بخشی از مقاله
چکیده
در این پژوهش رفتار یک تیر ساندویچی خمیده تحت بارگذاری استاتیکی با استفاده از تئوری مرتبه بالای خطی ارتقاء یافته مورد مطالعه قرار گرفته است. در این تئوری رویهها به صورت تیر تیموشنکو و هسته بهصورت یک جسم دوبعدی مدلسازی شدند. با بهرهگیری از روابط جابجایی، روابط کرنش- جابجایی خطی و روابط تنش- کرنش معادلات لازم تولید شده و با استفاده از روش ریتز و بکارگیری اصل مینیمم انرژی پتانسیل، این معادلات حل شدند. با استفاده از جوابهای بدست آمده از حل معادلات، جابجاییهای شعاعی - خیز - تار خنثی رویه بالا، هسته و رویه پایین تیر که شاخصهایی از پاسخ تیر هستند، به دست آمد. جهت صحت سنجی کار، نتایج جابجایی شعاعی تار خنثی رویه بالا در پژوهش حاضر با نتایج مرجعی دیگر، در این مورد مقایسه شد که نتایج دو پژوهش بسیار به هم نزدیک بوده و مشخص شد که تئوری مرتبه بالای خطی ارتقاء یافته با دقت بالایی رفتار خمشی تیر ساندویچی خمیده را تحت بارگذاری استاتیکی پیش بینی میکند. بعلاوه در یک مطالعه پارامتری تأثیر ضخامت رویه های کامپوزیتی روی جابجاییهای شعاعی تار خنثی رویه بالای تیر مورد بررسی قرار گرفت.
واژه های کلیدی: تحلیل خمشی، تیر ساندویچی خمیده، تئوری مرتبه بالای خطی ارتقاء یافته
مقدمه
مبدأ و زمان مشخصی درباره استفاده از مواد مرکب در دست نیست، اما از سال 1930 دانشمندان به فکر استفاده از مواد تقویتکننده افتادند و مفهوم جدید مواد مرکب پایهریزی شد. از سال 1975 به بعد استفاده از سازههای ساختهشده از مواد مرکب بهصورت ساندویچی شروع شد. سازه ساندویچی معمولاً از دو رویه و یک هسته تشکیل شده است؛ رویهها میتوانند فلزی یا غیرفلزی، چندلایه یا یکلایه بهکاررفته باشند. مغز یا هستهی بین دو رویه میتواند از نوع لانهزنبوری یا از موادی مانند فوم باشد. هرچند بیشتر ضوابط طراحی برای سازههای ساندویچی مستقیم - راست - میباشد ولی به هرحال در بسیاری از سازه های ساندویچی، گوشهها و انحناهایی وجود دارد. واگن قطارها، بدنه کشتیها، هواپیماهای پیشرفته، ماشینهای مسابقه، کانتینرها و مخازن با سطح مقطع مدور تنها نمونه هایی از سازههای ساندویچی انحنادار هستند.
امروزه کاربرد سازههای ساندویچی کامپوزیتی به دلیل دارا بودن مقاومت بالا و وزن کم و هزینه نگهداری پایین روند فزایندهای یافته است، از این رو یافتن روشی برای تحلیل هر چه دقیقتر و سادهتر رفتار سازههای ساندویچی در برابر بارگذاری-های مختلف، لازم و ضروری به نظر میرسد. تئوری کلاسیک، تئوری مرتبه اول برشی، تئوری الاستیسیته و تحلیل المان محدود [3-1] مشهورترین این روشها بوده که هر یک دارای مزایا و معایبی هستند. در سال 1992 حل ویژهای تحت عنوان تئوری مرتبه بالای سازههای ساندویچی توسط فراستیگ و همکارانش [4] ارائه شد، در این تئوری فرض بر این شد که رویههای بالا و پایین از روابط کلاسیک ورق پیروی کرده و هسته طبق تئوری الاستیسیته سه بعدی رفتار کند، با حل این سه ناحیه با هم و در نظر گرفتن معادلات پیوستگی جابجاییها در محل تماس هسته با رویه ها رفتار سازه بررسی شده و مقدار فشردگی هسته نیز بدست آمد.
