي گردد.
با توجه به رابطه بالا حجم مغرو ق کل کشتي از رابطه (۴) قابل محاسبه است .
ممان عمودي استاتيک سطح مغروق در هر مقطع نيز از رابطه (۵) محاسبه مي شود.
بنابراين موقعيت عمودي مرکز بويانسي اينگونه محاسبه مي شود:
همچنين شعاع متاسنتريک براي شرايط قله يا قعر موج با استفاده از رابطه (۷) محاسبه مي شود:
در نهايت ارتفاع متاسنتريک براي هر موقعيت از قله موج با استفاده از رابطه (۸) بدست مي آيد. در اين رابطه KG ارتفاع عمودي مرکز ثقل است .
تغييرات ارتفاع متاسنتريک ، در معادله رولينگ کشتي استفاده مي شود. حرکت رول در امواج از روبرو با در نظر گرفتن معادله يک درجه آزادي با در نظر گرفتن تغييرات ارتفاع متاسنتريک در اثر برخورد موج بصورت زير در نظر گرفته مي شود.
که در آن زاويه رول ، ضريب ميرايي ، W وزن کشتي ، ممان عرضي اينرسي جرمي و جرم افزوده و ارتفاع متاسنتريک است . تغييرات GM با زمان ممکن است به پارامتريک رول منجر شود.
براي تشخيص اين امکان معاله (۹) با يد به معادله متيو (Mathieu) تبديل شود و با استفاده از نمودار Ince-Strut پاسخ هاي آن مورد بررسي قرار بگيرد. براي انجام اين کار ابتدا فرض مي شود که تغييرات GM بصورت سينوسي برحسب زمان در اثر برخود موج است .
در روابط فوق GMmax و GMmin مقادير بيشينه و کمينه ارتفاع متاسنتريک در مواردي است که قله موج در موقعيت هاي طولي قرار مي گيرد. سينوسي فرض کردن تغييرات GM منجر به استفاده از معادله متيو مي گردد .با جايگزين نمودن معادله (۱۰) در معادله (۹) بدست مي آيد:
در رابطه فوق عبارتند از:
براي تبديل معادله (۱۳) به صورت معادله استاندارد متيو، از پارامتر زمان بي بعد (۱۶) استفاده مي شود:
با جايگذاري رابطه فوق در معادله (۱۳) و تقسيم معادله بر مربع فرکانس موج معادله بي بعد زير بدست مي آيد:
پارامترهاي بکار رفته در رابطه بالا برابر هستند با:
اکنون مي توان جواب معادله (١٧) را بصورت حاصلضرب تابع نمايي ناشي از ميرايي و تابع در نظر گرفت :
در رابطه فوق تابع از معادله ديفرانسيل زير که به عنوان معادله متيو شناخته مي شود، بدست مي آيد.
p و q در معادله بالا عبارتند از :
در رابطه بالا p و q پارامترهاي معادله متيو ناميده مي شوند. معادله متيو با توجه به مقادير p و q داراي دو نوع جواب پايدار و ناپايدار است که در پارامتريک رزونانس جواب ناپايدار آن مد نظر است . به اين دليل که در اين حالت دامنه جواب با گذشت زمان افزايش يافته و نامحدود مي گردد. نواحي که در آن معادله بالا داراي جواب ناپايدار است با توجه به نمودار Ince- strut بدست مي آيد( شکل (۴)). در اين نمودار نواحي هاشور زده شده نواحي پايدار هستند. رزونانس پارامتريک در رول براي کشتي ها معمولا در ناحيه اول ناپايداري رخ ميدهد.