فراستیگ و همکارانش و دیگر پژوهشگران [9-5] از تئوری مرتبه بالای ساندویچ برای بررسی رفتار سازههای ساندویچی تحت بارگذاریهای مختلف، با اشکال متفاوت تیر، ورق و پوسته و با شرایط مرزی مختلف استفاده نمودند. شنهار و همکاران [10] در مطالعهای رفتار خمشی مرتبه بالای تیر ساندویچی با هسته انعطافپذیر و پوستههای کامپوزیتی چندلایهای غیرمتقارن را مورد بررسی قرار دادهاند. اثرات کوپلهای خمشی گسترده تولید شده به وسیله لایه چینیهای غیرمتقارن روی رفتار خمشی بیان شده است. این تحلیل از اصول تغییراتی استفاده کرده و هسته را بهصورت یک جسم دوبعدی الاستیک، مدلسازی میکند و پوسته ها به صورت تیرهای چندلایهای کامپوزیتی یکبعدی در نظر گرفته شدهاند. وانگ و همکارانش [11] در مطالعهای به تحلیل رفتار خمشی تیر ساندویچی خمیده با تمرکز بر جدایش هسته از رویه و کمانش و چینخوردگی رویههای تیر پرداختهاند. در این مطالعه از روش تئوری الاستیسیته برای مطالعه تنشهای کششی در طول ضخامت تیر ساندویچی خمیده استفاده شده و اثرات پارامترهای مختلف، مانند ویژگیهای هندسی، سفتی پوسته و هسته روی تنشهای کششی در راستای ضخامت و بیثباتی موضعی تیر ساندویچی خمیده مورد مطالعه قرار گرفته است.
لونو [12] در راستای کاهش بیشتر وزن سازههای ساندویچی، استفاده از رویه های لایهلایه کامپوزیتی و هسته کموزن سازگار با این رویهها را مورد مطالعه قرار داده در این مطالعه مشخص شده، استفاده از این مواد حساسیت این سازهها را نسبت به فشارهای داخل صفحهای که منجر به کمانش موضعی شده را افزایش میدهد که ظرفیت تحمل بار کل سازه ساندویچی را محدود میکند همچنین تأثیر انحناء روی رفتار کمانشی موضعی پانلهای ساندویچی بسیار کم مورد مطالعه قرار گرفته است. عبدالحسین فریدون و همکاران [13] مطالعهای روی تیر خمیده ساندویچی با هستهای از جنس مواد تابعی مدرج انجام دادند در این مطالعه تئوری تیر اولر-برنولی برای لایههای نازک رویهها و تئوری مرتبه بالای برشی برای تحلیل هسته استفاده شد، هسته بهصورت کامل با رویهها پیوسته بوده و بهصورت یک جسم دوبعدی الاستیک متوسط در نظر گرفته شد و بنابراین هر دو تا تغییر شکل شعاعی و زاویهای برای هسته، در محاسبات در نظر گرفته شده و تنشهای مماسی هسته نادیده گرفته شده است. استور اسمیدت [14] خمش تیرهای خمیده ساندویچی را با روش الاستیسیته تحلیلی مطالعه کرده است و نتایج را با فرمولهای ساده محاسباتی المان محدود مقایسه کرده است. در این حل از تابع تنش ایری، استفاده شده است و در مختصات قطبی برای به دست آوردن تنشها در راستای شعاعی و زاویهای راهحلهای تنش صفحهای و کرنش صفحهای برای مدلهای مواد ایزوتروپیک و مواد آرتوتروپیک ارائه شده است.
مقصودی و همکاران [15] در یک تحقیق پایداری یک تیر ساندویچی خمیده با رویههای ایزوتروپیک و هسته قابلانعطاف را بررسی کردهاند، در استخراج معادلات حاکم، از فرض تئوری کلاسیک برای رویهها و از معادلات الاستیسیته در مختصات قطبی برای هسته استفاده شده است، ساختار تیر شامل دو رویه بالا و پایین از جنس فلز یا کامپوزیت که دارای لایههای متقارن بوده و یک هسته نرم ساخته شده از فوم یا لانهزنبوری با استحکام کم میباشد. برای استخراج معادلات پایداری از معیار نقطه مجاورت استفاده شده است. سبزیکاری و همکاران [16] در مطالعهای خواص خمشی تیرهای ساندویچی با رویههایی از جنس چندلایههای فلز- الیاف را مورد بررسی قرار دادهاند، در این پژوهش، رفتار تیرهای ساندویچی با رویههایی از جنس چندلایههای آلومینیوم- الیاف شیشه زیر بار خمشی بررسی شده است. در مقاله حاضر رفتار خمشی مرتبه بالای تیر ساندویچی خمیده با رویههای کامپوزیتی - آرتوتروپیک - و هسته لانهزنبوری انعطافپذیر مورد بررسی قرار گرفته و در استخراج معادلات حاکم از فرضهای تیر تیموشنکو برای رویهها و از روابط الاستیسیته در مختصات منحنیالخط برای هسته تیر استفاده شده است. پس از انجام فرمولبندی، استخراج و حل کامل معادلات، برای بررسی صحت نتایج، جوابهای بدست آمده برای جابجاییهای شعاعی تار خنثی رویه بالایی تیر، در این پژوهش با نتایج مراجع دیگر در این مورد مقایسه شده است. در قسمت مطالعه پارامتری نیز تأثیر ضخامت رویهها، روی جابجاییهای شعاعی تار خنثی رویه بالای تیر مورد بررسی قرار گرفت.
-2 قسمت تحلیلی
یک تیر ساندویچی خمیده در شکل 1 نشان داده شده است. زاویه انحناء تیر برابر و طول سطح میانی تیر برابر L و شعاع انحنای هستهی تیر، برابر و دستگاه مختصات تعریف شده برای مسئله، دستگاه مختصات منحنیالخط - ' \' U - میباشد. برای یافتن جابجاییهای شعاعی و زاویهای، مقدار کرنشها و تنشها در هر نقطه دلخواه از تیر از تئوری مرتبه بالای سازه ساندویچی ارتقاء یافته استفاده شده است.
شکل 1 هندسه تیر ساندویچی خمیده و دستگاه مختصات مفروض برای رویه بالایی، هسته و رویه پایینی برای استخراج تئوری مرتبه بالای سازه ساندویچی ارتقاء یافته، رویهها به صورت تیر تیموشنکو و هسته به صورت یک جسم دوبعدی که میتواند در راستای ضخامت فشرده شود با استفاده از روابط الاستیسیته مدلسازی شد و روابط کرنش- جابجایی خطی برای رویه-ها و هسته مورد استفاده قرار میگیرد.
-1-2 معادلات رویهها در دستگاه مختصات منحنیالخط جابجاییها در رویه بالایی و پایینی بر اساس فرضهای تئوری مرتبه اول برشی به صورت روابط - 1 - و - 2 - است. - 1 - - 2 - در روابط - 1 - و - 2بالانویسهای t و b نشان دهنده رویه بالایی وپایینی است. و و به ترتیب جابجاییهای نقاط واقع بر تار خنثی در جهات و r و دوران حول محور y میباشند. r فاصله شعاعی نقاط واقع بر رویهها از تار خنثی میباشد. روابط کرنش-جابجایی رویهها بر اساس کرنشهای کوچک - خطی - به صورت روابط - 3 - و - 4 - و - 5 - خواهد بود. در روابط بالا به شعاع انحناء هر رویه اشاره دارد .[17] تنشها نیز با تانسور تنش مرتبه دوم پیالو- کریشهف - - بیان میشوند. رابطه بین تانسور تنش پیالو- کریشهف و کرنشهای خطی با معادلات ساختاری - 6 - بیان میشود. - 6 - در رابطه 6 - - ، ها مؤلفههای ماتریس سفتی هستند که با توجه به روابطی که در کتابهای مرجع کامپوزیت [18] وجود دارد، بدست میآیند. مؤلفههای ماتریس سفتی بر حسب ثوابت مهندسی مواد تشکیل دهندهی رویهها و هسته بیان میشوند که رابطه بین مؤلفههای ماتریس سفتی و ثوابت مهندسی برای مواد کامپوزیتی - کامپوزیتها جزء مواد آرتوتروپیک هستند - در حالت تنش صفحهای - صفحه - xz با روابط - 7 - تا - 10 - بیان میشوند. -2-2 معادلات هسته در دستگاه مختصات منحنیالخط مؤلفههای تغییر مکان عمودی و صفحهای در هسته، به ترتیب جند جملهایهایی از مرتبه دو و سه به شکل روابط - 11 - و - 12 - فرض میشوند.