معيارهاي وقوع پارامتريک رول
بطور کلي مي توان دو معيار زير را براي بوجود آمدن پارامتريک رول در نظر داشت [۴]:
شرايط فرکانس : فرکانس تحريک پارامتري يا به عبارتي فرکانس موج برخوردي بايد حدود دو برابر فرکانس طبيعي رول باشد ، يا مقادير p و q در ناحيه ناپايدار قرار گيرند.
رابطه ي زير را مي توان به عنوان برقراري شرايط فرکانس در نظر گرفت [۴] :
دو طرف اين نامعادله که بر حسب هستند در واقع تقريبي از مرزهاي نمودار Ince-strut در ناحيه اول ناپايداري هستند. اگر نقطه مورد نظر داخل اين دو مرز باشد شرايط ناپايداري برقرار است . نمونه اي از اين مطلب در شکل (۱۴) و (۱۵) نشان داده شده است .
شرايط حدي ميرايي : ميزان ميرايي رول بايد کمتر از مقدار حدي ميرايي باشد. اين مقدار باتوجه به رابطه زير بدست مي آيد:
ضرايب نامعادله بالا توسط روابط زير محاسبه مي شوند.
بررسي احتمال وقوع پارامتريک رول يک کشتي واقعي
کشتي کانتينربري با ابعاد جدول (۱) و خطوط بدنه شکل (۵) در نظر گرفته شده است . سرعت طراحي کشتي برابر با ۱۰ گره دريايي و ضريب ميرايي بدون بعد آن ۰.۰۵ در نظر گرفته شده است . همچنين کليه محاسبات با استفاده از نرم افزار MATLAB انجام شده است . ابتدا با توجه به روش spreadsheet براي ارتفاع موج ۸ متر و۶ طول موج برابر با L ، L ، L ۰.۷۵ ، L ،L و Lتغييرات ارتفاع متاسنتريک در ازاي تغييرات قعر موج در طول کشتي بدست آمده است ( شکل هاي (۶) الي (۱۱)). سپس با استفاده از آنها مقادير ماکزيمم و مينمم در هر طول موج و به کمک روابط (۱۰) الي (۲۱) پارامترهاي معادله متيو p وq محاسبه شده اند. با توجه به اين دو پارامتر هر دو شرط فرکانس و ميرايي بررسي شده است . در نهايت احتمال وقوع رزونانس پارامتريک در هر حالت مثبت يا منفي گزارش شده است (جدول ۳). جدول ۲ نمونه اي از محاسبات را براي ارتفاع ۸ متر و طول موج ۱۷۷.۱ نشان مي دهد. نتايج حاصل از شرط فرکانس در نمودار نيز نشان داده شده است ( شکل (۱۲)). با توجه به نمودار مشخص مي شود که شرايط فرکانس تنها براي حالت ۳ و ۴ ( طول موج L ۰.۷۵ ، L) برقرار مي باشد.
در حالت دوم با انتخاب طول موج برابر با طول کشتي ارتفاع موج از ۶ متر تا ۱۰ متر با گام ۱ متر در نظر گرفته شده است . بطور مشابه ،احتمال وقوع رزونانس پارامتريک در هر حالت پس از تعيين مقادير ماکزيم و مينيمم ارتفاع متاسنتريک در هر حالت ارزيابي و در جدول نشان داده شده است . شرايط فرکانس در نمودار شکل (۱۵) نمايش داده شده است . با توجه به نمودار مشخص مي شود که تغيير ارتفاع بيشتر دامنه تغييرات که متناظر با پارامتر دوم متيو q را تغيير مي دهد.
حل معادله متيو (رابطه (۲۰)) در نمودار شکل (۱۴) و (۱۶) به ترتيب براي حالت پايدار و ناپايدار آورده شده است . با توجه به نمودار مشخص است که با افزايش زمان مقدار دامنه در شکل (۱۴) به نسبت شکل (۱۶) بسيار ناچيز بوده است . حل معادله بي بعد پارامتريک رول (رابطه (۱۷)) براي حالت پايدار ۶ در جدول (۳) جواب ميرا شونده دارد(شکل (۱۵)). در حالي که براي حالت ناپايدار ۴ با افزايش همراه است و رزونانس پارامتريک ايجاد شده است (شکل (۱۷)).
جمع بندي و نتيجه گيري
حرکت کشتي در امواج طولي بدليل وجود رزونانس پارامتريک براي کشتي ها خطرناک است . به طور کلي عواملي نظير سرعت کشتي ، ميرايي در حرکت رول ، شکل بدنه و جهت موج نيز تاثير بسزايي در رزونانس پارامتريک دارند. نتايج حاصل از اين تحقيق بر روي يک کشتي کانتينر بر، نشان مي دهد که براي امواج از روبرو با طول موج برابر با طول کشتي هنگامي که فرکانس برخورد نزديک به دوبرابر با فرکانس طبيعي در حرکت رول است رزونانس پارامتريک اتفاق مي افتد. نرم افزار تهيه شده قادر به تعيين شرايط وقوع رزونانس پارامتريک و مقدار پارامتريک رول ، براي کشتي هاي مختلف در شرايط متفاوت است . همچنين در نرم افزار فوق مي توان تاثير غيرخطي بود ضرايب معادله رولينگ نظير ميرايي و ضريب بازگرداننده در زواياي بزرگ را لحاظ نمود.

مراجع
1. Marta PEDIŠIĆ BUČA ,Ivo SENJANOVIĆ, Nonlinear Ship Rolling and Capsizing,Brodo Grandja, pp321-331, 2006
2. William N. France, Marc Levadou, Thomas W. Treakle, J. Randolph Paulling, R. Keith Michel, and Colin Moore, “An Investigation of Head-Sea Parametric Rolling and its Influence on Container Lashing Systems’’,SNAME Annual Meeting 2001 Presentation
3. IMO, MSC.Circ. 707, 1995. Guidance to the master for avoiding dangerous situations in following and quartering seas.
4. ABS Guide for the Assessment of Parametric Roll Resonance in the Design of Container Carriers, 2004. American Bureau of Shipping.
5. Metin Taylan. On the parametric resonance of container ships,ocean engineering, pp 1021-1027,2007
شکل (۱).تغييرات سطح آبخور به نسبت آب آرام وقتي قعر موج در وسط کشتي است [۴].
شکل (۲).تغييرات سطح آبخور به نسبت آب آرام وقتي قله موج در وسط کشتي است [۴].

شکل (۳). مختصات مفروض در روش spreadsheet [۴].

شکل (۴). منحني ince-strut نواحي هاشورزده شده داراي جواب پايدار و نواحي هاشور نزده شده داراي جواب ناپايدار هستند[۴].