در معادلات فوق بالانویس c نشان دهنده هسته است. و به ترتیب جابجاییهای شعاعی و داخل صفحهای در جهت میباشند ودوران تار خنثی حول محور y است و ضرایب - ، ، ، - ضرایب مجهولی هستند که با استفاده از پیوستگی تغییر مکانها در فصل مشترک رویه بالایی و پایینی با هسته محاسبه میشوند. با فرض تغییر شکلهای کوچک در هسته، معادلات کرنش- جابجایی خطی هسته به شکل روابط - 13 - تا - 15 - میباشند. در روابط فوق به شعاع انحناء هسته اشاره دارد. تنشها در قسمت هسته نیز با تانسور تنش مرتبه دوم پیالو- کریشهف - - بیان می-شوند. رابطه بین تانسور تنش پیالو- کریشهف و کرنشهای خطی هسته با معادلات ساختاری - 16 - بیان میشود. در رابطه بالا، ها مؤلفه های ماتریس سفتی هستند که بر حسب ثوابت مهندسی مواد تشکیل دهندهی رویهها و هسته بیان میشوند که رابطه بین مؤلفههای ماتریس سفتی و ثوابت مهندسی با توجه به روابطی که در کتابهای مرجع کامپوزیت [18] وجود دارد، بدست میآیند و نمونههایی از آنها برای مواد آرتوتروپیک در روابط - 7 - تا - 10 - آمده است.
-3-2 معادلات پیوستگی در دستگاه مختصات منحنیالخط معادلات پیوستگی جابجایی در راستای ضخامت - شعاعی - و زاویهای در فصل مشترک بین رویه بالایی و هسته - r=-c/2 - و نیز رویه پایینی و هسته - r=c/2 - به شکل روابط - 17 - تا - 20 - می باشد. با جاگذاری معادلات - 11 - و - 12 - در روابط - 17 - تا - 20 - و انجام عملیات ریاضی مورد نیاز و سپس ساده سازی روابط، طبق روابط - 21 - و - 22 - خواهیم داشت. همانطور که در معادلات - 21 - و - 22 - دیده میشود تعداد متغیرهای مربوط به مؤلفههای تغییر مکان هسته به کمک روابط پیوستگی جابجاییها از 7 متغیر به سه متغیر کاهش مییابد و 4 متغیر دیگر بر حسب سایر متغیرهای رویهها و هسته بیان میشوند. در کل تعداد این متغیرها در رویهها و هسته به 9 متغیر شامل - ، و - برای رویه بالایی، رویه پایینی و هسته تبدیل شد. معادلات کرنش- تغییر مکان هسته بر حسب این 9 متغیر را میتوان از جایگذاری معادلات - 21 - و - 22 - در معادلات - 13 - تا - 15 - بدست آورد.
-4-2 انرژی پتانسیل کل تیر ساندویچی خمیده انرژی پتانسیل کل - - از دو بخش انرژی کرنشی - U - و کار نیروهای خارجی - W - تشکیل میشود - رابطه . - - 20 - بنابراین انرژی کرنشی سازه ساندویچی که از مجموع انرژی رویهها و هسته تشکیل میشود، به صورت رابطه - 24 - بدست میآید.
